三角函数恒等变换专题-讲义-2023二轮复习

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【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1．化简：
（1）；
（2）
2．求值：
（1）
（2）
已知，且，求的值．
4．在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称．若,则．
5．已知，则．
【知识点一】两角和与差的运算公式
一、两角和与差的余弦公式
;
．
不妨令
如图5．5-1，设单位圆与轴的正半轴相交于点，
以轴非负半轴为始边作角，，，它们的终边分
别与单位圆相交于点．
连,．若把扇形绕点旋转角，则点分别与点，重合，根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以
根据两点间的距离公式，得：

化简得：
当时，容易证明上式仍然成立．
所以，对于任意角有：
二、两角和差的正弦公式
;
．
证明：由诱导公式可以得到：
再把换成可以得到：
两角和与差的正切公式
;
．
【思考1】如何得到利用已知的正弦与余弦公式得到正切公式？
【思考2】可以利用两角和差公式证明诱导公式吗？
四、两角和与差的正切公式的变形
1. 的变形：
;
;
．
的变形：
;
;
．
考点一：公式的应用、化简
例1.（1）的值是( )
（A）0（B）（C）（D）
的值等于．
练1.求下列各式的值（1）
（2）
练2.，则（ ）
（A）（B）（C）（D）
练3.求下列各式的值：
（1）； （2）
考点二：给定角的范围，利用公式求目标角度值
例1.已知，是第二象限角，求的值．
练1.求下列各式的值．
（1）已知都是锐角，，求
（2）已知求．
练2.（1）已知，，则的值是
（A）（B）（C）（D）
（2）已知，又，则( )
（A）（B）或（C）（D）或
练3.（1）已知，，则
（A）（B）（C）（D）
（2）已知，
则．
（3）已知是方程的根，且，
则．
练4.若，则．
考点三：利用公式，判断三角形形状
例1.在中，若，则的形状是
（A）锐角三角形（B）直角三角形
（C）钝角三角形（D）等腰三角形
例2.在中，若,则的形状是
（A）钝角三角形（B）锐角三角形
（C）直角三角形（D）不确定
练1.在锐角三角形ABC中，若，则的值是
（A）大于1（B）小于1
（C）可能等于1（D）与1的关系不能确定
【知识点二】倍角公式与半角公式
一、倍角公式
【思考】二倍角公式本质上是哪个公式的特殊形式？
二、半角公式
形式一：
形式二：
【典型例题】
例1.已知的值为
A.B.C.D.
练1.________；
例2. 设则
A. B. C. D.
练1.已知，那么的值为（ ）
A.B.C.D.
例3.（1）已知：，且，求．
（2）已知，，求的值．
练1.求下列各式的值．
（1）已知，求
（2）已知，为第三象限角，求．
练2.若，求的值．
例4.已知，(1)求的值；(2)求的值．
练1.，则．
【知识点三】辅助角公式
（其中（）为坐标系中的点）
证明：
令
我们可得到：
【典型例题】
考点一：利用辅助角公式化简函数
求值：
练1：化简函数
（1）
考点二： 辅助角为特殊角，求函数的单调区间、对称中心、对称轴等．
例1.若，且为锐角，求．
练1.若，求满足条件的的集合．
函数的单调递增区间是
练1.分别求函数的最值和单调增区间
例3.求函数的对称轴与对称中心．
练1．求函数的对称轴与对称中心．
考点三： 辅助角为非特殊角时，求函数的最值．
例1.求函数的最大值与最小值
练习.求函数的最大值与最小值．
【小试牛刀】
1已知，则__________．
2．求函数的对称轴与对称中心．
3．化简：
（1）；（2）；
（3）；（4）
4．已知函数
（1）求它的递减区间；
（2）求函数的最大值和最小值．
5．已知，，求的值．
6．已知，求的值．
7．已知，求的值．
8．已知，，求证：．
9．设，则的大小关系是
10．函数的最大值是（ ）
A. B.C.D.
【巩固练习——基础篇】
1．的值为__________．
2．化简，其中为第二象限角．
3．已知，则值为

4．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
5．在△ABC中，，，则等于( )
（A）（B）
（C）（D）
6. 求值：
7.化简函数
【巩固练习——提高篇】
1．已知，且为相邻象限的角，求和的值．
2．设为第二象限角，若，则．

3．已知均为锐角，且，则．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．
求：(1)的值；(2)的大小．
5．求值．
6．在斜三角形中，求证：．
7．是否存在锐角和，使(1)；(2)同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．
8．观察以下各等式：
，
，
．
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？
；
.