上海市杨浦高级中学2022-2023学年高一数学下学期开学考试试题（Word版附解析）

杨浦高级中学2023学年第二学期高一年级数学开学考

2023.3

一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1 已知成等比数列，则等比中项__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据等比中项得到，解得答案.

【详解】已知成等比数列，则，.

故答案为：

2. 函数的值域为__________.（结果用区间表示）

【答案】

【解析】

【分析】，则，得到的值域.

【详解】，则，故值域为.

故答案为：

3. 已知等差数列的前项和为，如果，则公差__________.

【答案】

【解析】

【分析】由等差数列的求和公式可得出关于公差的等式，解之即可.

【详解】根据题意，由等差数列的求和公式，
 

可得，

所以，解得.

故答案为：.

4. 已知等腰三角形的周长为1，把该三角形腰长表示为底边长的函数，则该函数为__________.（要求：写出解析式和自变量的取值范围）

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，，得到函数关系式.

【详解】根据题意：，，故，则函数为.

故答案为：

5. 已知等比数列的前项和为，若，则__________.

【答案】1

【解析】

【分析】由等比数列求和公式得出，再求极限.

【详解】由题意可知，，.

故答案为：1

6. 利用二分法计算函数在区间的零点，第一次操作后确认在内有零点，那么第二次操作后确认在区间__________内有零点.

【答案】

【解析】

【分析】利用二分法的定义即可求解.

【详解】由题意可知，取区间中点，

，

，

所以，

所以第二次操作后确认在区间内有零点.

故答案为：.

7. 已知函数是在定义域上严格增的奇函数，若，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据定义域、奇偶性和单调性得到，解不等式组即可得到a的取值范围.

【详解】函数是在定义域上严格增奇函数，

，即，

所以，解得.

故答案为：

8. 等差数列的前项和为，若，则当取到最大值时__________.

【答案】

【解析】

【分析】由得出，再由求和公式结合二次函数的性质求解即可.

【详解】由，解得.

即.

因为函数的对称轴为.

故当时，取到最大值.

故答案为：

9. 已知函数,若,则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】分，和三种情况进行讨论，在计算过程中可通过去掉绝对值进行运算，即可得到答案

【详解】当时，由，得，即，

因为当时，，所以，

则在上恒成立，

当，由于指数函数的增长速率远远比一次函数要快，

所以易得在上不恒成立，舍去，

当，，故在上恒成立；

当时，恒成立；

当时，由，得，即，化简得，即，

而，故，

综上可得，

故答案为：.

10. 已知数列满足：，，若，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据数列的递推公式，分析可知，当为偶数时，，当为奇数时，，则为偶数，由往回推，然后根据以及的递推公式逐项递推可得出的值.

【详解】由题设知，，又因为，且当为偶数时，，

当为奇数时，，

因为，所以，为偶数，

由往回推可得，

即

.

因此，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据数列的递推公式进行逆向推导，确定数列的值取目标值时的推导过程，然后逐项推导可得的值.

二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号后填写或填涂代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.

11. 若表示不大于的最大整数，则函数的零点个数是（    ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个

【答案】D

【解析】

【分析】取，，，此时，得到答案.

详解】取，，则，此时，

即函数的零点是，，有无数个.

故选：D

12. 用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】取和带入左式相减得到答案.

【详解】等式左边需增加的代数式是：

.

故选：A

13. 已知是定义在上的严格减函数，若，，那么其反函数是（    ）

A. 定义在上的严格增函数 B. 定义在上的严格减函数

C. 定义在上的严格增函数 D. 定义在上的严格减函数

【答案】B

【解析】

【分析】求出函数的定义域，利用函数与其反函数单调性相同可得出结论.

【详解】因为是定义在上的严格减函数，若，，

则当时，，

因为函数在定义域上的单调性与其反函数在定义域上的单调性相同，

故函数是定义在上的严格减函数.

故选：B.

14. 定义在正整数集上的函数，其最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】计算出的解析式中绝对值的个数，利用倒序相加法可知在中，最中间的两项为和，利用绝对值三角不等式可知，当时，取最小值，然后计算出即可.

【详解】因为函数的解析式中绝对值的个数为，

设，则，当且仅当时，等号成立，

，①

，②

①②可得，

因为，

，

所以，在中，最中间的两项为和，

所以，由绝对值三角不等式可得

当且仅当时，等号成立，

所以，

.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将绝对值两两配对，确定最中间两项，结合绝对值三角不等式求解.

三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.

15. 已知函数，.

（1）请用分段表示法把该函数写为的形式；

（2）画出的大致图象并写出的单调区间.

【答案】（1）   

（2）作图见解析，函数的增区间为，减区间为

【解析】

【分析】（1）分、两种情况化简函数的解析式即可；

（2）根据（1）中函数的解析式可作出函数的图象，利用函数的图象可写出函数的增区间和减区间.

【小问1详解】

解：当时，，

当时，，

所以，.

【小问2详解】

解：作出函数的图象如下图所示：

由图可知，函数的增区间为，减区间为.

16. 已知数列满足：.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式及其前项和的表达式.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）；

【解析】

【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；

（2）由（1）得出数列的通项公式，再由等差和等比的求和公式计算.

【小问1详解】

由题意可知，

所以数列是以为首项，公比为的等比数列.

【小问2详解】

由（1）可知，，即

前项和.

17. 已知，函数，.

（1）判断的奇偶性，并证明你的判断；

（2）当时，判断在区间上的单调性并证明你的判定.

【答案】（1）当时为奇函数；当时为非奇非偶函数；证明见解析；   

（2）严格增函数，证明见解析；

【解析】

【分析】（1）判断出当时为奇函数；当时为非奇非偶函数，然后利用函数奇偶性的定义可证得结论成立；

（2）判断出当时，在区间上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解并判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论.

【小问1详解】

解：当时为奇函数；当时为非奇非偶函数，证明如下：

当时，，，

，此时函数为奇函数；

当时，，，

对任意的，，则，，

此时函数为非奇非偶函数.

综上所述，当时为奇函数；当时为非奇非偶函数，

【小问2详解】

解：当时，在区间上为增函数，证明如下：

任取、且，

，

因为，，则，，所以，，

所以，，则，即，

所以，当时，函数在上为增函数.

18. 某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作．

（1）令，，求的取值范围；

（2）求的表达式，并规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

【答案】（1）；（2）答案见解析，

【解析】

【分析】（1）当时，得到；当时，，利用对勾函数性质可求得，取并集得到结果；

（2）由（1）可将化为，得到的单调性后，可知最大值在或处取得；分别在和两种情况下确定的最大值，即，由得到不等式，解不等式求得结果.

【详解】（1）当时，

当时，

（当且仅当，即时取等号），又时，

综上所述：

（2）由（1）知：令，则，

当时，

当时，单调递减；时，单调递增

又，   

①当时，   

由得：   

②当时，   

由得：   

综上所述：当时，综合污染指数不超标

【点睛】本题主要考查了利用给定函数模型求解实际问题，涉及到函数值域的求解、根据函数性质求解不等式等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

19. 数列中，已知对任意都成立，数列的前项和为.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，求的值；

（3）是否存在实数和，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有实数和的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；   

（2）-2021；    （3）存在，或；

【解析】

【分析】（1）确定是等差数列，得到，，再求出通项公式；

（2）求出，确定，，计算得到答案；

（3）根据条件，可得，考虑，，分别为等差中项三种情况，计算得到答案.

【小问1详解】

，即，所以是等差数列，

又，公差，所以；

【小问2详解】

当时，， 即，

所以，所以，

又，所以，

所以.

【小问3详解】

数列是等比数列，则公比，

若为等差中项，则，，

即，解得（舍去）；

若为等差中项，则，，

即，解得（舍去），

此时；

若为等差中项，则，，

即，解得（舍去），

此时，

综上所述，或.