高一下学期数学微专题25讲 18.三余弦定理与空间角

三余弦定理及应用

三余弦定理：如图所示，斜线在平面内的射影为，则线面角的大小为，平面内任一点，则，这样就有：.

在立体几何中，一旦涉及到图形翻折最值问题，很多学生往往不知所措.所以，很有必要对一些常见的翻折最值问题在通性通法上加以总结，这样既可以提升学生对这类问题的解题能力，更能帮助他们提升空间想象能力，提高解题兴趣.下面的这类翻折最值问题就是一类可以总结出通性通法的题型，解决它的关键就是上面的三余弦定理.

例1.点是直角斜边上一动点，将直角沿着翻折，使与构成直二面角，则翻折后的最小值是_______．

解析：如图，在平面图内，假设，翻折后，由于面垂直于面，则即为与面所成角，根据三余弦定理可得：

,

另一方面，在中，由余弦定理可得，结合上式可得：

，故.

点评：可以看到，通过三余弦定理以及余弦定理，建立几何体的某边长和翻折角度之间的函数关系，是解决最值的关键.

例2.（2021成都七中三诊）双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点且满足. 点在线段上且满足. 现将沿着折成直二面角. 若折叠后距离最小，则（      ）

A.            B.            C.              D.

解析：如图，设，由三余弦定理可得：

另一方面：由余弦定理可知：，这样可得：

，故当且仅当时成立.即为的角平分线，最后由角平分线定理可知.

下面给出两个练习题

练习1.在中，已知，为边上一点，将沿折起，得到三棱锥.若该三棱锥的顶点在底面上的射影恰好落在线段上，则线段的取值范围为_________.

练习2.已知，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线与成60°角时，与成30°角；

②当直线与成60°角时，与成60°角；

③直线与所成角的最小值为45°；

④直线与所成角的最小值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)