湖南省岳阳市2023届高三下学期二模数学试题(含答案)

机密★启用前

岳阳市2023届高三教学质量监测（二）

数学

本试卷共6页，22道题，满分150分，考试用时150分钟.

姓名__________准考证号__________.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､考号､姓名填写在答题卡上.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能各在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字表作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用钻笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选须中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知直线和平面，若且，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

3.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴查合，点A是角的终边与单位圆的交点，若点的横坐标为，则（    ）

A.    B.    C.    D.

4.某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开设了“球类”､“棋类”､“书法”､“绘画”“舞踩”等五项活动.若甲同学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为（    ）

A.0.9    B.0.7    C.0.6    D.0.3

5.已知函数是定义在上的奇函数，则函数的图像在点处的切线的斜率为（    ）

A.-27    B.-25    C.-23    D.-21

6.收藏于陕西博物馆的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为的双曲线C：的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕轴旋转一周得到的几何体，若为右支上的一点，为的左焦点，则与到的一条渐近线的距离之和的最小值为（    ）

A.2    B.3    C.4    D.5

7.已知函数的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数的说法错误的是（    ）

A.函数的图像关于直线对称

B.函数在上单调递减

C.函数在上有两个极值点

D.方程在上有3个解

8.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，为进一步了解学生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是（    ）

A.频率分布直方图中的x=0.030

B.估计100名学生成绩的中位数是85

C.估计100名学生成绩的80%分位数是95

D.从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于，则后抽取的学生成绩在的概率是

10.设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（    ）

A.    B.    C.    D.

11.已知拋物线的焦点与圆上点的距离的最小值为2，过点的动直线与抛物线交于两点，以为切点的抛物线的两条切线的交点为，则下列结论正确的是（    ）

A.

B.当与相切时，的斜率是

C.点在定直线上

D.以为直径的圆与直线相切

12.在中国共产党第二十次全国代表大会召开期间，某学校组织了“喜庆二十大，永远跟党走，奋进新征程，书画作品比赛.如图①，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，若球的体积为；如图②，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，则下列结论正确的是（    ）

A.直线与平面所成的角为

B.经过三个顶点的球的截面圆的面积为

C.异面直线与所成的角的余弦值为

D.球离球托底面的最小距离为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设复数，其中为虚数单位，则__________.

14.在的展开式中项的系数是__________.

15.已知函数，数列满足，给出下列两个条件：①函数是递减函数；②数列是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函数的解析式：__________.

16.定义是与实数的距离最近的整数（当为两相邻整数的算术平均值时，取较大整数），如，令函数，数列的通项公式为，其前项和为，则__________；__________.

四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

在中，分别为角的对边，若，且的内切圆半径.求：

（1）角的大小；

（2）的最小值.

18.（本题满分12分）

已知数列的前项和为

（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

19.（本题满分12分）

在中，，过点作，交线段于点（如图1），沿将折起，使（如图2），点分别为棱的中点.

（1）求证：；

（2）在①图1中，②图1中，③图2中三棱推的体积最大.

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.

问题：已知__________，试在棱上确定一点，使得，并求平面与平面的夹角的余弦值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20.（本题满分12分）

国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格：

（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；

（2）求出关于的经验回归方程，并预则2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；

（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

参考数据：，

21.（本题满分12分）

已知点，点分别为椭圆的左､右顶点，直线交于点是等腰直角三角形，且.

（1）过椭圆的上顶点引两条互相垂直的直线，记上任一点到两直线的距离分别为，求的最大值；

（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于两点试问：是否存在轴上的定点，使得.若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.

22.（本题满分12分）

已知函数f（x）=lnxx+1.

（1）求f（x）的最大值；

（2）设函数g（x）=f（x）+a（x1）2，若对任意实数b∈（2，3），当x∈（0，b]时，函数g（x）的最大值为g（b），求a的取值范围；

（3）若数列{an}的各项均为正数，a1=1，an+1=f（an）+2an+1（n∈N+）.求证：an≤2n1.

岳阳市2023届高三教学质量监测（二）

数学参考答案及评分标准

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.B    2.C    3.D    4.B    5.D    6.С    7.D    8.A

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.AC    10.BD    11.ACD    12.CD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.    14.-10    15.（答案不唯一，均可）    16.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

解：（1）在中，由可得

（2）且

由余弦定理有：

所以

于是，当且仅当时取

所以或

由知

所以

18.（本题满分12分）

解：（1）由得，

所以数列G是以为首项，公差为1的等差数列

，即

当时，

又不满足上式，所以

（2）由（1）知，

当时，；

当时，，即

所以的最大值为，依题意即，

解得或.

19.（本题满分12分）

解：（1）证明：，

平面平面.

又分别为的中点，

.

（2）选①，在图1所示的中，由，

解得或（舍去）.

设，在Rt中，，

解得.

以点为原点，分别为轴建立如图所示的坐标系，

，

则.

设，则.

，即，解得，

当（即是的靠近的一个四等分点）时，.

设平面的一个法向量为，且，

由得令，则

取平面CBN的一个法向量，

则，

平面BMN与平面的夹角的余弦值为.

选②，在图1所示的中，设，

则，

又，由平面向量基本定理知，即.

以点为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系

，

则.

设，则，

即，解得，

当（即是的靠近的一个四等分点）时，.

设平面的一个法向量为，且，

由得令，则.

取平面的一个法向量，

则，

平面与平面的夹角的余弦值为.

选③，在图1所示的中，设，则，

为等腰直角三角形，.

折起后，且，

平面，又，

，

令，

当时，；当时，，

时，三棱锥的体积最大.

以点为原点，分别为轴建立如图所示直角坐标系，

，

则

设，则.

，即

解得，

当（即是的靠近的一个四等分点）时，.

设平面的一个法向量为，且，

由得令则.

取平面的一个法向量，

则，

平面与平面的夹角的余弦值为.

20.（本题满分12分）

解：（1）

相关系数

因为与的相关系数，接近1，所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.

（2）

所以与的线性回归方程为

又2022年对应的年份代码，当时，，

所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513.

（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由（2）所求的线性回归方程预测，理由如下（说出一点即可）：

①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；

②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；

③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式.

21.（本题满分12分）

解：（1）由是等腰直角三角形，得.

设，则由，得

代入椭圆方程得，所以椭圆的方程为.

由几何关系可知：，

设，则且

于是当时，max

的最大值是.

（2）证明：设点的坐标为，点的坐标为.假设存在轴上的定点，使得，即

由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为.

联立方程消去得，，

且

直线的斜率为，直线的斜率为

由得：

即恒成立.

解得即存在轴上的定点.

22.（本题满分12分）已知函数.

解：（1）的定义域为，

当时，单调递增；

当时，单调递减，

所以

（2）由题意

①当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为.

②当时，令有，

（i）当时，函数在上单调递增，显然符合题意.

（ii）当，即时，函数再和，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，

要使对任意实数，当时，函数的最大值为，只需，解得，

又，所以此时实数的取值范围是.

（iii）当，即时，函数在和上单调递增，在

上单调递减，要对任意实数，当时，函数的最大值为，

需代入化简得，①

令，因为恒成立，

故恒有，所以时，①式恒成立，

综上，实数的取值范围是.

（3）由题意，正项数列满足：

由（1）知：，即有不等式

由已知条件知，

故

从而当时，

又，对也成立，所以有