2023年山东省济南市长清区（东片区）中考一模数学试题

这是一份2023年山东省济南市长清区（东片区）中考一模数学试题，共20页。试卷主要包含了第II卷必须用0， 解不等式组，证明等内容，欢迎下载使用。
2023年济南市长清区（东片区）中考一模数学试题及答案
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为48分；第Ⅱ卷共4页，满分为102分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．

一、 选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1． －3的倒数是（　　）
A． B．3 C．－3 D．－
2．如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是 　 　
A． B． C． D．
3．中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为（   ）
A． B． C． D．
4. 如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果，则的度数是　　

A. B. C. D.
5． 四川三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，其中出土的文物是宝贵的人类文化遗产，在中国的文物群体中，属最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一．
下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是（   ）
A． B． C． D．

6. 中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为（    ）
A． B． C． D．
7． 2023年春节期间，全国各地迎来了旅游热潮，小丽和小希计划趁着寒假在省内结伴游玩．出发之前，
两人用随机抽卡片的方式来决定去哪个景点旅游，于是两人制作了四张材质和外观完全一样的卡片，
每张卡片的正面绘有一张景点图，将这四张卡片背面朝上洗匀，小丽随机抽取一张后放回，
小希再随机抽取一张，则两人抽到的景点相同的概率是（   ）

A . B． C． D．
8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，
得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为 （　　 ）

A. 2 B. 2π C. 4 D. 4π
9．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0，3)，
∠ABO＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为 (　 　)

A．(，) B．(2，) C．(，) D．(，3﹣)
10．已知，二次函数（a，b是常数，a≠0）的图象经过A（2,1）B（4,3）C（4，-1），
三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，
则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的 （   ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11． 分解因式：__________．
12．如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时
（指向两个扇形交线处时，重新转动转盘），事件“指针落在蓝色扇形中”的概率为__________．

13．若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为　 　．
14．代数式与代数式3－2x的和为4，则x ＝________；
15．如图，A,B两地相距20km， 甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后成慢速度继续匀速前进，
甲乙两人离A地的距离s (km)与时间t (h)的关系如图所示，则甲出发_________小时后与乙相遇．


16． 如图，矩形中，E为边上一点，将沿折叠，使点A的对应点F恰好落在边上， 连接交于点N，连接．若，，则矩形的面积为________．

三、 解答题（本大题共10个小题，共86分）

17（6分）.计算：．

18.（6分） 解不等式组：，并写出的所有整数解．


19. （6分）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，
过点O的一条直线分别交、于点E、F，求证：．


20.（8分）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，
被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，
就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，
根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题
(1) 本次调查所得数据的众数是____部，中位数是_____部；
(2) 扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为_____度；
(3) 请将条形统计图补充完整；
(4) 没有读过四大名著的两名学生准备从中各自选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．

20. （8分）100．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，
无人机测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45°．
又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米．
求教学楼BC的高度．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）



22． （8分）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，
过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．
（1） 求证：DF⊥BC；
（2） 求证：DE2=AE•BE．



23.（8分）某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，
已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜30元，
用4200元购买甲型防护服的件数与用5250元购买乙型防护服的件数刚好相等．
(1) 求甲、乙两种型号的防护服每件各是多少元？
(2) 如果该社区计划购进的防护服共需80件，且要求投入的经费不超过11400元，
则最多可购买多少件乙型防护服？




24.（10分）如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，
与反比例函数（）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），
过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，与交于点G（4，3）．

（1） 当点D恰好是中点时，求此时点C的横坐标；
（2） 如图2，连接，求证：；
（3）如图3，将沿折叠，点G恰好落在边上的点H处，求此时反比例函数的解析式．




















25（12分）.在学习了图形的旋转知识后，
数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
（一）尝试探究
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，
点E、F分別在线段BC、CD上，∠EAF＝30°，连接EF．
（1） 如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），
请直接写出∠E′AF＝________度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为________；
（2） 如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，
请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
（二）拓展延伸
如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF＝30°，BE＝1，
将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），
连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．

第25题图2
第25题图1
第25题图3
第25题图4



26.（12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A （1，0）和点B （－3，0），
与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1） 抛物线的解析式为__________，抛物线的项点坐标为__________；
（2） 如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8?
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3） 如图2，连接OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，请求出点D的坐标；
（4） 如图3，点E的坐标为（0，－1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，
若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标．




















2023年济南市长清区（东片区）中考一模数学试题及答案
一、选择题
1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】A 4. 【答案】D 5．【答案】B
6.【答案】A 7．【答案】B 8.【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】C
10.解：由题意得，二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C，
①若经过点A和点B，
∵，都在直线上，而抛物线与轴交点始终在直线上，
∴二次函数的图象不能同时经过点A，B；
②∵，，
∴抛物线也不同时经过点B，点C，
③经过点A、点C，如图，

∴
解得，
∴，
当时，，
则点是的顶点，
此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，此时纵坐标为；
而经过平移，顶点始终在直线上，
故平移后函数表达式为，
当时，，
当时，y有最大值，为：，
故选：C．
二、填空题
11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】8　
14．【答案】x＝－1 15．【答案】 2小时 16．【答案】
16.解：由折叠可得：，，，
∴
∵，
且易得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，，
解得，
∵，
∴，
故答案为：．

三、解答题
17解：
=
=
=1．
18.解：
解不等式①，得，
解不等式②，得.
∴原不等式组的解集为，
则的所有整数解为0，1，2.


19.证明：∵O是平行四边形对角线的交点．
∴，，
∴，
在和，

∴
∴．


20.解：(1)∵调查的总人数为：10÷25%＝40，∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10＝26＞21，2+14＜20，∴中位数为2部，故答案为1、2；
(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：×360°＝54°；故答案为54；
(3)条形统计图如图所示，

(4)将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，画树状图可得：

共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，故P(两人选中同一名著)＝＝．





21．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：

则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB＝57米，DE＝30米，∠DAE＝30°，∠DCF＝45°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan∠DAE＝，
∴AE＝＝＝（米），
∴BE＝AB﹣AE＝米，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝米，
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝∠DCF＝45°，
∴DF＝CF＝米，
∴BC＝EF＝30﹣57+30＝米，
答：教学楼BC的高度为米．







22．证明：（1）连接OD，
∵OA=OD，AB=BC，
∴∠A=∠C，∠A=∠ODA，
∴∠C=∠ODA，
∴OD∥BC，
∴∠BFE=∠ODE，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠BFE=90°，
∴DF⊥BC；
（2） 连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A＋∠ABD=90°，
∵∠ODE=90°，
∴∠ODB＋∠BDE=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD，
∴∠A=∠BDE，
∵∠E=∠E，
∴△DBE∽△ADE，
∴，
∴DE2=AE•BE．

23．解（1）设每件乙型防护服为x元，则每件甲型防护服为元，
根据题意得：， 解得：，
经检验，x＝150原方程的解，
∴．
答：每件甲型防护服为120元，每件乙型防护服为150元．
（2） 设购买y件乙型防护服，则购买件甲型防护服，
根据题意得：，
解得：．
答：最多可购买60件乙种商品．



24解：（1）点D是FG中点
点D（4，），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：
即反比例函数的表达式为：
当时，解得：
即此时点C的横坐标是2
（2） 解：设点D（4，），C（，），
则
则
同理可得：
∴
（3） 解：过点C作于点N，
设，
则，
即点C、D的坐标分别为（，3）、（4，）
则①
∵∠CHD＝90°
∴，
∴
∴
∴②
联立①②并解得：
则点D（4，）
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：
故反比例函数的表达式为：

25解：（一）尝试探究:
（1）∠E′AF＝30°，线段BE、EF、FD之间的数量关系为：EF＝BE＋FD．
理由：∵将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′，
∴AE′＝AE，∠A′B′E′＝∠B＝90°，B′E′＝BE，∠B′A′E′＝∠BAE．
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC＋∠A′B′E′＝180°．
∴F、D、E′在同一条直线上．
∵∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，
∴∠BAE＋∠FAD＝30°．
∴∠B′A′E′＋∠FAD＝30°．
∴∠E′AF＝∠FAE＝30°．
又∵AE′＝AE，AF＝AF，
∴△AFE≌△AFE′．
∴EF＝E′F＝DF＋DE′＝DF＋BE．
（2）在图3中，线段BE、EF、FD之间的数量关系为：EF＝BE－FD．
理由：如答案图1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合）．
∵将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′，
∴AE′＝AE，∠A′B′E′＝∠B＝90°，B′E′＝BE，∠B′A′E′＝∠BAE．
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC＋∠A′B′E′＝180°．
∴F、D、E′在同一条直线上．
∵∠BAE＋∠EAD＝60°， ∠B′A′E′＝∠BAE，
∴∠B′A′E′＋∠EAD＝60°．
即∠E′AE＝60°．
又∵∠EAF＝30°，[来源:学#科#网]
∴∠E′AF＝∠E′AE―∠EAF＝60°―30°=30°．
∴∠EAF＝∠E′AF．
又∵AE′＝AE，AF＝AF，
∴△AFE≌△AFE′．
∴EF＝E′F＝DE′―DF＝BE―DF．
第25题答案图1
第25题答案图2

（二）拓展延伸:
如答案图2，连接E′F．
∵将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），
∴AE′＝AE， B′E′＝BE＝1，∠B′A′E′＝∠BAE．
∵∠BAE＋∠EAC＝60°， ∠B′A′E′＝∠BAE，
∴∠B′A′E′＋∠EAC＝60°．即∠E′AE＝60°．
又∵AE′＝AE，
∴△EAE′是等边三角形．
∵∠E′AE＝60°，∠EAF＝30°，
∴∠E′AF＝∠EAF＝30°．
又∵AE′＝AE，∴AN⊥EE′（三线合一）．
∴＝．
在等边△ABC中，∵AM⊥BC于点M，
∴＝，且∠CAM＝∠BAM＝∠BAC＝30°．
可证∠E′AF＝∠EAF＝30°．
∴∠E′AF＝∠CAM＝30°．
∴∠E′AF－∠FAC＝∠CAM－∠FAC．
∴∠E′AC＝∠FAM．
又∵＝，＝，′
∴△MAN∽△CAE′．
∴＝．
又∵CE′＝1，
∴MN＝．
26.解：（1）函数的表达式为：y＝a（x−1）（x＋3）＝a（x2＋2x−3）=ax2＋bx＋3，
即：−3a＝3，解得：a＝−1，
故抛物线的表达式为：y＝−x2−2x＋3=−（x+1）2＋4，
∴顶点坐标为（−1，4）
故答案为y＝−x2−2x＋3 ； （−1，4）；
（2）不存在，理由：
如图1，连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
令二次函数x=0,解得y=3
∴C（0，3）
设直线BC的解析式为：y＝kx＋b
把C（0，3），B （-3，0）代入得
解得
∴直线BC的表达式为：y＝x＋3，
设点P（x，−x2−2x＋3），点H（x，x＋3），
则S四边形BOCP＝S△OBC＋S△PBC
＝×3×3＋（−x2−2x＋3−x−3）×3＝8，
整理得：3x2＋9x＋7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．
（3）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∴BC=
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×3＝2，
∴yD＝BDsin∠CBO=2×＝2，
代入直线BC得2＝x＋3，
解得x=-1
∴D（−1，2）；




（4）如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
∴H（-1，0），
设直线HE的表达式为：y＝px+q
把H（-1，0），E（0，-1）代入得
解得
∴直线HE的表达式为：y＝−x−1，
联立
解得：x＝（舍去正值），
故点P（，）．