辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试卷含解析

这是一份辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试卷含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
  2022-2023学年度上学期高二年级四校期中联考试题数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线的倾斜角为（    ）A. 120° B. 60° C. 30° D. 150°【答案】C【解析】设倾斜角为，由直线方程得斜率，即，因为，所以.故选：C.2. 椭圆的焦点坐标为（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】解：由得，，，∴ 焦点坐标为，．故选：C．3. 圆和圆的公切线条数为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.圆心距为，由于，即，所以，两圆相交，公切线的条数为，故选B.4. 已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】即故选：D．5. 已知直线，.当时，的值为（    ）A. 1 B.  C. 或1 D. 【答案】B【解析】由直线，，∴，得.故选：B.6. 圆上恰有两点到直线的距离为，则的取值范围是　　A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】解：根据题意，圆即圆，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，若圆上恰有两点到直线的距离为，则有，即，变形可得：，解可得：或，又由，则，即的取值范围为；故选：．7. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】联立方程组，整理得，设方程的两根为，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，则满足，解得，又由，解得,所以的取值范围是.故选：D.8. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】设，，则有，两式作差得：，即，弦中点坐标为，则，又∵，∴，∴，又∵，∴可解得，，故椭圆的面积为.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9. 已知曲线C的方程为，则（    ）A. 曲线C可以表示圆 B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线【答案】CD【解析】若曲线C表示圆，则，解得，则曲线C的方程为，无意义，A不正确；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，不等式无解，B不正确；若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，C正确；若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得，D正确.故选：CD10. 直线与曲线恰有一个交点，则实数b可取下列哪些值（    ）A.  B.  C. 1 D. 【答案】AC【解析】解：曲线，整理得，，画出直线与曲线的图象，如图，直线与曲线恰有一个交点，则 故选：AC.11. 已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ）A. 的周长为B. 当时，的边C. 当时，的面积为D. 椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形【答案】ACD【解析】解：由易得，∴ 的周长为，故A对；令得，，故B错；设，由余弦定理得，，，∴ ，故C对；当，由选项B的分析知满足题意的点P有2个；同理当，满足的点P也有2个；当，有，解得，所以满足题意的点P为椭圆的上下两顶点，综上满足的点P共6个，故D对．故选：ACD．12. 已知双曲线：的左右顶点分别为、，圆：，点在双曲线上，过点做圆的切线，切点分别为、．若四边形面积为，且这样的点有四个，则的值可能为（    ）A. 1 B.  C.  D. 2【答案】ABC【解析】解：由四边形面积为得，解得，，由双曲线的对称性知要这样的点P有四个，只要第一象限存在一个，则其它三个象限必各存在一个，又双曲线上到原点距离最小的点为左右顶点，当时，这样的点P只有两个，．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知，，若，则实数的值为____.【答案】2【解析】因，所以，，，解得故答案为:2.14. 过点作圆的切线方程是__________．【答案】【解析】因为，则点在圆上，且圆心为，直线的斜率为，故所求切线的斜率为，故所求切线方程为，即.故答案为：.15. 已知椭圆的焦距是2，则____________________【答案】5或3【解析】设焦距为，则，当焦点在轴时，，当焦点在轴时，.故答案为：5或3.16. 在平面直角坐标系中 ，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的范围是______；当取得最大值时，椭圆的离心率为_______.【答案】    ①.     ②. 【解析】因为点是椭圆内一点，故，由可得. 为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则，而，当且仅当三点共线时等号成立，故，所以，所以，故.的最大值为，此时椭圆方程为，故其离心率为，故分别填：，.四、解答题：本题共6小题，共70分．17. （1）已知的三个顶点分别为，，，求的外接圆的方程．（2）已知点在圆：外，求实数的取值范围．【答案】（1） ；（2） ．【解析】（1）解：设的外接圆的方程为，由，解得，故的外接圆的方程为．（2）解：若方程表示圆，则，解得，根据点在圆外，可得，则，．18. 一条直线经过点．分别求出满足下列条件的直线方程．（1）与直线垂直；（2）交轴、轴的正半轴于A，两点，且使取得最小值的直线方程．【答案】（1）    （2）【解析】【小问1详解】解：设与直线垂直的直线方程为，将带入可得，∴ 与直线垂直的直线方程为．【小问2详解】解：设直线方程为，．时，．时，．，当时取等号，所以使取得最小值的直线方程为．19. 如图，在四面体中，，，两两垂直，，，分别为棱，的中点． 求：（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）点到平面的距离．【答案】（1）    （2）【解析】【小问1详解】如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，．因为，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．【小问2详解】设平面的法向量为，由，，得，所以，所以是平面的一个法向量．因为平面，，所以点到平面的距离．20. 在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知倾斜角为的直线经过点，且与曲线交于两点，求的面积.【答案】（1）    （2）【解析】【小问1详解】由题意可知：，得，所以点的轨迹即的方程为以点为焦点，实轴为，虚轴为2的双曲线的右支，即.【小问2详解】由（1）知：，即直线的方程为.设，联立，得，满足且，由弦长公式得：，点到直线的距离，所以.21. 如图，在四棱锥中，平面平面，．（1）求证：平面；（2）若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；    （2）.【解析】【小问1详解】在四边形中，，所以△，△都为等腰直角三角形，即，又平面PBC平面，平面平面所以直线平面，又平面所以，又，所以平面.【小问2详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，由因为直线与底面所成的角的正切值为，由面知：为直线与底面所成角的平面角，所以在中，，则，设平面PBC和平面PDC法向量分为易知可取因为，所以，令，解得，若锐二面角为则，故22. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.【答案】（1）    （2）证明见解析，定值为【解析】小问1详解】由已知设椭圆方程为：，代入，得，故椭圆方程.【小问2详解】设直线，由得，，，又，故，由，得，故或，①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，此时，符合题意所以的周长为定值.