数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布授课ppt课件

这是一份数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布授课ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了41二项分布，问题引入，探究新知，正态分布，μ-1，知识点1正态曲线，正态曲线，XNμσ2，标准正态分布，但不能与x轴相交等内容，欢迎下载使用。

第7章 随机变量及其分布
人教A版（2019） 选择性必修第三册
问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400 g.由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐,获得误差X的观测值(单位:g)如下:
-0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9
(1) 如何描述这100个样本误差数据的分布?(2) 如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?
可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如图.
频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.观察图形可知:误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,而目小误差比大误差出现得更频繁.
随着样本数据量越来越大,让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线.
根据频率与概率的关系，可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.
任意抽取一袋盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可以用图中黄色阴影部分的面积表示.
思考：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线有哪些特点？
1、曲线是单峰的，关于直线x=μ对称；2、曲线在x=μ处达到峰值 ；3、当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；4、曲线与x轴之间的面积为1.
参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度。
函数f(x)= ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方,可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称　　　　　　(如图所示).
　μ是期望,σ是标准差
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数f(x)= (x∈R)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.(　　)(2)正态密度函数f(x)的值可正可负,但不能为0.(　　)(3)正态密度函数的图象与x轴之间区域的面积是变化的.(　　)
2.下列函数是正态分布密度函数的是(　　)
知识点2　正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为　　　　　　.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从　　　　　　　.如图所示,X取值不超过x的区域P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)符合正态分布的随机变量X的取值在区间[a,b]上的概率等于正态曲线与直线x=a,x=b以及x轴所围成的封闭图形的面积.(　　)2.参数μ,σ在正态分布中的实际意义是什么?
提示 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.
知识点3　正态曲线的特点1.曲线位于x轴　　　　,与x轴　　　　　. 2.曲线是单峰的,它关于直线　　　　对称. 3.曲线在　　　　处达到峰值　　　　　　　. 
4.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.5.曲线与x轴之间的面积为　　　　. 
6.当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿　　　　平移,如图①. 
7.当μ一定时,曲线的形状由σ确定,当σ较小时,峰值高,曲线“　　　　”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,曲线“　　　　”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②. 
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.(　　)(2)正态曲线可以关于y轴对称.(　　)(3)正态曲线的“胖瘦”由σ决定.(　　)
2.(多选题)已知三个正态密度函数φi(x)= (x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.σ1=σ2B.μ1>μ3C.μ1=μ2D.σ2<σ3
解析 根据正态曲线关于直线x=μ对称,且μ越大,图象越靠右,可知μ1<μ2=μ3,故BC错误;因为σ越小,数据越集中,图象越瘦高,所以σ1=σ2<σ3,故AD正确.故选AD.
知识点4　正态总体在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则1.三个特殊区间内取值的概率若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.2.3σ原则在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
名师点睛对于正态分布N(μ,σ2)而言,随机变量X在[μ-3σ,μ+3σ]之外取值几乎不可能发生,它在产品检查、质量检验中起着重要的作用.
过关自诊设X~N(1,22),试求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X≥5).
解∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682 7.
(2)∵P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1),
【例1】一个正态曲线如图所示,试根据该图象写出其正态分布密度函数的解析式,求出随机变量的均值和方差.
规律方法　利用正态曲线的特点求参数μ,σ(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此特点结合图象可求出μ.(2)正态曲线在x=μ处达到峰值 ,由此特点结合图象可求出σ.
变式训练1若一个正态分布密度函数是偶函数,且该函数的最大值为 ,则该正态分布密度函数的解析式为　　　　　　　　　　　. 
解析 因为该正态分布密度函数是偶函数,所以正态曲线关于y轴对称,即μ=0,而正态分布密度函数的最大值是
【例2】 (1)(2022安徽亳州期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),若P(ξ≤4)=0.78,则P(2<ξ<3)=(　　)A.0.2(2)设X~N(5,1),求P(6≤X≤7).
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),∴正态分布曲线的对称轴为x=3,又P(ξ≤4)=0.78,∴P(3≤ξ≤4)=P(ξ≤4)- =0.78-0.5=0.28,∴P(2≤ξ≤3)=P(3≤ξ≤4)=0.28.故选C.
(2)解依题意,μ=5,σ=1,∴P(4≤X≤6)=P(5-1≤X≤5+1)≈0.682 7,P(3≤X≤7)=P(5-2≤X≤5+2)≈0.954 5,
规律方法　在正态分布下解决求某区间的概率问题,可利用正态曲线的对称性,将所求区间的概率转化为已知区间的概率,或利用3σ原则转化为特殊区间的概率.
变式训练2(1)若随机变量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,则P(ξ>11)=　　　　　. (2)若在一次数学考试中,某班学生的分数为X,且X~N(110,202),满分为150分,这个班的学生共有54人,求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)约为多少人.
(1) 答案 0.3
解析 由P(9≤ξ≤11)=0.4且正态曲线以直线x=μ=10为对称轴知,P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4.P(10≤ξ≤11)=0.2,∵P(ξ≥10)=0.5,∴P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.