人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课时作业

人教A版（2019）必修第一册 5.4 三角函数的图象与性质

一、单选题

1．函数是（       ）

A．奇函数，且在区间上单调递增 B．奇函数，且在区间上单调递减

C．偶函数，且在区间上单调递增 D．偶函数，且在区间上单调递减

2．设函数，则下列结论正确的是

A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称

C．的一个零点是 D．在单调递增

3．函数的单调增区间是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

4．函数的部分图大致为（       ）

A． B．

C． D．

5．若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（       ）

A． B．

C． D．

6．函数在其定义域上是

A．奇函数 B．偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．不能确定

7．已知函数（，），若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

8．设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

9．设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则等于（       ）

A． B． C． D．-2

10．若函数的部分图象如图所示，则（       ）

A． B．

C． D．

11．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是

A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│

C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│

12．若函数的最小正周期为，则（       ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．若，则下列各式错误的有______.（填序号）

①；             ②；

③；             ④

14．右图是函数（，）的一段图像，则该函数解析式为______.

15．若函数的图象关于点对称，则实数_______．

16．已知函数，，则该函数的图像与直线的交点坐标是______．

17．已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.

三、解答题

18．已知集合是满足下述性质的函数的全体：存在非零常数，对于任意的，都有成立.

（1）设函数，试证明：；

（2）当时，试说明函数的一个性质，并加以证明；

（3）若函数，求实数的取值范围.

19．已知函数y= Asin（x+）（A>0，>0，||<）在一个周期上的图象如图所示.求这个函数的解析式.

20．已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；

（1）①的一条对称轴且；

②的一个对称中心，且在上单调递减；

③向左平移个单位得到的图象关于轴对称且

从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；

（2）在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数的取值范围.

21．如图是函数（，，）的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是这部分图象的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．

(1)求函数的解析式及其在上的单调递增区间；

(2)当时，函数的最小值为，求实数a的值．

参考答案：

1．D

根据函数奇偶性的定义和余弦函数的性质，即可求解.

【详解】

由题意，函数的定义域，且，

所以函数为偶函数，

又由余弦函数的性质，可得在区间为递减函数.

故选：D.

2．B

根据周期公式计算可知，选项A错误；根据的余弦值可知，选项B正确且选项C错误；根据区间的长度大于半个周期可知，选项D错误.

【详解】

因为，所以选项A错误；

因为，所以选项B正确；

因为，所以选项C错误；

的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误.

故选：B.

本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.

3．C

的单调增区间，即函数的单调减区间，然后解出不等式即可得答案.

【详解】

的单调增区间，即函数的单调减区间.

令，求得，，

故函数函数的单调减区间为，，

故选：C

4．C

利用函数的奇偶性的性质，可判断AB，再利用函数解析式可得排除D.

【详解】

因为函数，为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除AB；

又，

∴，故排除D.

故选：C.

5．B

根据、、与的图象特征依次判断即可得到结果.

【详解】

对于A，，图象与重合，A错误；

对于B，与图象关于轴对称，与图象关于轴对称，B正确；

对于C，当时，，可知其图象不可能与关于轴对称，C错误；

对于D，将位于轴下方的图象翻折到轴上方，就可以得到的图象，可知其图象与的图象不关于轴对称，D错误.

故选：B.

6．B

根据三角函数的诱导公式化简函数，即可得出它的性质是什么．

【详解】

函数，此时函数为偶函数，故选B．

本题考查了三角函数的诱导公式与三角函数的图象与性质的问题，是基础题目．

7．C

由已知得，，且，解之讨论k，可得选项.

【详解】

因为的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，故排除A，B；

又，且，解得，

当时，不满足，

当时，符合题意，

当时，符合题意，

当时，不满足，故C正确，D不正确，

故选：C.

关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于的不等式组，解之讨论可得选项.

8．D

由题意，方程在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得的范围．

【详解】

函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，

，

如图：

①当，则，得无解；

②当，则，求得；

③当时，则，求得；

④当时，区间长度超过了正弦函数的两个最小正周期长度，故方程在区间上至少有4个根，不满足题意；

综上，可得或；

故选：D.

9．D

利用余弦函数的性质可求得cosx范围，进而确定函数的值域，求得M和m，则M+m的值可得.

【详解】

因为，所以，

所以，

所以M+m=-2.

故选：D

10．D

由图象中点的坐标，可确定斜率求出；由图象结合三角函数的周期性，求出，再由最小值点可求出.

【详解】

由题意可得，；

由图象可得，函数的周期为，则；

所以当时，，又，所以，

则，所以，

又，所以.

故选：D.

11．A

本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．

【详解】

因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．

利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；

12．C

先求得，求得函数在上单调递增，结合，，利用单调性作出比较，即可求解.

【详解】

由题意，函数的最小正周期为，

可得，解得，即，

令，即，

当时，，即函数在上单调递增，

又由，

又由，所以.

故选：C.

本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，合理应用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

13．④

利用三角函数的定义和值域，不等式的基本性质，得出结论.

【详解】

若，则，

所以，，①正确，④错误，，②正确，

，③正确，

故答案为：④

14．

根据图形求出周期，即可得出，再由可求出.

【详解】

由图可得，所以，则，

又，即，

，，则，即.

故答案为：.

15．3

解方程，即得解.

【详解】

由题得，

所以

所以.

当时，函数的图象关于点对称.

故答案为：3

16．

联立方程组，再结合即可得到答案.

【详解】

函数，的图象与直线的交点坐标即为方程组

，的解.

则，解得

函数，的图象与直线的交点坐标是.

故答案为：   .

17．

设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可.

【详解】

如图，

设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，

故.

在中，

由双曲线的定义可得

，

.

故答案为：

本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.

18．（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）.

（1）取，推得，即可得所以；

（2）当时，可得，推得，即可求解；

（3）由，得到成立，根据和两种情况，结合函数的新定义，即可求解.

【详解】

（1）由题意，函数，

取，对于任意的，，

所以.

（2）当时，可得，所以，

即，所以是一个周期函数，周期为2.

（3）因为，所以存在非零常数，对于任意的，

都有成立，即，

①若，取，则对于恒成立是不可能的；

②若，取，则对于也不成立，所以，

当时，，整理得，

所以，解得；

当时，，整理得，

所以，解得，

综上可得，实数的取值为.

19．

通过图象的最高点或最低点可以直接求出，结合函数相邻零点求出（为函数的最小正周期），最后利用正弦型函数最小正周期公式求出，最后把其中一个点的坐标代入函数解析式中求出的值，最后写出正弦型函数的解析式.

【详解】

由图像知,.

设函数的最小正周期为，,，

，，

所以

把点代入解析式中有：

由，

，

所以函数的解析式为：.

20．（1）选①②③，；（2）.

（1）根据题意可得出函数的最小正周期，可求得的值，根据所选的条件得出关于的表达式，然后结合所选条件进行检验，求出的值，综合可得出函数的解析式；

（2）求得，由可计算得出，进而可得出，由参变量分离法得出，利用基本不等式求得的最小值，由此可得出实数的取值范围.

【详解】

（1）由题意可知，函数的最小正周期为，.

选①，因为函数的一条对称轴，则，

解得，

，所以，的可能取值为、.

若，则，则，不合乎题意；

若，则，则，合乎题意.

所以，；

选②，因为函数的一个对称中心，则，

解得，

，所以，的可能取值为、.

若，则，当时，，

此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意；

若，则，当时，，

此时，函数在区间上单调递减，合乎题意；

所以，；

选③，将函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称，

所得函数为，

由于函数的图象关于轴对称，可得，

解得，

，所以，的可能取值为、.

若，则，，不合乎题意；

若，则，，合乎题意.

所以，；

（2）由（1）可知，

所以，，

当时，，，所以，，

所以，，

，

，，则，

由可得，

所以，，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，所以，.

结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

21．(1)，

(2)

（1）由图像求得解析式，再利用整体法求出单调区间，再赋值求交集即可求解；（2）换元法得的范围，利用二次函数讨论对称轴与区间的关系求最小值求解a

(1)

∵点是线段DM的中点，

∴，．

∵函数，

∴．周期，解得．

∵，∴，

解得，又，∴．

∴．

令，解得，当时，，

∴函数在上的单调递增区间为．

(2)

∵，∴，

∴．

令，则，∴．

设，则函数图象的对称轴为直线．

当，即时，，解得；

当，即时，，

解得（舍去）；

当，即时，，

解得（舍去）．综上，．