1   排列组合

【课前诊断】

成绩（满分10）：                       完成情况：   优/中/差  

1、用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的：

（1）三位数？

（2）四位偶数？

2、   （1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，有多少种不同的投法？

（2）将2封信随意投入4个邮箱，有多少种不同的投法？

【知识点一：排列组合】

一、排列

（1）排列的定义

一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取个元素的一个排列．

（2）排列的判断

判断一个问题是否为排列问题的依据：是否与顺序有关，与顺序有关且是从个不同的元素中任取（）个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题．而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题．

（3）排列数定义

从个不同元素中取个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．

排列数公式

全排列

个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，这时公式中，即有

．

二、组合

（1）组合的定义

一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合，也就是说，组合是从个不同的元素中取出个元素，不分次序构成一组.

（2）排列与组合的联系与区别

从排列与组合的定义可以知道，两者都是从个不同元素中取出个元素，这是排列与组合的共同点；它们的不同点：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关. （3）规律总结

①组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回的抽取.

②组合取出的个元素不讲究顺序，也就是说，元素没有位置的要求，无序性是组合的本质属性.

（4）组合数

从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.

温馨提示

①       组合数与组合是两个不同的概念，组合是从个不同的元素中任取个元素并成一组，它是一件事，而组合数是一个数.

②从集合的角度来看，从个不同的元素中任取个元素并成一组的组合的全体构成一个集合，组合数就是这个集合中元素的个数.

（5）组合数公式

，

，规定：.

性质1：

性质2:

【典型例题】

考点一： 排列

例1.（1）有3名大学生毕业生，到5个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被雇用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？

（2）有5名大学毕业生，到3个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这3个公司都完成； 招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？

例2.用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的：

（1）三位数？

（2）四位偶数？

练1.（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，有多少种不同的投法？

（2）将2封信随意投入4个邮箱，有多少种不同的投法？

考点二： 组合

例1.在产品质量检测时，常从产品中抽出一部分进行检查，现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：

（1）共有多少种不同的抽法？

（2）恰好有一件是次品的抽法有多少种？

（3）至少有一件是次品的抽法有多少种？

（4）恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？

例2.有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？

（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；

（2）一个得4本，一人得3本，一人得2本；

（3）甲、乙、丙各得三本

练1.将6名应届大学毕业生分配到3个公司：

（1）3个人分到甲公司，2个人分到乙公司，1个人分到丙公司，有多少种不同的分配方案？

（2）一个公司去3个人，另一个公司去2个人，剩下的一个公司去1一个人，有多少种不同的分配方案？

考点三：综合

例1.有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（   ）

A. 16  B. 24  C. 32  D. 48

例2.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（   ）

A. 种  B. 种  C. 种  D. 种

例3.有6名女生，4名男生，从中选出3名女生和2名男生：

（1）组成班委，有多少种不同的选法？

（2）选出的5名学生分别担任班委会中的5种不同的工作，有多少种选派方法？

（3）女生担任班长、学习委员和文娱委员，男生担任宣传委员和体育委员，有多少种选派方法？

例4.某班有52名学生，其中正、副班长各一名，先选派5名学生参加某活动：

（1）如果正、副班长必须在内，有多少种选派方法？

（2）如果正、副班长必须有一人在内，且只能有一人在内，有多少种选派方法？

（3）如果正、副班长都不在内，有多少种选派方法？

（4）如果正、副班长至少有一个人在内，有多少种选派方法？

例5.有甲、乙、丙三项任务，甲需要2个人承担，乙、丙各需1人承担.从10个人中选派4个人承担这三项任务，不同的选法有多少种？

例6.有6个人分成两排就坐，每排3人，有多少种不同的坐法？

方法总结：

1.   完成一个事情能有几种方式是分类，是加法
2.   完成一个事情，能分几个步骤，每个步骤又能用几种方式是分步，是乘法

分类二：特殊元素、特殊位置优先法

典型例题

例1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（   ）

A.   B.   C.   D.

例2.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数,且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位,则这样的五位数个数为（   ）

A.   B.   C.   D.

例3.用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（   ）

A.   B.   C.   D.

例4.有6个人分成两排就坐，每排3人，如果甲不能坐在第一排，乙不能坐在第二排，有多少种不同的坐法？

方法总结：

在计数原理问题中涉及元素与位置，解题时要分析清楚要完成的事是元素选择位置还是位置选择元素．

分类三：相邻与不相邻问题

例1.学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有（   ）种

 .  B.  C.   D.

例2.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（    ）

 ．1440种 ．960种 ．720种 ．480种

例3.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（    ）

A.  B.  C.   D.

例4.在 的任一排列中，使相邻两数都互质的排列方式共有（    ）种．

A. B． C． D．

例5.某联欢会安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（   ）

A. 72  B. 120  C. 144  D. 168

方法总结：

1、相邻问题元素捆绑法，先捆再排, 所谓捆绑法就是，把相邻的若干特殊元素“捆绑”成一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”进行全排列，而后“松绑”，将特殊元素在这些位置上进行全排列，这就是所谓相邻问题“捆绑法”．

2、对于不相邻问题用插空法，先排其他没有要求的元素，让不相邻的元素插空.

3、有些题目从正面思考比较困难，可从问题的反面考虑，即从所有结果中去掉不符合题意要求的结果，从而找到正确答案．

分类四：平均分组问题

典型例题

例1.元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有______种？

例2.6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？

（1）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；

（2）平均分为三份，每份两本；

（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；

（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；

（5）分为三份，一份一本，一份一本，一份四本；

（6）分给甲、乙、丙三人，甲一本，乙一本，丙四本；

（7）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人一本，一人四本；

（8）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.

方法总结：

一般地，个不同的元素分成组，各组的元素数目分别为，其中k组元素数目相等，那么分组方法数是.

分类五：不定向分配中的先分组再分配问题

例1.（某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有

（A）种 （B）种 （C）种 （D）种

例2.将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是

（A） （B） （C） （D）

例3.将4封信全部投入3个邮筒，

（1）每个邮筒至少投一封信，有多少种不同的投法？

（2）可以随意投，有多少种不同的投法？

例4.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有       种.（用数字作答）

方法总结：

①无约束条件的组合；②有约束条件的组合.掌握有限制条件的组合应用题的常用解法及常见类型，在解有限制条件的组合应用题时，要从分析入手，明确限制条件有哪些，所给元素分几类，识别是什么基本类型，使用直接法还是间接法.

分类六：隔板法

典型例题

例1.,共有多少组正整数解。

例2.某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有_______种

例3.如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（   ）

A. 个 B. 个   C. 个    D. 个

例4.若，则方程的非负整数解有多少个？

方法总结：

（1）必须是相同元素之间的分配问题才能用挡板法解决，不同元素之间的分配问题用分组法解决.

（2）对于元素相同的“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成（n+1）份.

分类七：错排问题

典型例题

例1.元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有______种？

例2.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，这样的投放方法的总数为______

例3.有标号分别为1、2、3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为________．（用数字作答）

【小试牛刀】

1. 教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为

 （A）84 （B）42 （C） （D）

2. 学号分别为的位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为

 （A） （B） （C） （D）

3. 五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革——庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有

（A）种 （B）种 （C）种 （D）种

4. 7某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人。则不同的选派方法的种数是

 （A）18 （B）21 （C）36 （D）42

5. 由数字组成没有重复数字的三位数，偶数共有个_______，其中个位数字比十位数字大的偶数共有个_______.

【巩固练习——基础篇】

1.从数字中，取出个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为

(A)                    (B)                   (C)                   (D)

2.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是

（A）            （B）              （C）               （D）

3.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为

A． 24           B. 12               C. 8          D. 6

4.从中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是

（A） （B） （C） （D）

5.从编号分别为1,2,3,4,5,6的六个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为

（A）          （B） （C） （D）

6.已知数列，其中，，则满足的不同数列一共有

（A）个 （B）个 （C）个 （D）个

7.★★甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为.

8.把4件不同的产品摆成一排.若其中的产品与产品都摆在产品的左侧,则不同的摆法有种.（用数字作答）

9. 2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种.

10.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成          种重卦．（用数字作答）

【巩固练习——提高篇】

1.在手绘涂色本的某页上画有排成一列的条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为

（A） （B） （C） （D）

2.一个国际象棋棋盘（由个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）. “L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则

  （A）至多能剪成19块“L”形骨牌  

  （B）至多能剪成20块“L”形骨牌 

  （C）一定能剪成21块“L”形骨牌  

  （D）前三个答案都不对

3.现要给个唱歌节目和个小品节目排列演出顺序，要求个小品节目之间恰好有个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是.（用数字作答）

4.在锐角的边上有异于顶点的个点，边上有异于顶点的个点，加上点，以这个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）.

5.现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有种.（用数字作答）