新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.12 圆锥曲线中探索性与综合性问题

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§8.12　圆锥曲线中探索性与综合性问题
(1)求双曲线C的标准方程；
设双曲线C的焦距为2c.由双曲线C的离心率为2知c＝2a，
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M.使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
假设存在点M(t,0)(t0)的直线l与C交于A，B两点.(1)若t＝4，求AP长度的最小值；
(2)设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得－4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
设直线AB的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即有y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，设以AB为直径的圆上任一点Q(x，y)，M(x3,0)，N(x4,0)，所以Q的轨迹方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝4m2＋2t，x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝－4m2t＋4m2t＋t2＝t2.所以Q的轨迹方程化为x2－(4m2＋2t)x＋t2＋y2－4my－4t＝0.令y＝0，得x2－(4m2＋2t)x＋t2－4t＝0.所以上式方程的两根分别为x3，x4，则x3x4＝t2－4t.
即有t2－4t＝－4，解得t＝2.
例2　(2022·梅州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C： (a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋2 －1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程；
设椭圆C： 的右焦点F2(c,0)，则以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆(x－c)2＋y2＝a2，
又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a＝2c，b＝ c，
(2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线MN的距离的取值范围.
设B(m，n)，线段MN的中点为D，直线OD与椭圆交于A，B两点，因为O为△BMN的重心，则|BO|＝2|OD|＝|OA|，
即B到直线MN的距离是原点O到直线MN的距离的3倍.当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时点B在长轴的端点处.由|OB|＝2，得|OD|＝1，则点O到直线MN的距离为1，点B到直线MN的距离为3.
当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因为D为线段MN的中点，所以x1＋x2＝－m，y1＋y2＝－n，
即6mx＋8ny＋4n2＋3m2＝0，
(2022·开封模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足 ＝(0，－2).(1)求抛物线C的方程；
得4＝p2，又p>0，∴p＝2，则抛物线C的方程为y2＝4x.
消去y得4x2＋(4m－4)x＋m2＝0，满足Δ＝(4m－4)2－16m2＝－32m＋16>0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即x1＋x2＋2＝4，即3－m＝4，m＝－1.
圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质.如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有 ＝0.
跟踪训练2　(2022·福州模拟)如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2： ＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝ .(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；
所以抛物线C1的方程为y2＝8x，
(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
由题设知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋4.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.
要使S1∶S2＝3∶13，
解得m＝±1，所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件.
KESHIJINGLIAN
(1)求曲线C的方程；
设P点坐标为(x，y)，
(2)设斜率为k的直线交x轴于T，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得|AT|2＋|BT|2为定值，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由.
假设存在k使得|AT|2＋|BT|2为定值．设A(x1，y1)，B(x 2，y2)，设直线AB方程为x＝my＋n，代入3x2＋4y2＝12，得(3m2＋4)y 2＋6mny＋3n2－12＝0.Δ＝36m2n2－4(3n2－12)(3m2＋4)＝48(3m2＋4－n2)>0，
2.已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的实半轴长为1，且C上的任意一点M到C的两条渐近线的距离的乘积为 .(1)求双曲线C的方程；
所以渐近线方程为bx±y＝0，设M(x0，y0)，
因为M(x0，y0)在双曲线上，
(2)设直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C相交于P，Q两点，问在x轴上是否存在定点D，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直？若存在，求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由.
假设存在D(t,0)，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直，则可得kPD＋kQD＝0，F(2,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线l的斜率存在时，直线l：y＝k(x－2)，
可得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，
即k(x1－2)(x2－t)＋k(x2－2)(x1－t)＝0恒成立，整理可得k[2x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋4t]＝0，
所以8k2＋6－4k2(t＋2)＋4t(k2－3)＝0，
3.(2022·承德模拟)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为－ ，设动点P的轨迹为曲线C1.抛物线C2：x2＝2py(p>0)与C1在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线C1于点B，交抛物线C2于点E(点B，E不同于点A).(1)求曲线C1的方程；
设动点P(x，y)(x≠±2)，
(2)是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不存在，请说明理由.
设A(x1，y1)(x1>0，y1>0)，B(x2，y2)，E(x0，y0)，显然直线l存在斜率，设l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，
得x2＝2p(kx＋m)，即x2－2pkx－2pm＝0，∴x1x0＝－2pm，
4.(2022·九江模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，P为直线y＝x－2上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B.当P在y轴上时，OA⊥OB.(1)求抛物线C的方程；
P为直线y＝x－2上的动点，当P在y轴上时，则P(0，－2)，
又因为点P在过点A的切线上，
又因为OA⊥OB，所以直线OA的斜率为1，
解得p＝1，所以抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)求点O到直线AB距离的最大值.
由(1)得抛物线的切线的斜率y′＝x，
又点P在直线y＝x－2上，
消元得x2－2kx－2m＝0，
由题意知直线AB的斜率一定存在，所以设直线AB的方程为y＝kx＋m，
Δ＝4k2＋8m>0，所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－2m，