高一下学期数学微专题25讲 11.爪型三角形中的范围与技巧

11爪型三角形中的范围与技巧

一．基本原理

1.爪型三角形的基本几何特征:如图， .

2.斯特瓦尔特定理：设为的边上异于的任一点，则有.

证明：由余弦定理，可得：

①

②，将上述两式分别乘后相加整理，可得.

注：可以看到，斯特瓦尔特定理的证明关键是利用爪型三角形中两角互补，即： 这个隐含条件，而这个条件是处理爪型三角形的一个重要技巧.

推论1.当设为的边中点时，.

注：该结论还可由证得.

推论2.当设为的角平分线时，.

推论3.当设满足时，.

3.等面积思想.

设为的平分线，则设，那么有等面积可得：

，

进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.

同时，该思想在处理高线问题时亦然有效，请读者注意.

二．典例分析

例1.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若为的中点，且，求的最大值.

解：（1）由正弦定理及得，

由知，

则，化简得，.

又，因此，.

（2）由，又为的中点，则，

等式两边平方得，

所以，

则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.

例2．内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）是边上一点，且，，求面积的最大值.

解析：（1）因为，由正弦定理可得，

又，所以，因为，

所以，则，

又，所以，

因为，所以；

（2）根据题意可得，

所以，

即，所以，当且仅当

等号成立

所以，面积的最大值为.

例3.（2022成都一诊）在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________.

解析：，依题意是角的角平分线，

由三角形的面积公式得，

化简得，，

.当且仅当，时等号成立.故答案为：

如图，在三角形中，已知角的大小，为边上一点.那么我们可利用初中的相似三角形来求解一些这种条件下的爪型三角形问题，简直妙！

如下图，过点做的平行线交延长线于，则，且由平行的性质可知：，于是，已知角的大小即可得的大小，倘若我们进一步指导的长度，以及点为边上的具体位置，那么在中可以解决很多问题，下面通过例题来分析.

解2：如上图，由于，故由可得，再加之为角的平分线，则，于是为等边，则，最后由于，可得：.

由于，等号成立当且仅当.

下面看利用等面积思想来求解高线问题

例4.已知锐角内角，，的对边分别为，，.若.

（1）求角的大小；

（2）若，求边上高的取值范围.

解析：（1）由条件可知：，，

∵，∴，，

又，∴，∴，∴；

（2）设边上的高为，则

且，∴，∴

由正弦定理得，，又

∴

，

∵为锐角三角形，∴ ，解得： ，

∴，∴，∴边上高的取值范围是；

综上， ，边上高的取值范围是.

三．习题演练

习题1．已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）记分别为内角的对边，且，的中线，求面积的最大值．

习题2．已知向量，，函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求3a＋4b的最小值．

解析：（1），则函数的最小正周期.

（2）由（1）可知，当，即时，取得最大值为，则，，因为平分，所以，则点分别到的距离，由，则，即，整理可得，

，当且仅当，即时，等号成立，故最小值为.