劣构问题之三角函数与解三角形专题讲义-2023二轮复习

这是一份劣构问题之三角函数与解三角形专题讲义-2023二轮复习，共31页。
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1、在中,“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
2、在中，，则的最大值是（ ）
（A）（B）（C）（D）
3、在中,若,,,则,.
4、在中,,,,则,的面积为.
【知识点】
1.正弦定理的选取
总结：（1）边角互换（边长与对应角的正弦值）
（2）已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角
（3）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边与角
2.余弦定理的选取
总结：（1）已知三边，求三个角
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
【典型例题】
考点一：如何选取正余弦定理
例1在中,已知,,.
（Ⅰ）求的长;
（Ⅱ）求边上的中线的长.
例2.★在△ABC中,
（Ⅰ）求的大小;
（Ⅱ）
练1.已知ΔABC的三个内角分别为A,B,C,且2sin2B+C=3sin2A.
（Ⅰ）求A的度数；
（Ⅱ）若BC=7,AC=5,求ΔABC的面积S.
练2.在中,,点在上,且
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若,求的值.
考点二：三角形图形处理问题
例1.在中,的角平分线
（Ⅰ）求的大小;
（Ⅱ）求的长.
例2.如图,在中,点在边上,且记,
（Ⅰ）求证:;（Ⅱ）若,,求的长.
A
D
B
C
练1.如图,在中,点在边上,,,.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若,求的面积.
练2.如图,在中,点在边上,且,,,.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求的值.
考点三：三角形遇到多解问题如何处理
例1.在锐角中,角所对的边分别为且
（Ⅰ）求的长;
（Ⅱ）若,求的面积.
例2.在中,内角的对边分别为,,,且.
（Ⅰ）求角的值;
（Ⅱ）若,,求△的面积.
练1.在中,已知.
（Ⅰ）求的大小;
（Ⅱ）若,,求的面积.
练2.在锐角中,.
（Ⅰ）求∠A的大小;
（Ⅱ）求的最大值.
【小试牛刀】
1.在中,.
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）若,,求的值.
2.在中,角所对的边分别为,,.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若,求的值.
3.在中，，，.
（I）求的大小；
（II）若为边上一点，，求的长度.
4.如图，在四边形中，，．已知，．
A
D
C
B
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求的长．
【巩固练习——基础篇】
1.如图，在四边形中，,为正三角形.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若,求和长.
2.在中,已知,其中.
（Ⅰ）判断能否等于3,并说明理由;
（Ⅱ）若,,,求.
3.在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若是钝角三角形，求边上的高
5.7 劣构问题之三角函数与解三角形
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围.


2. 已知ΔABC的三个内角分别为A,B,C,且2sin2B+C=3sin2A.
（Ⅰ）求A的度数；
（Ⅱ）若BC=7,AC=5,求ΔABC的面积S.
【知识点一】劣构问题之三角函数
一、三角函数化简：
遵循：①有括号就展开；②有一律先化为二倍角
可能涉及公式：和差角公式和降幂升角公式如下：
；
；；
辅助角公式：其中
另外：类二次函数型（题型特征：有单独存在的或）
例如：
应该化为：.特别注意：
二、图像平移问题： “左加右减，上加下减”
特别注意1：左右移：提出前系数之后平移。
若将向左平移个单位长度变为
特别注意2：先平移再伸缩时不动常数
若将横坐标变为原来的2倍，则变为，后面不是
三、图像求解解析式：
步骤：①最值即和；（从图中看出最值）
②周期（从图中数出周期）
③代入点（优先选波峰波谷点）确定；
四、()的几个考点： 记得写
①对称轴：，解出即是；写上
②对称中心：，解出，对称中心为，写上
③单调增区间: ，解出，写成区间形式；写上
单调增区间: ，解出，写成区间形式；写上
④区间上最值：
如例：在上最值 “小范围 + 大范围 + 图”
三个步骤：1.；2.，3.画图看范围
所以最大值为2，最小值为-1
⑤区间上单调性：
例如：在上的单增区间
解法：求出上的单增区间，然后让即可。
具体过程：
因此上单增区间为；
时，上增，故上增；
时，上增，故上增；
【典型例题】
例1. 已知函数.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）从①;②这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数在上的最小值,并直接写出函数的一个周期.
注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.
练1.已知函数， ，求在的值域.
从①若的最小值为；②两条相邻对称轴之间的距离为；③若的最小值为，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
例2. 已知函数满足下列3个条件中的2个条件：
①函数的周期为；
②是函数的对称轴；
③且在区间上单调
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的值域。
练1.已知函数同时满足下列四个条件中的三个:①最小正周期为;②最大值为;③;④.
（Ⅰ）给出函数的解析式,并说明理由;
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.
【知识点二】劣构问题之解三角形
1.正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在△ABC中，（其中R为△ABC外接圆的半径）．
上式对任意三角形均成立．
正弦定理可以变形为：①
②;③④ 等形式，以解决不同的三角形问题．
总结： 三角形中正弦定理的应用
（1）已知正弦定理可以解决如下有关三角形的问题：
①边角互换（边长与对应角的正弦值）
②已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角：
③已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边与角
2.余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的二倍，即
此定理还有另一种形式:
总结：
（1）仅知道边的时候求角
（2）由余弦定理知：若∠A为锐角，则csA>0，>0即；若∠A为钝角，则cs A