陕西省榆林市2022-2023学年高三数学（文）第一次模拟考试试题（Word版附解析）

这是一份陕西省榆林市2022-2023学年高三数学（文）第一次模拟考试试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容，已知tan)＝9，则tanα＝等内容，欢迎下载使用。

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榆林市2022～2023年度第一次模拟考试
数学试题(文科)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z＝－i(1＋2i)在复平面内对应的点位于( )
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
2．已知集合A＝{x|y＝ln(x＋1)}，B＝{x|2x－1＞－5}，则(ÝRA)∩B＝( )
(A)(－1，＋∞)
(B)(－2，－1)
(C)(－2，－1]
(D)(－2，＋∞)
3．若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
(A)若m∥α，α∥β，则m∥β
(B)若m⊥α，α⊥β，则m∥β
(C)若m∥n，n∥α，则m∥α
(D)若m⊥α，α∥β，则m⊥β
4．已知tan(α＋)＝9，则tanα＝( )
(A)
(B)－
(C)
(D)－
5．已知函数f(x)＝alnx＋x2的图像在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝( )
(A)－2
(B)－1
(C)0
(D)1
6．为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数(满分100分)按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为( )
(A)70
(B)
(C)
(D)60

7．如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线C：x2＝2py(p＞0)的一部分，P为抛物线C上一点，F为抛物线C的焦点，若∠OFP＝120°，且|OP|＝，则p＝( )

(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA＋(b＋λa)sinB＝csinC，则λ的取值范围为( )
(A)(－2，2)
(B)(0，2)
(C)[－2，2]
(D)[0，2]
9．在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，＝2，＝2，则•＝( )
(A)4
(B)
(C)
(D)3
10．已知四面体ABCD外接球的球心O与正三角形ABC外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为2，则该四面体外接球的体积为( )
(A)8π
(B)
(C)16π
(D)
11．已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)＋3cos(ωx＋)在(0，2π)上恰有3个极大值点，则ω的取值范围为( )
(A)(，]
(B)[，)
(C)(，]
(D)[，)
12．已知a2＋lna＝9b4＋2lnb＋1，则下列结论一定成立的是( )
(A)a＜b2＋1
(B)a＜2b2＋1
(C)a＞3b
(D)a＜3b2
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最小值为▲．
14．自然对数的底数e，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和π一样是无限不循环小数，e的近似值约为2.7182818…．若从欧拉数的前4位数字2，7，1，8中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概率为▲．
15．已知函数f(x)是定义在(－2，2)上的增函数，且f(x)的图象关于点(0，－2)对称，则关于x的不等式f(x)＋f(x＋2)＋4＞0的解集为▲．
16．已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，直线l：x＝my＋2(m＞0)与双曲线C相交于A，B两点，点P(6，0)，以PF为直径的圆与l相交于F，M两点，若M为线段AB的中点，则 |MF|＝▲．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(12分)
第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔正式拉开序幕，这是历史上首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．某市为了解高中生是否关注世界杯足球赛与性别的关系，随机对该市50名高中生进行了问卷调查，得到如下列联表．

关注
不关注
合计
男高中生

4

女高中生
14


合计



已知在这50名高中生中随机抽取1人，抽到关注世界杯足球赛的高中生的概率为．
(1)完成上面的2×2列联表；
(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(χ2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
18．(12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，Sn+1＋Sn＝(n＋1)an+1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
19．(12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝，AB＝2CD＝2．
(1)证明：AD⊥PB．
(2)求点A到平面PBC的距离．

20．(12分)
已知P(1，0)是椭圆C：＋＝1(m＞0，n＞0)的一个顶点，圆E：(x－2)2＋(y－2)2＝4经过C的一个顶点．
(1)求C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与C相交于M、N两点(异于点P)，记直线PM与直线PN的斜率分别为k1、k2，且k1＋k2＝k1k2，求k的值．
21．(12分)
已知函数f(x)＝(x－x2)lnx＋(k＋)x2－(k＋1)x，k∈R．
(1)若k＞0，求f(x)的单调区间；
(2)若k∈Z，且当x＞1时，f'(x)＜lnx＋1，求k的最大值．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，已知点P(1，0)，曲线C的参数方程为(φ为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin(θ＋)－＝0．
(1)求C的普通方程与l的直角坐标方程；
(2)若l与C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|．
23．[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x＋a－2|＋|x＋3|．
(1)当a＝0时，求不等式f(x)≥9的解集；
(2)若函数f(x)＞2，求a的取值范围．

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榆林市2022～2023年度第一次模拟考试
文科数学试题逐题解析
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z＝－i(1＋2i)在复平面内对应的点位于( )
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
【答案】D
【解析】z＝－i(1＋2i)＝2－i，所以复数z＝－i(1＋2i)在复平面内对应的点位于第四象限，故选(D)．
2．已知集合A＝{x|y＝ln(x＋1)}，B＝{x|2x－1＞－5}，则(ÝRA)∩B＝( )
(A)(－1，＋∞)
(B)(－2，－1)
(C)(－2，－1]
(D)(－2，＋∞)
【答案】C
【解析】因为A＝{x|y＝ln(x＋1)}＝{x|x＞－1}，B＝{x|2x－1＞－5}＝{x|x＞－2}，所以(ÝRA)∩B＝(－2，－1]，故选(C)．
3．若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
(A)若m∥α，α∥β，则m∥β
(B)若m⊥α，α⊥β，则m∥β
(C)若m∥n，n∥α，则m∥α
(D)若m⊥α，α∥β，则m⊥β
【答案】D
【解析】(A)(B)(C)中都可能出现线在面内的情况，故选(D)．
4．已知tan(α＋)＝9，则tanα＝( )
(A)
(B)－
(C)
(D)－
【答案】A
【解析】因为tan(α＋)＝＝9，所以tanα＝，故选(A)．
5．已知函数f(x)＝alnx＋x2的图像在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝( )
(A)－2
(B)－1
(C)0
(D)1
【答案】B
【解析】因为f(1)＝1，所以3－1＋b＝0，即b＝－2，而f'(x)＝＋2x，故k＝f'(1)＝a＋2＝3，解得：a＝1，所以a＋b＝－1，故选(B)．
6．为了解市民的生活幸福指数 ,某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数(满分100分)按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为( )
(A)70
(B)
(C)
(D)60

【答案】C
【解析】因为(0.0050＋0.0075＋a＋0.0125＋0.0150)×20＝1，解得：a＝0.0100，前3组的频率之和为0.1＋0.15＋0.2＝0.45，第4组的频率为0.3，故市民生活幸福指数的中位数为60＋20×＝，故选(C)．
7．如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线C：x2＝－2py(p＞0)的一部分，P为抛物线C上一点，F为抛物线C的焦点，若∠OFP＝120°，且|OP|＝，则p＝( )

(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【答案】A
【解析】设抛物线C的准线为l，|FP|＝r，过P作l的垂线交l于A，连结AP，过F作FB⊥AF于B，则|BP|＝r－p，因为∠OFP＝120°，所以|FP|＝2|BP|，r＝2(r－p)，解得：r＝2p，P(p，－)，|OP|2＝3p2＋＝＝，解得：p＝1，故选(A)．

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA＋(b＋λa)sinB＝csinC，则λ的取值范围为( )
(A)(－2，2)
(B)(0，2)
(C)[－2，2]
(D)[0，2]
【答案】A
【解析】因为asinA＋(b＋λa)sinB＝csinC，所以由正弦定理可得：a2＋b2＋λab＝c2，即：a2＋b2－c2＝－λab＝2abcosC，即：λ＝－2cosC，因为C∈(0，π)，所以λ∈(－2，2)，故选(A)．
9．在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，＝2，＝2，则•＝( )
(A)4
(B)
(C)
(D)3
【答案】B
【解析】解法1：设＝a，＝b，所以•＝(a＋b)•(a－b)＝a2－b2＋a•b＝－2＋2＝，故选(B)．
解法2：连结BD，因为AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，所以BD⊥AD，以D为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(2，0)，F(－1，2)，E(－，)，＝(－，)，＝(－，)，所以•＝，故选(B)．

10．已知四面体ABCD外接球的球心O与正三角形ABC外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为2，则该四面体外接球的体积为( )
(A)8π
(B)
(C)16π
(D)
【答案】B
【解析】设该四面体外接球的半径为R，体积为V，正三角形ABCD的面积为S，则S＝2R2sinAsinBsinC＝，V四面体≤SR＝＝2，所以R＝2，V＝＝，故选(B)．
11．已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)＋3cos(ωx＋)在(0，2π)上恰有3个极大值点，则ω的取值范围为( )
(A)(，]
(B)[，)
(C)(，]
(D)[，)
【答案】C
【解析】因为f(x)＝sin(ωx＋)＋3cos(ωx＋)＝sin(ωx＋)，令ωx＋＝＋2kπ，k∈Z，可得：x＝，故f(x)的第3个正极大值点依次为，第4个正极大值点依次为，因为f(x)在(0，2π)上恰有3个极大值点，所以，即：ω∈(，]，故选(C)．
12．已知a2＋lna＝9b4＋2lnb＋1，则下列结论一定成立的是( )
(A)a＜b2＋1
(B)a＜2b2＋1
(C)a＞3b
(D)a＜3b2
【答案】D
【解析】令f(x)＝x2＋lnx，因为a2＋lna＝9b4＋2lnb＋1＜9b4＋2lnb＋ln3＝9b4＋ln3b2，所以f(a)＜f(3b2)，而f(x)在(0，＋∞)上递增，所以a＜3b2，故选(D)．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最小值为▲．
【答案】－11
【解析】易知当x＝－3，y＝－5时，z＝2x＋y取得最小值－11．
14．自然对数的底数e，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和π一样是无限不循环小数，e的近似值约为2.7182818…．若从欧拉数的前4位数字2，7，1，8中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概率为▲．
【答案】
【解析】从欧拉数的前4位数字2，7，1，8中任选2个，有(1，2)，(1，7)，(1，8)，(2，7)，(2，8)，(7，8)，共6种可能，没有偶数有1种，故至少有1个偶数被选中的概率为．
15．已知函数f(x)是定义在(－2，2)上的增函数，且f(x)的图象关于点(0，－2)对称，则关于x的不等式f(x)＋f(x＋2)＋4＞0的解集为▲．
【答案】(－1，0)
【解析】因为f(x)的图象关于点(0，－2)对称，所以f(x)＋f(－x)＝－4，故不等式f(x)＋f(x＋2)＋4＞0可化为：f(x＋2)＞f(－x)，而f(x)是定义在(－2，2)上的增函数，所以－2＜－x＜x＋2＜2，解得：x∈(－1，0)．
16．已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，直线l：x＝my＋2(m＞0)与双曲线C相交于A，B两点，点P(6，0)，以PF为直径的圆与l相交于F，M两点，若M为线段AB的中点，则 |MF|＝▲．
【答案】2
【解析】解法1：设M(x0，y0)，联立可得：(m2－1)y2＋4my＋2＝0，y0＝－，x0＝my0＋2＝－，kMP＝＝＝－m，因为m＞0，所以m＝，∠MFP＝60°，故|MF|＝|PF|cos60°＝2．
解法2：设直线l的参数方程为(t为参数)，代入C：－＝1可得：(cos2φ－sin2φ)t2＋4tcosφ＋2＝0，tM＝－＝4cosφ，即：cos2φ＝－，故φ＝60°，故|MF|＝4cosφ＝2．
解法3：根据双曲线的焦半径公式可得：r1＝|AF|＝，r2＝|BF|＝(θ为直线l的倾斜角)，即：|MF|＝|PF|cosθ＝4cosθ＝＝．cos2θ＝－，故θ＝60°，故|MF|＝4cosθ＝2．
解法4：设双曲线的左焦点为F1，|AF|＝r1，|BF|＝r2，|AP|＝|BP|＝t，在△AF1P中，由中线定理可得：(r1＋2)2＋t2＝2(r＋16)，同理可得：(r2＋2)2＋t2＝2(r＋16)，两式相减可得：r1＋r2＝4＝．cos2θ＝－，故θ＝60°，故|MF|＝4cosθ＝2．


三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(12分)
第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔正式拉开序幕，这是历史上首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．某市为了解高中生是否关注世界杯足球赛与性别的关系，随机对该市50名高中生进行了问卷调查，得到如下列联表．

关注
不关注
合计
男高中生

4

女高中生
14


合计



已知在这50名高中生中随机抽取1人，抽到关注世界杯足球赛的高中生的概率为．
(1)完成上面的2×2列联表；
(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(χ2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
【解析】(1)2×2列联表如下：

关注
不关注
合计
男高中生
26
4
30
女高中生
14
6
20
合计
40
10
50
(2)χ2＝＝＜2.706，故没有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关．
18．(12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，Sn+1＋Sn＝(n＋1)an+1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
【解析】(1)因为Sn+1＋Sn＝(n＋1)an+1，所以Sn+2＋Sn+1＝(n＋2)an+2，两式相减可得：(n＋2)an+1＝(n＋1)an+2，即：＝，n∈N＋，又因为a1＝3，S2＋S1＝2a2，解得：a2＝6，故＝＝3，即：an＝3n，n≥2，n＝1时，a1＝3也成立，故an＝3n；
(2)bn＝＝＝(－)，故Tn＝(1－)＝．
19．(12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝，AB＝2CD＝2．
(1)证明：AD⊥PB．
(2)求点A到平面PBC的距离．

【解析】(1)取AD的中点O，连结OP、OB，因为∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝，AB＝2，所以AD⊥PO，AD⊥BO，而PO∩BO＝O，PO、BO⊂平面POB，故AD⊥平面POB，AD⊥PB；

(2)BC＝，PB＝PC＝2，S△PBC＝，设A到平面PBC的距离为h，VA－PBC＝×S△PBC×h＝VP－ABC＝×S△ABC×PO，h＝＝．
20．(12分)
已知P(1，0)是椭圆C：＋＝1(m＞0，n＞0)的一个顶点，圆E：(x－2)2＋(y－2)2＝4经过C的一个顶点．
(1)求C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与C相交于M、N两点(异于点P)，记直线PM与直线PN的斜率分别为k1、k2，且k1＋k2＝k1k2，求k的值．
【解析】(1)由题意：椭圆C的两个顶点为(1，0)，(0，2)，故C的方程为x2＋＝1；
(2)解法1：联立可得：(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，因为k1＋k2＝k1k2，所以＋＝＋＝＋＝1，即：(k2－2k)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋3＝－－＋3＝0，解得：k＝3或k＝－1(舍去)．
解法2：以P为坐标原点建立新的坐标系，在新坐标系下椭圆C的方程为：(x＋1)2＋＝1，即：4x2＋8x＋y2＝0，直线l的方程为y－kx＝k＋1(k≠－1)，则4(k＋1)x2＋8x(y－kx)＋4(k＋1)y2＝0，即：4(k＋1)y2＋8xy＋4(1－k)x2＝0，所以4(k＋1)()2＋8()＋4(1－k)＝0，因为k1＋k2＝k1k2，所以4(1－k)＝－8，解得：k＝3．
21．(12分)
已知函数f(x)＝(x－x2)lnx＋(k＋)x2－(k＋1)x，k∈R．
(1)若k＞0，求f(x)的单调区间；
(2)若k∈Z，且当x＞1时，f'(x)＜lnx＋1，求k的最大值．
【解析】(1)因为f'(x)＝(1－x)(lnx－k)．当0＜x＜1或x＞ek时，f'(x)＜0，当1＜x＜ek时，f'(x)＞0，故f(x)的增区间为(1，ek)，减区间为(0，1)和(ek，＋∞)；
(2)f'(x)＝(1－x)(lnx－k)＜lnx＋1，即：k(x－1)＜xlnx＋1，因为x＞1，所以k＜，令φ(x)＝，φ'(x)＝，令r(x)＝－lnx＋x－2，r'(x)＝＞0，所以r(x)在(1，＋∞)上单调递增，因为r(3)＜0，r(4)＞0，故存在唯一的x0∈(3，4)使得r(x0)＝－lnx0＋x0－2＝0，∴φ(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)≥φ(x0)＝＝＝x0－1∈(2，3)，而若k∈Z，k＜x0－1，故k的最大值为2．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，已知点P(1，0)，曲线C的参数方程为(φ为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin(θ＋)－＝0．
(1)求C的普通方程与l的直角坐标方程；
(2)若l与C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|．
【解析】(1)因为曲线C的参数方程为(φ为参数)，所以C的普通方程为：x2＋(y－2)2＝4，即：x2＋y2－4y＝0；而直线l的极坐标方程为2ρsin(θ＋)－＝0，即：ρsinθ＋ρcosθ－＝0，所以l的直角坐标方程为：x＋y－1＝0；
(2)直线l过点P(1，0)，设直线l的参数方程为(t为参数)，代入x2＋y2－4y＝0可得：t2－3t＋1＝0，所以t1＋t2＝3＞0，t1t2＝1＞0，故|PA|＋|PB|＝3．
23．[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x＋a－2|＋|x＋3|．
(1)当a＝0时，求不等式f(x)≥9的解集；
(2)若函数f(x)＞2，求a的取值范围．
【解析】(1)当a＝0时，f(x)≥9，即：|x－2|＋|x＋3|≥9．
当x≥2时，x－2＋x＋3≥9，解得：x≥4；
当－3＜x＜2时，2－x＋x＋3≥9，不成立；
当x≤－3时，2－x－x－3≥9，解得：x≤－5；
故不等式的解集为(－∞，－5]∪[4，＋∞)；
(2)|x＋a－2|＋|x＋3|≥|x＋a－2－(x＋3)|＝|a－5|，x＝－3时，等号成立，而f(x)＞2，所以|a－5|＞2，解得：a＞7或a＜－3，故a的取值范围为(－∞，－3)∪(7，＋∞)．