重难点07 函数与方程-高考数学专练（全国通用）

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 重难点07  函数与方程1.判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象2.判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．　3.根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．　  函数的零点仍是2023高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.  （建议用时：40分钟）一、单选题1．函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2-4x+4的图象的交点个数为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像，可知有两个交点. 2．的零点个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】令，在同一坐标系下，作出函数的图象，如图所示，由于的图象有两个交点，所以的零点个数为2,故选：B3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A． B． C． D．【答案】A【解析】由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A.4．函数的图象与函数的图象的交点个数为A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．5．已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，函数的图象有两个公共点，画图可知当直线介于 之间时，符合题意，故选B. 6．函数的图象和函数的图象的交点个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，如下图所示： 由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.7．已知是函数的一个零点，若，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，则当时，在下方，即；当时，在上方，即，故选：B8．设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（    ）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)【答案】B【解析】设，则是增函数，又.所以，所以x0所在的区间是(1，2)故选：B9．函数在区间上的零点个数为A．4 B．5C．6 D．7【答案】C【解析】本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.，则或，，又，所以共有6个解.选C. 10．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.11．已知函数的周期为2，当时，，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（  ）A．10个 B．9个 C．8个 D．1个【答案】A【解析】由题可知，如图所示：当时，，根据图像可知，交点个数为10故选：A12．已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可得存在满足,令,因为函数和在定义域内都是单调递增的,所以函数在定义域内是单调递增的,又因为趋近于时,函数且在上有解(即函数有零点),所以,故选：B. 二、填空题13．方程的实数解的个数为_____________ .【答案】2【解析】因为,作出函数的图像，从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点，所以方程的实数解的个数为2.14．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】函数有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么 15．函数的零点个数为_________．【答案】．【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，即函数与的图象交点个数．于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图象有2个交点． 16．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】     (1,4)     【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为. 三、解答题17．已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．【答案】（1）增区间是，，减区间是；（2）证明见解析.【解析】（1）当a=3时，，．令解得x=或x=．由解得：；由解得：．故函数的增区间是，，减区间是．（2）［方法一］：【最优解】【通性通法】等价转化＋零点存在性定理由于，所以等价于．设,则,仅当时,所以在单调递增.故至多有一个零点,从而至多有一个零点.又,故有一个零点.综上,只有一个零点.［方法二］：函数零点与图象交点个数的关系因为，所以等价于，令，则．因为，则，当且仅当时，等号成立，所以在区间内单调递增，且．当时，；当时，．所以直线与的图像只有一个交点，即只有一个零点．［方法三］：【通性通法】含参分类讨论＋零点存在性定理．①当时，单调递增，只有一个零点．②当与时，，再令或，则有．当与时，单调递增，当时，单调递增．因为，  ，所以．极大值与极小值同正同负，故只有一个零点．［方法四］： 等价转化＋零点存在性定理由于，所以，等价于．设，则，仅当时，，所以在区间内单调递增．故至多有一个零点，从而至多有一个零点．结合函数与方程的关系，根据零点存在性定理，取，则有，取，则有，所以在内有一个零点，故有一个零点．综上，只有一个零点．18．设二次函数，方程的两个根满足．(1)当时，证明：；(2)设函数的图象关于直线对称，证明：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【解析】（1）令，，∵的两个根，∴可设，当时，由于，得，又，得，即， 又，∵，∴，，得，∴，综上，；（2）由题意知函数的对称轴为，因为有两个根，即为方程的根，∴，，因为，所以．