2022-2023学年高二数学 人教A版2019选择性必修第一册 同步讲义 第07讲 直线的交点坐标与距离公式 Word版含解析

第7讲  直线的交点坐标与距离公式

考点分析

考点一： 两点的中点坐标公式

若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，

则的中点坐标公式．

考点二： 两点间的距离公式

设，则

考点三：点到直线距离公式

设，，则点到直线的距离．

考点四：两平行线间距离公式

，，则的距离为．

考点五：两条直线的交点坐标计算

①两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.

题型目录

题型一：两直线的交点问题

题型二：直线的三种距离问题

题型三：交点和距离在几何中的综合运用

典型例题

题型一：两直线的交点问题

【例1】（哈尔滨）直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为（    ）

A．(－1，1) B．(1，－1)

C．(1，1) D．(－1，－1)

【答案】A

【解析】由解得所以直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为(－1，1)

故选：A

【例2】（贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高二期末（理））斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】联立，解得，所以两直线的交点坐标为，

所求直线方程为.整理为.故选：A

【例3】（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.

【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得．

方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误.

故选：C．

【例4】（全国高二课时练习（多选））当0＜k＜时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点可能是（    ）

A．(2，3)           B．(1，2)          C．         D．

【答案】CD

【解析】联立，得，

，，，即交点在第二象限，

验证C选项，，得，成立，

验证D选项，，得，成立，故选：CD

【题型专练】

1.（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出，从而可求出直线方程

【详解】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，

由，得，即和的交点为，

因为直线过点，

所以，得，

所以所求直线方程为，

故选：D

2.（2022·全国·高二专题练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．

【答案】

【分析】联立方程求两直线的交点坐标，进而根据第四象限的特征即可列不等式求解.

【详解】由题意可得，解得，

且，

故答案为：

3.（2022·全国·高二专题练习）已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．

【答案】

【分析】分析可得，联立两方程，求得交点坐标，根据交点在第二象限，列出不等式组，即可得答案.

【详解】当，直线和平行，不满足题意，

故，此时联立方程，解得，

因为交点在第二象限，

所以，解得，

故实数的取值范围为．

故答案为：

4.（河北唐山市·高二期末）过点和点的直线与直线垂直，则（    ）

A． B．4 C． D．2

【答案】C

【解析】因为过点和点的直线与直线垂直，

所以，即，所以.故选：C

5.（全国高二课时练习(多选)）已知三条直线x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5相交于一点，则k的值为（    ）

A．－ B．－1 C．1 D．

【答案】AC

【解析】由，得，

所以三条直线的交点为，

所以，化简得，

解得或，

故选：AC

6．（全国高二专题练习）若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（    ）

A．(1，＋∞) B．(－1，1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)

【答案】B

【解析】联立直线方程，解得，

∵直线的交点在第一象限，，∴解不等式组可得.故选：B

题型二：直线的三种距离问题

【例1】（安徽池州市·高二期末（理））若直线与交于点A，且，则___________．

【答案】

【解析】联立解得，故，则．故答案为：

【例2】（浙江高二期末）点到直线的距离为      

【答案】

【解析】根据距离公式可得：点到直线的距离

【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知两直线与，则与间的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平行线间距离公式即可求解.

【详解】直线的方程可化为（使用两条平行直线间的距离公式时，x，y的系数要对应相等），显然，所以与间的距离为．

故选:D．

【例4】（浙江）已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（    ）

A．6 B．3 C．4 D．7

【答案】B

【解析】由直线方程变形为：，

由，解得，

所以直线恒经过定点，

故点到直线的距离是，故选：B.

【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（       ）

A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3

【答案】D

【分析】方法一：根据点到线的距离公式求解即可，方法二：数形结合分析可得直线或AB的中点在直线l上，再分别计算即可.

【详解】方法一   由题意得，即，所以或，解得或．

方法二   因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3．

故选：D

【例6】（2022·陕西咸阳·高一期末）已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.

【答案】0

【分析】根据两直线平行求出n，由两直线间的距离是求出m，即可得到.

【详解】因为直线（）与直线互相平行，

所以且.

又两直线间的距离是，所以，

因为，解得：.

所以.

故答案为：0

【题型专练】

1.（江西）若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为（    ）

A．－1 B．19

C．－1或19 D．1或－19

【答案】C

【解析】由两平行线间的距离公式，d＝＝，所以| c－9|＝10，得c＝－1或c＝19．选：C.

2．（2022·全国·高二课时练习）已知平面上一点，若直线上存在点这使，则称该直线为“切割型直线”.给出直线：①；②；③，其中是“切割型直线”的是（       ）

A．②③ B．① C．①② D．①③

【答案】A

【分析】根据点到直线的距离判断各直线.

【详解】设点到直线的距离为，

①，即，，故直线上不存在到点的距离等于的点，不是“切割型直线”；

②，所以在直线上可以找到两个不同的点，使到点的距离等于，是“切割型直线”；

③，即，，故直线上存在一个点，使到点的距离等于，是“切割型直线”；

故选：A.

3．（全国高二专题练习）点P在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为（    ）

A．          B．2           C．           D．2

【答案】B

【解析】点到的距离为：，所以的最小值为．故选：B.

4．（广西(多选)）若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（    ）

A．0          B．           C．5          D．－

【答案】AB

【解析】点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为故，解得或

故选：AB

5．（全国高二课时练习）在直线上求点，使点到的距离为，则点坐标是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【解析】设，所以， 即，

又因为点在直线上，所以，两式联立解得 或，

所以点坐标是或.故选：C

6.（湖南）过点和的直线与直线平行，则的值为_______．

【答案】

【解析】直线的斜率为1，过点和的直线与直线平行

所以，即所以故答案为：

7．（全国高二课时练习）两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________.

【答案】

【解析】直线与直线平行，所以，

直线与直线的距离为．故答案为：．

8．（全国高二专题练习）已知，到直线的距离相等，则实数a为________.

【答案】1或

【解析】两点，到直线的距离相等，

，化为．，解得或．故答案为：1或．

题型三：交点和距离在几何中的综合运用

【例1】（2022·上海·高三专题练习）若动点､分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】点的轨迹是两直线与之间与它们平行且距离相等的直线，由原点到直线的距离公式可得．

【详解】∵在直线上，在直线上，是中点，∴点在到两直线与距离相等的平行线上，

直线和，因此点所在直线为，

则的最小值为．

故选：C．

【点睛】本题考查点到直线的距离公式，解题关键是确定点的轨迹．

【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据“切割型直线”的定义，利用点到直线的距离公式逐个计算点到直线的距离，与4比较大小即可得结论

【详解】对于A，设点M到直线的距离为d，对于A，，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故A不符合题意；

对于B，，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意；

对于C，，故直线上存在一点到点M的距离等于4，故C符合题意；

对于D，，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，故D不符合题意．

故选：BC

【例3】（2022·重庆八中高一期末）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是______．

【答案】

【分析】由直线知过定点，又,则直线与之间距离的最大值为两定点距离.用两点间距离公式计算即可.

【详解】解：由于直线，整理得：，

故，解得，

即直线恒过点；则过点作直线，且，

则最大距离．

故答案为：．

【例4】（全国高二专题练习）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．

（1）判断△ABC的形状；

（2）求△ABC的面积．

【答案】（1）△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；（2）5．

【解析】（1）如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证．

法一：∵，，

∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．

法二：∵．

∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC．

∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．

（2）由（1）中法一得|AB|＝2，|AC|＝．

又∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB||AC|＝×2×＝5．

【例5】（沈阳市·辽宁实验中学高二期末）已知直线l过点P(2，3)且与定直线l0：y=2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记 的面积为S( 为坐标原点)，点B(a，0).

（1）求实数a的取值范围；

（2）求当S取得最小值时，直线l的方程.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）当直线与直线平行时，不能构成，此时，解得：，所以，又因为点在轴正半轴上，且直线与定直线再第一象限内交于点，所以.

（2）当直线的斜率不存在时，即,，此时,

当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，由于直线的斜率存在，所以，且，

又，或，

由，得，即，

则，

即，

当时，，

整理得，得，即的最小值为3，

此时，解得：，

则直线的方程为

即

【题型专练】

1.（2022·全国·高二课时练习）若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．

【答案】或

【分析】先求出交点坐标.讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线的距离为1，即可求出直线.

【详解】方法一：由，得两直线的交点坐标为．

当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，

则，解得，

此时直线m的方程为；

当直线m的斜率不存在时，，点到直线m的距离等于1，满足条件．

综上，直线m的方程为或．

方法二：设直线m的方程为，即，则，

解得或，

所以直线m的方程为或．

故答案为：或

2.（2022·全国·高二专题练习）两条平行线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是____．

【答案】

【分析】借助与的夹角和的距离表示出两平行直线之间的距离，然后根据三角函数的值域可得.

【详解】过点P作PR垂直于，垂足为R，

．

记与的夹角为，则

则

所以，即之间距离的取值范围是

故答案为：

3.（全国高二课时练习（多选））已知直线，，，以下结论正确的是（    ）

A．不论为何值时，与都互相垂直；

B．当变化时，与分别经过定点和

C．不论为何值时，与都关于直线对称

D．如果与交于点M，则的最大值是

【答案】ABD

【解析】对于A，恒成立，恒成立，A正确；

对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；

对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，

代入方程知：不在上，C错误；

对于D，联立，解得：，即，

，即的最大值是，D正确.

故选：ABD.

4．（浙江高二期末）已知直线l经过直线与的交点M．

（Ⅰ）若l经过点，求l的方程；

（Ⅱ）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ），解得，

所以点，

若l经过点，则直线的斜率，

所以直线l的方程为，

整理可得.

（Ⅱ）直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，

不妨设直线l的方程为，即，

即，解得，

当且仅当时取等号.

所以，

此时直线l方程为，即.

故存在使面积最小的直线l ，直线l方程为.