2023年山西省晋中市昔阳县中考数学质检试卷（3月份）(含答案)

这是一份2023年山西省晋中市昔阳县中考数学质检试卷（3月份）(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山西省晋中市昔阳县中考数学质检试卷（3月份）
第I卷选择题（共30分）一、选择题:（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2sin30°的值为（　　）
A． B．1 C． D．
2．（3分）矩形具有但菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角相等、邻角互补
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．（3分）对于反比例函数y＝，下列判断正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣1，3）
B．图象在第二、四象限
C．不论x为何值，y＞0
D．图象所在的第一象限内，y随x的增大而减小
4．（3分）运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+5 B．y＝﹣2（x﹣1）2+5
C．y＝﹣2（x+1）2﹣5 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5
6．（3分）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
7．（3分）如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡长AB为m米，坡角∠ABH为α，则坡AB的铅垂高度AH为（　　）

A．米 B．msinα米 C．mcosα米 D．mtanα米
8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝30°，则∠DAC的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．70°
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣2 D．π﹣2
第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题:（每题3分，共15分）
11．（3分）二次函数y＝（x+3）2﹣4的顶点坐标是 　 　．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA＝7，OB＝3，则菱形ABCD的面积为 　 　．

13．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan∠ABC的值为 　 　．

14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝　 　．

15．（3分）如图所示，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝6，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值为 　 　．

三、解答题：（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：sin45°+tan45°﹣2cos60°．
（2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
x2﹣2x＝1 第一步
x2﹣2x+1＝1，即（x﹣1）2＝1 第二步
x﹣1＝±1 第三步
x1＝0，x2＝2 第四步
任务一：
填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是 　 　，依据的一个数学公式是 　 　
；第 　 　步开始出现错误；
任务二：请你直接写出该方程的正确解．
17．（7分）“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
A．
嫦娥五号
B．
天问一号
C．
长征火箭
D．
天宫一号
18．（8分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数）y2＝（k为常数，k≠0）的图象交于A、B两点，B点的坐标为（﹣2，﹣1）．
（1）求两个函数的表达式和A点坐标；
（2）根据图象直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．

19．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．榆次“常家庄园”走红网络，成为全国各地游客新的打卡地!游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测．如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度AD为60米，则这栋建筑物的高度是多少米．（结果精确到0.1m．参考数据：sin24°≈0.4，cos24°≈0.9，tan24°≈0.45）

20．（8分）2022年北京冬奥会期间，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人们的广泛欢迎．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
（2）预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，该网店需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，因此决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降低10元，每天可多卖出两套．当销售单价降低m元时，每天的利润W可达到最大．求m的值及最大利润是多少．

21．（9分）如图是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务．
x年x月x日星期日
错题积累
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，
O是AB上一点，且⊙O经过B，D两点，分别交AB，BC于
点E，F．
…
[自勉]
读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确．
——培根
任务：
（1）使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：⊙O与AC相切于点D；
（3）若CD＝，∠BDC＝60°，则劣弧的长为 　 　．

22．（12分）综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G．试猜想线段BF和CG的数量关系并加以证明．
数学思考：（1）请解答上述问题；
问题解决：（2）如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝2，BC＝3，求的值；
问题拓展：（3）在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出△CEG的面积．

23．（13分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设三角形APC的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．


2023年山西省晋中市昔阳县中考数学质检试卷（3月份）
（参考答案与详解）
第I卷选择题（共30分）一、选择题:（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2sin30°的值为（　　）
A． B．1 C． D．
【解答】解：2sin30°＝2×＝1．
故选：B．
2．（3分）矩形具有但菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角相等、邻角互补
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【解答】解：A、对边平行且相等，是矩形的性质，也是菱形的性质，故A不符合题意．
B、对交相等，邻角互补，是矩形的性质，也是菱形的性质，故B不符合题意．
C、对角线相等，是矩形的性质，但不是菱形的性质，故C符合题意．
D、对角线互相垂直，是菱形的性质，但不是矩形的性质，故D不符合题意．
故选：C．
3．（3分）对于反比例函数y＝，下列判断正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣1，3）
B．图象在第二、四象限
C．不论x为何值，y＞0
D．图象所在的第一象限内，y随x的增大而减小
【解答】解：A、图象经过点（﹣1，3），说法错误；
B、图象在第二、四象限，说法错误；
C、不论x为何值，y＞0，说法错误；
D、图象所在的第一象限内，y随x的增大而减小，说法正确；
故选：D．
4．（3分）运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：几何体的左视图是：

故选：D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+5 B．y＝﹣2（x﹣1）2+5
C．y＝﹣2（x+1）2﹣5 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，
抛物线y＝﹣2x2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝﹣2（x﹣1）2；
由“上加下减”的原则可知，
抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝﹣2（x﹣1）2+5．
故选：B．
6．（3分）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
【解答】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，
∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；
当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；
当＝时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；
故选：D．
7．（3分）如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡长AB为m米，坡角∠ABH为α，则坡AB的铅垂高度AH为（　　）

A．米 B．msinα米 C．mcosα米 D．mtanα米
【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，
则坡AB的铅垂高度AH为：AH＝msinα米．
故选：B．
8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝30°，则∠DAC的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．70°
【解答】解：连接BD，

∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝60°，
∴∠CAD＝∠CBD＝60°，
故选：C．

9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：观察二次函数图象得：，
∴b＜0，
∴一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，
∴只有D选项符合题意．
故选：D．
10．（3分）如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣2 D．π﹣2
【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，
∴AC＝AO，BC＝BO，
∵AO＝BO，
∴四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AC＝2，
∴OC＝3，AD＝AC＝，
∴AB＝2AD＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC＝﹣2×2＝π﹣2．
故选：C．

第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题:（每题3分，共15分）
11．（3分）二次函数y＝（x+3）2﹣4的顶点坐标是 　（﹣3，﹣4）　．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+3）2﹣4，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），
故答案为：（﹣3，﹣4）．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA＝7，OB＝3，则菱形ABCD的面积为 　42　．

【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝7，OB＝3，
∴AC＝2AO＝14，BD＝2OB＝6，
∴菱形ABCD的面积为14×6＝42．
故答案为：42．
13．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan∠ABC的值为 　　．

【解答】解：延长BC至格点D，连接AD，
∵AD2＝12+12＝2，
AB2＝32+12＝10，
BD2＝22+22＝8，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴tan∠ABC＝＝＝，
故答案为：．

14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝　60°　．

【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADC＝β，∠AOC＝α；
而α+β＝180°，
∴，
解得：，
∴∠ADC＝60°，
故答案为：60°．
15．（3分）如图所示，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝6，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值为 　　．

【解答】解：∵tan∠AOD＝＝，
∴设AD＝3a、OA＝4a，
则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），
∵CE＝2BE，
∴BE＝BC＝a，
∵AB＝4，
∴点E（6+4a，a），
∵反比例函数y＝经过点D、E，
∴k＝12a2＝（6+4a）a，
解得：a＝或a＝0（舍），
则k＝12×＝，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：sin45°+tan45°﹣2cos60°．
（2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
x2﹣2x＝1 第一步
x2﹣2x+1＝1，即（x﹣1）2＝1 第二步
x﹣1＝±1 第三步
x1＝0，x2＝2 第四步
任务一：
填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是 　配方法　，依据的一个数学公式是 　完全平方公式　
；第 　二　步开始出现错误；
任务二：请你直接写出该方程的正确解．
【解答】解：（1）原式＝+1﹣2×
＝+1﹣1
＝；
（2）任务一：
上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式；第二步开始出现错误；
任务二：正确的解法为：
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
故答案为：配方法，完全平方公式，二，x1＝1+，x2＝1﹣．
17．（7分）“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
A．
嫦娥五号
B．
天问一号
C．
长征火箭
D．
天宫一号
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“A．嫦娥五号”图案的结果有6种，
∴小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为＝．
18．（8分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数）y2＝（k为常数，k≠0）的图象交于A、B两点，B点的坐标为（﹣2，﹣1）．
（1）求两个函数的表达式和A点坐标；
（2）根据图象直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．

【解答】解：（1）又∵反比例函数图象过B（﹣2，﹣1），
∴k＝﹣1×（﹣2）＝2，
∴反比例函数y＝，
∵一次函数y＝x+b，图象过B点，
∴﹣1＝﹣2+b，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1，

解方程组，得或，
∴A（1，2）；
（2）当y1＜y2时x的取值范围是0＜x＜1或x＜﹣2．
19．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．榆次“常家庄园”走红网络，成为全国各地游客新的打卡地!游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测．如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度AD为60米，则这栋建筑物的高度是多少米．（结果精确到0.1m．参考数据：sin24°≈0.4，cos24°≈0.9，tan24°≈0.45）

【解答】解：过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则AF＝CE，
由题意得：AB＝20米，∠AEC＝90°，∠CAE＝24°，∠CBE＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
设BE＝CE＝x米，则AF＝x米，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝tan24°≈，
∴AE＝x米，
∵AE﹣BE＝AB，
∴x﹣x＝20，
解得：x≈16.4，
∴AF≈16.4（米），
∴DF＝AD﹣AF＝60﹣16.4＝43.6（米），
即这栋建筑物的高度为43.6米．

20．（8分）2022年北京冬奥会期间，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人们的广泛欢迎．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
（2）预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，该网店需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，因此决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降低10元，每天可多卖出两套．当销售单价降低m元时，每天的利润W可达到最大．求m的值及最大利润是多少．

【解答】解：（1）设每次上涨的百分率为x，根据题意得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：每次上涨的百分率为20%；
（2）根据题意得：W＝（216﹣m﹣96）（+16），
＝﹣m2+8m+1920，
＝﹣（m﹣20）2+2000，
∴当m＝20时，W最大，最大值为2000，
答：当降价钱数m为20元时，每天的利润可达到最大，最大利润是2000元．
21．（9分）如图是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务．
x年x月x日星期日
错题积累
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，
O是AB上一点，且⊙O经过B，D两点，分别交AB，BC于
点E，F．
…
[自勉]
读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确．
——培根
任务：
（1）使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：⊙O与AC相切于点D；
（3）若CD＝，∠BDC＝60°，则劣弧的长为 　π　．

【解答】（1）解：根据题目要求补全图形如下：

（2）证明：连接OD，如图：

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ODA＝∠C＝90°，
∴OD⊥AC，
又OD是⊙O的半径，
∴⊙O与AC相切于点D；
（3）解：在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝CD＝×＝3，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC＝60°，
在Rt△ABC，∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴AC＝BC＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝2，
由（2）知∠ODA＝90°，
∴∠AOD＝180°﹣∠ODA﹣∠A＝60°，OD＝AD•tanA＝2×＝2，
∴劣弧的长为＝π，
故答案为：π．
22．（12分）综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G．试猜想线段BF和CG的数量关系并加以证明．
数学思考：（1）请解答上述问题；
问题解决：（2）如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝2，BC＝3，求的值；
问题拓展：（3）在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出△CEG的面积．

【解答】（1）证明：BF＝CG，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠ACD＝∠DAC＝45°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EFC＝∠ECF＝∠ECG，
∴EF＝EC，
∵BE⊥EG，
∴∠BEG＝90°，
∴∠BEG＝∠FEG，
∴∠BEC+∠CEG＝∠BEG+∠FEB，
∴∠FEB＝∠CEG，
∴△BEF≌△GEC（ASA），
∴BF＝CG；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠BCE+∠EFB＝90°，∠FEB+∠BEC＝90°，
∴∠EFB＝∠ECG，
又∵BE⊥EG，
∴∠CEG+∠BEC＝90°，
∴∠FEB＝∠CEG，
∴△BFE∽△GCE，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴tan∠ECF＝，
∴＝，
∴＝；
（3）过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于点N，

∵E为AC的中点，
∴AC＝EC，
∵EM⊥DC，AD⊥DC，
∴EM∥AD，
∴，
∴DM＝CM＝1，
同理可得BN＝CN＝，
由（2）知△BFE∽△GCE，
∴∠EBF＝∠G，
∴tan∠EBN＝＝＝tanG＝，
∴＝，
∴CG＝，
∴S△CEG＝CG•EM＝××＝．
23．（13分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设三角形APC的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2中，
∴，
解得．
∴y＝﹣x2﹣x+2；
（2）令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+2，
过点P作PG∥y轴交AC于点G，
设P（t，﹣t2﹣t+2），则G（t，t+2），
∴PG＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t，
∴S＝×3×（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∵点P是直线AC上方，
∴﹣3＜t＜0，
∴当t＝﹣时，S有最大值，
此时P（﹣，）；
（3）存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设M（m，﹣m2﹣m+2），Q（x，0），A（﹣3，0），C（0，2），
①当MQ为平行四边形的对角线时，，
解得（舍）或，
∴Q（﹣1，0）；
②当MA为平行四边形的对角线时，，
解得（舍）或，
∴Q（﹣5，0）；
③当MC为平行四边形的对角线时，，
解得或，
∴Q（2+，0）或（2﹣，0）；
综上所述：Q点坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）．