小学数学人教版六年级上册8 数学广角——数与形教案设计

人教版六年级上册《 数学广角——数与形》教学设计

一、教材与学情分析：

【教材分析】

    《数与形》是人教版六年级上册第八单元“数学广角”新增的内容。教材分两个例题进行编排，其中例2是利用图形直观解释抽象的数学问题，是以形助数的内容。教材让学生通过观察与计算，发现加数的规律与和的规律。通过利用分数意义的直观模型，感受 “无限接近”的含义，让学生知道最终的结果就是 1，从而说明有些问题通过画图解决起来更直观。

      教材仅仅通过画图就要让学生认为最终结果就是1，缺乏应有的推理和严谨的逻辑很难使学生信服，怎么从数的“无限接近”到了作图就能说明等于了呢？难道图比数更精确吗？

【学情分析】

      虽说在学习本课之前，学生对数形结合思想方法有一些感受和认识，特别是对以形助数来分析问题有一定体会，但是本课教学的真正起点在哪里？笔者认为有必要做一个简单的课前检测。下面是我对本班50名学生的前测数据：

题1：用图形解释5.8×3＋5.8×7=5.8×(3+7)=58 的合理性？

前测结果：

正确率32%，大部分学生知道计算过程是应用乘法分配律，但无法用图形解释。

分析：   

1.多数学生认为以形助数是额外的负担。

2.没有相关内容的训练和技能保证。

题2：算一算0.9+0.09+0.009+……=？

前测结果：

0.9+0.09+……=0.999……（72%）

0.9+0.09+0.009+……=1    （10%）

不会解答   （18%）

分析：  

1．学生缺乏表示无限结果的方式。

2．学生难以理解无限接近就是等于。

二、教学目标及重难点：

教学目标：

1.在解决1/2+1/4+1/8+……=1的问题情境中，借助图形支撑直观感受数与形之间的关系，并解决数的问题，感受极限思想和错位相减法。

2.经历观察、猜想、验证、归纳等过程，培养灵活运用知识的能力。

3.体会数形结合、极限等基本数学思想，感受数学的趣味性。

教学重点：经历观察、猜想、验证、归纳等活动，在数与形之间建立联系，增强以形助数的意识。

教学难点：体会极限思想，感悟数形结合价值。

三、过程设计

回顾知识，明确任务。

1.提问：回忆一下，上节课我们学习了什么知识？（课件呈现）

2.提问：我们是怎样来学习的？

预设:形中有数，以数解形，数形互助。

3.明确任务：今天我们继续学习数与形，再次体会数与形的魅力。（板书课题）

【设计意图】上课伊始，复习旧知，明确目标。通过对上节课数与形知识的回顾，唤醒相关经验和记忆，让学生思维快速聚焦到相关内容的学习上来，为例2的学习做好铺垫。

尝试解决，自主探究

活动1：分数计算，建构模式。

提问：1/2+1/4=？、1/2+1/4+1/8=？

追问：继续加下去，接下来会加多少？
预设：1/16, 从第二个数开始，后面一个数是前面一个数的1/2。

计算：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=？想一想：你是怎么算的？

预设1：通分

预设2：和的规律：分子比分母小1。
预设3：1减去最后一个分数。

追问：为什么是1减去最后一个分数？引出活动2

【设计意图】在尝试解决问题的过程中，学生从不同角度获得猜想，从猜想出发，推理概括得到一般性的规律。学生经历这种典型的归纳推理过程，获得解决数学问题的程序性知识。

活动2：以形助数、沟通联系。

提问：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=？ 这个算式在图中表示的是什么？

预设：涂色部分的面积。
提问：1-1/32在图中又表示什么？
预设：涂色部分面积，1-1/32表示整个正方形面积减空白部分面积。

【设计意图】借助分数意义模型的直观，学生感受数与形可以互相解释。在解决问题中体会以形助数的力量，感受数形结合思想方法的价值。

活动3：数形结合、感悟极限。

呈现例2：

提问：像这样的数列（等比数列）求和，你猜一猜结果可能是多少？
预设：n-1/n 、 1-1/n、  1

学生独立思考解决、作图形帮助理解、错位相减法证明，然后小组交流，教师巡视指导，收集各种不同的方法，集体汇报。

预设１：正方形图、圆形图、线段图。
预设2：计算，推理，找规律。

预设3：错位相减法

【设计意图】本环节笔者尝试让学生在明确研究任务、研究方法的基础上，让学生自己独立思考、小组交流后全班汇报，让课堂成为多元思维表达的场所，学生质疑、争论的平台。让学生充分感受算式的最终结果到底是不是１，即有了图形的直观支持，也会有数据的推理论证，充分展现数形的魅力。

活动4.教师介入教学

（1）以形助数，动态演示，无限接近1。

介绍：不停地加下去，空白越来越少，最后被红色全部覆盖，结果就是1个圆。

（2）刘徽割圆术

介绍：刘徽的割圆术：就是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周长，并以此求出圆周率的方法。正多边形与圆合体而无所失矣。

（3）牛顿的结论和形式证明。

介绍：家喻户晓的的牛顿，其实也是一位伟大的数学家，我们来听听他是怎么说的。

介绍：错位相减法：我们还可以将这个数列看成a,扩大两倍就是2a，2a-a=a=1。无限的部分被抵消了。

【设计意图】 从课前的调研我们知道：无限思想是学生理解的最大难点。“无限接近１”学生认为都不等于1。这个环节我们借助课件的动态演示，让学生亲身体验图形中空白部分与涂色部分的面积的变化，从而感悟运算的结果“无限接近１”的最终结果就是1，除此之外，我们借助伟人刘徽的割圆术，牛顿的话和错位相减法的证明让学生确信这一结果就是1，进一步体会数形结合的精彩之处。

练习巩固、拓展延伸

1.前测题：请你借助图形解释5.8×3＋7×5.8=5.8×(3+7)=58的合理性？

0.9+0.09+0.009+……=1？的理由吗？

预设：展示学生课前的作品，供大家交流讨论。

2．画图解释完全平方公式？ 

【设计意图】通过以上习题的训练，学生在独立思考、讨论交流、欣赏品评中巩固、强化了以形助数和错位相减法的技能，充分感受数形结合和错位相减法的价值和用途。

品读名言，总结升华。

小结：今天这节课，我们研究了数与形例2，华罗庚先生说，数缺形时少直观，形少数时难入微。你能用今天学的知识解释吗？（板书：直观、准确。）

      看来，数与形有着各自的优势，学习中只有将数形结合起来，才能将数学学好。学生（齐读）：数形结合百般好，隔离分家万事休！

【设计意图】 教师与学生一起品评数学家华罗庚的话作为全课总结，让学生和数学家产生共鸣，不但强化了数形结合的意识，也让学生接受了数学文化的熏陶。

四、教学反思：

 《数与形》例2的教学是对教材中隐性的数形结合思想、极限思想的一个展现。数形结合大致分为以数解形和以形助数两类。由于小学生的年龄、知识的局限，数形结合在小学阶段更多表现为以形助数，降低思维难度。极限思想的渗透使学生在今后接触极限内容学习时，从有限到无限的过渡更加自然。本课教学关注了以下几个点：

1.教学目标的定位

       很显然，本课教学目标绝不能定位在知识和技能的掌握上，而是引领学生经历观察、猜想、验证、归纳等活动，促进学生对极限思想、数形结合思想和方法的进一步体验、总结以及应用，感悟它们的价值。为了更加注重经历、体验、探索等过程性目标的落实，让数与形的教学价值落到实处，本课做到了以下两点：

（1）回顾旧知，唤醒经验。笔者在教学本节课时，让学生回顾过往的数与形教学和渗透极限思想载体的割圆术、循环小数，让课堂更有厚度，唤醒学生的学习经验，为探究活动做了铺垫。

（2）给予学生充分的时间和空间，去经历、体验和探索。思想和方法形成

的前提是让学生经历、体验、探索、应用的历练。本节课教学中，教师不仅给予学生大量的探究活动时间，也给予学生充分的质疑、猜想、验证的活动空间，使学生充分感受以形助数的直观性和无限接近就是等于的道理。

2.数学文化的渗透

       数学文化是一种重要的教学资源。本课中，笔者适时点出平方数、等比数列，错位相减法、无限接近，完全平方和公式、以形助数，割圆术，着重介绍数学家刘徽、牛顿、华罗庚的名人名言，正是利用好这一系列数学文化资源，让学生在掌握知识与技能的基础上，深深感受数学文化的熏陶，感悟数形结合、极限思想的魅力。