2022-2023学年新疆哈密市第八中学高二上学期期末考试数学试题含解析

2022-2023学年新疆哈密市第八中学高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为（  　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设直线的倾斜角为，求出直线的斜率即得解.

【详解】设直线的倾斜角为，

由题得直线的斜率为，

因为，

所以.

故选：D.

2．椭圆上一点P与焦点的距离为5，则点P与另一个焦点的距离为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【分析】利用椭圆的定义可得解.

【详解】根据椭圆的定义知，，

因为，所以．

故选：B.

3．已知等差数列的前项和为且，则的通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据等差数列前项和的公式可推导为等差数列，再计算首项与公差求解即可.

【详解】设，则为等差数列.

设等差数列的公差为，由，则，故，，故，即的通项公式为.

故选：D

4．过点引圆的切线，其方程是（    ）

A． B．

C． D．和

【答案】D

【分析】根据题意，分析圆的圆心和半径，分切线的斜率是否存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．

【详解】解：根据题意，圆，

即，其圆心为，半径r＝1；

过点引圆的切线，

若切线的斜率不存在，切线的方程为x＝2，符合题意；

若切线的斜率存在，设其斜率为k，

则有，

即kx－y＋3－2k＝0，

则有，

解得，

此时切线的方程为，

即12x－5y－9＝0．

综上：切线的方程为x＝2和12x－5y－9＝0．

故选：D．

5．圆截直线：所得的弦长最短为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】先判断得点在圆C内部，再结合图像与弦长公式得到当时，弦长取得最小值，由此得解.

【详解】因为直线：恒过定点，又，

所以点在圆C：内部，

因为圆C：的圆心为，半径，

因为弦长为，当最大时，弦长最短，

所以当时，最大，则弦长最短，

又，

所以.

故选：D.

.

6．已知双曲线的一个焦点是，则实数的值是（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】B

【分析】先根据焦点坐标判断焦点所在轴,再由计算即可.

【详解】由焦点坐标，知焦点在轴上，所以，

可得双曲线的标准方程为，

由可得，可得.

故选:.

7．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.

【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，

如图，过作于，

由抛物线的定义可知，所以

则当三点共线时，最小为.

所以的最小值为.

故选：C.

8．已知数列满足，若，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.

【详解】由得

，

所以数列的周期为3，所以．

故选：B

二、多选题

9．在下列直线方程中，表示经过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据题意利用直线的截距式方程运算求解，注意讨论截距是否为0.

【详解】设直线在x，y轴上截距分别为，则，

当时，则直线过原点，设直线方程为，

由题意可得：，即，

故直线方程为；

当时，则设直线方程为，

由题意可得：，则，

故直线方程为，即；

综上所述：直线方程为或.

故选：CD.

10．已知，是双曲线：的左、右焦点，过作倾斜角为45°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，，下列判断正确的是（    ）

A． B．

C．E的离心率等于 D．E的渐近线方程为

【答案】BC

【分析】根据题意得，，；由知：，又，，求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断.

【详解】如下图所示，因为，即为中点，为中点，所以，

因为，所以，所以，，A错误，B正确；

由知，所以，又，，

所以，即，所以，解得：，C正确；

因为，所以，所以，

所以，所以的渐近线方程为，D错误．

故选：BC．

11．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（    ）

A．数列是等比数列

B．若，则

C．若数列的前项和，则

D．若首项，公比，则数列是递增数列

【答案】AD

【分析】A选项由的通项公式即可判断为正确；B选项根据等比数列隔项同号的性质判断为不正确；C选项先由计算得，再由代入等比数列求和公式返回计算，进而求得，判断为不正确；D选项由作差法判断为正确.

【详解】A选项，设等比数列的首项为，公比为，

则的通项为，

则，

即是以为首项，为公比的等比数列.

A正确；

B选项，由等比中项的性质可知

，且与、同号，

所以.

B不正确；

C选项，，

即等比数列的首项为，公比为3，

则，即.

C不正确；

D选项，若，，则，

故是递增数列.

D正确.

故选：AD.

12．已知是的前n项和，下列结论正确的是（    ）

A．若为等差数列，则（p为常数）仍然是等差数列

B．若为等差数列，则

C．若为等比数列，公比为q，则

D．若为等比数列，则“”是“”的充分而不必要条件

【答案】ACD

【分析】A项，根据等差数列的前项和公式，化简数列，观察数列是否为等差数列即可；B项,令说明不成立；C项，根据等比数列的前项和推导；D项，充分性根据等比数列的性质可验证，必要性用常数数列来验证

【详解】A项，由题意得：，所以，

而，

所以为等差数列，故A正确.

B项，若成立，则即，所以，而不恒成立，所以B项不正确.

C项，若为等比数列，公比为，当时，则前n项和为，所以

当时，，所以

综上：，故C项正确.

D项，根据等比数列的性质，若“” 则“”，

所以充分性成立；

若等比数列的公比为，若成立，例如，

则，所以必要性不成立，

所以“”是“”的充分而不必要条件，故D项正确.

故选：ACD

三、填空题

13．半径为，且与直线相切于的圆的标准方程为__________

【答案】或

【分析】设出圆心坐标，利用两点之间的距离等于半径和两直线垂直斜率乘积为，组成方程组求出圆心坐标

即可求出圆的标准方程.

【详解】设圆心，圆的半径为，且与直线切与点，圆心与切点的连线所在直线

必然垂直直线，得，

解得或，即圆的标准方程为或，

故答案为：或

14．如图所示，已知抛物线，过焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若，则点A的坐标为______．

【答案】

【分析】设出点A的坐标，利用抛物线的定义即可求解.

【详解】设点A的坐标为，由题意可得，∵，

∴由抛物线定义可得，解得．

代入抛物线方程可得或，

∵点A在第二象限，

∴点A的坐标为，

故答案为：.

15．已知数列的前项和为，则___________.

【答案】19

【分析】利用作差法求出，代入即可求解.

【详解】，

所以，

两式相减得，，

所以.

故答案为：19.

16．设等差数列的前n项和为且，当取最大值时，的值为________________．

【答案】

【分析】根据题意，用首项表示公差，代入前项和公式，化简得到为关于开口向下的二次函数，进而求出其最大值时对应的的值.

【详解】因为，所以，即，化简后可得．

，由二次函数性质可知，当时，取得最大值．

故答案为：.

四、解答题

17．已知曲线C： .

(1)当m为何值时，曲线C表示圆？

(2)若直线l：与圆C相切，求m的值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将配方，根据方程表示圆，即可求得答案；

（2）根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径列方程即可求得答案.

【详解】（1）由C：，得 ，

由 时，得，∴当时，曲线C表示圆；

（2）圆C的圆心坐标为 ，半径为.

∵直线l：与圆C相切，直线l的一般式方程为,

∴，解得： ，满足,

∴.

18．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，过的直线（斜率不为）交椭圆于两点，的周长为，且椭圆经过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)当线段的中点在第二象限，且点的横坐标为时，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据周长求出再将点代入方程解出即可；（2）线段的中点在第二象限，显然直线的斜率必定存在且为正，然后设出直线方程联立整理之后表示出可求出直线方程，进而求出弦长.

【详解】（1）的周长为，，得，

又椭圆经过点，，得，

椭圆的方程为.

（2）由椭圆的方程可知，，

由题知，直线存在斜率且斜率大于0，

故可设直线的方程为（），

代入椭圆的方程可得：，

设，，则，解得，故

.

19．已知等差数列的前n项和为.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若，求数列{}的前n项和Tn.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式展开可求得结果；

（2）由裂项相消求和可得结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意知，

解得：

∴.

故的通项公式为.

（2）∵

即：的前n项和.

20．已知数列的前项和为，等差数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由 可得，设等差数列的公差为d，再根据等差数列的基本量法求解通项公式即可；

（2）求等差数列乘以等比数列的前n项和通过错位相减法可得结果.

【详解】（1）当时，；

当时，，当时也符合，所以.

由题意，，

设等差数列的公差为d，则，，故.

综上，

（2）由（1）知：，

∵

∴  ①

    ②

∴得：

即：，

∴.

21．已知圆与圆.

(1)若圆与圆相外切，求实数的值；

(2)在（1）的条件下，若直线被圆所截得的弦长为，求实数的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由圆的方程可确定圆心和半径，根据两圆外切可知，由此可构造方程求得的值；

（2）根据垂径定理，利用弦长可直接构造方程求得的值.

【详解】（1）圆的方程可整理为：，

圆心，半径；其中,

由圆方程知：圆心，半径；

圆与圆相外切，，解得：.

（2）由（1）知：圆心，半径，

圆心到直线的距离，

，解得：或.

22．椭圆的左､右焦点分别为，焦距为6，点为椭圆上一点，，且的面积为9.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线交椭圆于两点，的中点为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，根据椭圆的定义、三角形面积公式及勾股定理求出a，即可求出，从而得解；（2）根据题意利用点差法运算求解，注意讨论斜率是否存在.

【详解】（1）由，可得，故.

因为，且，

所以，则.

又因为，

所以椭圆的方程为.

（2）设，则，

当直线的斜率不存在时，则，不合题意，舍去；

当直线的斜率存在时，

∵，则相减整理得，即直线的，

所以直线的方程为，即；

综上所述：直线的方程为.