北京市丰台区2023届高三下学期3月一模数学试题 （原卷版+解析版）

北京市丰台区2023届高三下学期3月一模数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据并集运算求解.

【详解】因为集合，，

所以，

故选:D.

2．设，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】逐一判断，对A取，，可得结果；对B取，可得结果；对C利用不等式的性质判断即可；对D取可判断.

【详解】解：A.取，，则不成立；

B.取，，则不成立；

C.∵，∴，正确；

D.取，∵，∴，因此不成立.

故选：C.

3．已知圆与轴相切，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】求出圆心和半径，即可求解.

【详解】圆的圆心为，半径为.

因为圆与轴相切，所以.

故选：C

4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.

【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，

所以.

故选：A

5．在平面直角坐标系中，若角以轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，则的一个可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义得到，再根据特殊角的三角函数判断即可.

【详解】依题意可得，则或，

所以的一个可能取值为.

故选：B

6．在中，若，则该三角形的形状一定是（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】利用内角和定理及诱导公式得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，即，即可确定出三角形形状．

【详解】解：在中，，

，即，

，，

，即，则为等腰三角形．

故选：A．

7．设无穷等差数列|的前n项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用定义法直接判断.

【详解】充分性：因为“对任意，都有”，所以，

所以“数列为递增数列”成立.故充分性满足；

必要性：因为“数列为递增数列”，取数列：-1，1，3，5……符合数列为无穷等差数列|，且为递增数列，但是.故必要性不满足.

故“对任意，都有”是“数列为递增数列”的充分而不必要条件.

故选：A

8．已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】过点A向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.利用几何法求出直角三角形的三边，利用勾股定理即可求解.

【详解】如图示：

过点A（不妨设为第一象限点）向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.

因为四边形ABOF为等腰梯形，所以，.

所以.

又，

所以，所以，

所以.

所以.

由抛物线的定义可得：.

在直角三角形中，,.

由勾股定理可得：，解得：.

故选：C

9．已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（    ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为存在常数，使得对任意，都有，

所以函数的周期为，

当时，函数在单调递减，

所以当时，函数在上单调递减，

因为在区间上单调递减，

所以有，

故选：B

【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键.

10．如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：

①三棱锥的体积的最大值为；

②的最小值为；

③点到直线的距离的最小值为．

其中所有正确结论的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得.

【详解】在直三棱柱中平面，

对于①：因为点在棱上，所以，又，

又，，，点在棱上，所以，，

所以，当且仅当在点、在点时取等号，故①正确；

对于②：如图将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，

因为，，所以，所以，

即的最小值为，故②错误；

对于③：如图建立空间直角坐标系，设，，，，

，

所以，，

则点到直线的距离

，

当时，

当时，，，则，

所以当取最大值，且时，

即当在点在点时点到直线的距离的最小值为，故③正确；

故选：C

二、填空题

11．若复数是纯虚数，则________．

【答案】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念得到方程（不等式），解得即可.

【详解】，

因为是纯虚数，所以，解得.

故答案为：

12．已知正方形的边长为，则________．

【答案】

【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.

【详解】因为正方形的边长为，所以，，，

所以.

故答案为：

13．从，，，，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件．则________．

【答案】##

【分析】根据古典概型的概率公式求出，，再由条件概率的概率公式计算可得.

【详解】从，，，，这个数中任取个不同的数有种取法，

其中满足两数之积为正数的有种取法，

满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，

所以，，

所以.

故答案为：

三、解答题

14．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求的解析式；

(2)若函数，求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)最大值为和最小值为0

【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；

（2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.

【详解】（1）由图象可知：，

将点代入得，

∴

（2）

由得

当时，即；

当时，即；

15．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，．点E是棱PA的中点，连接OE，OP．

(1)求证：平面PCD；

(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长．

条件①：平面平面；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；

(2)利用空间向量的坐标运算表示出平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，即可求解.

【详解】（1）因为底面是菱形，所以是中点，

因为E是棱PA的中点，所以，

又因为平面PCD, 平面PCD,

所以平面PCD.

（2）选择条件①:

因为，是的中点，所以,

因为平面平面,平面平面,

平面，

所以平面，因为平面，所以，

又，所以两两垂直，

以为原点建立空间直角坐标系,

因为菱形的边长为2，

所以,

所以设

所以，

设为平面的一个法向量，

由得所以

取，所以，

因为平面，所以平面的一个法向量为,

平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,

所以，所以

所以，所以，因为，所以，所以.

所以线段OP的长为.

选择条件②:

因为.在菱形中，，

因为平面平面,

所以平面,

因为平面，所以，因为,

所以两两垂直，

以为原点建立空间直角坐标系,

因为菱形的边长为2，

所以,

所以设

所以，

设为平面的一个法向量，

由得所以

取，所以，

因为平面，所以平面的一个法向量为,

平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,

所以，所以

所以，所以，因为，所以，所以.

所以线段OP的长为.

16．交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：

(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；

(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为，求的分布列及数学期望；

(3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为，将2022年同期TPI依次记为，记，．请直接写出取得最大值时的值．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解；

（2）结合题意先求出的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；

（3）结合题意先求得，进而即可求解.

【详解】（1）由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，

所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为.

（2）由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，

所以，

，

，

所以的分布列为：

数学期望.

（3）由题意，，

，

，

，

，

，

，

所以，

所以取得最大值时，.

17．已知椭圆的一个顶点为，焦距为2．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，使得，，总成等比数列.

【分析】(1)根据的关系求解；

(2)表示，，的面积，利用韦达定理表示出即可求出常数t的值.

【详解】（1）根据已知可得，

所以，

所以椭圆E的方程为.

（2）由已知得，的斜率存在，且在轴的同侧，

设直线的方程为，，不妨设，

则

由得

所以

因为，

所以

，

，

要使，，总成等比数列，则应有解得，

所以存在，使得，，总成等比数列.

18．已知函数．

(1)求函数的极值；

(2)若函数有两个不相等的零点，．

（i）求a的取值范围；

（ii）证明：．

【答案】(1)函数无极大值，有极小值.

(2)（i）.（ii）见详解.

【分析】(1)利用导数研究函数的单调性和极值.

(2)（i）利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解.

（ii）利用构造对称函数以及导数进行证明.

【详解】（1）因为，所以，因为，

由有：，由有：，

所以函数在单调递减，在单调递增，

所以函数无极大值，有极小值.

（2）（i）由(1)有：函数在单调递减，在单调递增，

若函数有两个不相等的零点，，则，解得，

所以，因为当时，，所以，

所以在上有1个零点，

当时，，又“指数爆炸”，所以，

所以在上有1个零点，

综上，当时，函数有两个不相等的零点，.

（ii）由（i）有：当时，函数有两个不相等的零点，，

不妨设，构造函数，则，

因为，所以，

因为，所以，当前仅当时取到等号，

所以，所以在R上单调递减，

又，所以，

即，即，又，

所以，又，所以，

由(1)有：函数在单调递减，所以，

即，结论得证.

19．已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．

(1)试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）

(2)如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；

(3)若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．

【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据所给定义判断即可.

（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；

（3）首先利用反例说明当、时不成立，再利用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解.

【详解】（1）因为，

对于集合，令，解得，显然，，

所以是集合的“期待子集”；

对于集合，令，则，

因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”；

（2）先证明必要性：

当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，

不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；

又，所以，即条件中的②成立；

因为，

所以为偶数，即条件中的③成立；

所以集合满足条件.

再证明充分性：

当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，

记，，，

由③得，由①得，由②得，

所以，

因为，，，所以，，均属于，

即集合是集合的“期待子集”.

（3）的最小值为，理由如下：

一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由（2）知，不是的“期待子集”；

当时，对于集合，

从中任取三个不同的元素，若不含有，则不满足条件的③，

若含有，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差（大数减小数）都不小于，

故不满足条件中的②，所以不是的“期待子集”；

所以.

另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：

（I）当时，对于集合的任意含有个元素的子集，记为，

当、、三个数中恰有个属于时，则，因为数组、、、、都满足条件，

当三个数都属于，因为数组满足条件，

所以此时集合必是集合的“期待子集”，

所以当时的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”.

（II）假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集，

分成两类，①若，至多有个属于，则中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立；

②若，，则集合中恰含的个元素，此时，当中只有一个奇数时，则集合中包含中的所有偶数，此时数组，，符合条件，结论成立；

当集合中至少有两个奇数时，则必有一个奇数不小于，此时数组，，符合条件，结论成立，所以时结论成立，

根据（I）（II）知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值为

【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.

四、双空题

20．设函数若存在最小值，则a的一个取值为_______；a的最大值为________．

【答案】     1（≤1的任一实数，答案不唯一）；     1

【分析】利用导数讨论函数的单调性，分析取最值的情况，进行求解.

【详解】记函数，则.

令，解得：.

列表得：

对于函数，当时，不能取得最小值，

所以存在最小值，的最小值只能在时，时取得.

当时，在单减，在单增，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；

当时，在单减，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；

当时，在单减，在单减，在单增.所以

的最小值为，即存在最小值；

当时，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；

当时，在单减，在单增，且，所以

的最小值为，即存在最小值；

当时，在单减，在单增，且，不能取得最小值.

综上所述：当时函数存在最小值.

故答案为：①1（的任一实数，答案不唯一）；②1.

21．三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则．

①双曲线H的离心率为________；

②若，，CE交AB于点P，则________．

【答案】     2    

【分析】①根据图形关系确定即可求解；利用面积之比，进而可求出，再根据求解.

【详解】①由题可得所以，

所以双曲线H的离心率为；

②，因为，且，

所以,

又因为，所以

所以，

所以,

因为,解得，

所以,

故答案为:2; .