2022-2023学年高二数学 人教A版2019选择性必修第一册 同步讲义 第11讲 圆与圆的位置关系 Word版含解析

第11讲 圆与圆的位置关系

考点分析

考点一：圆与圆的位置关系

设两个圆的半径分别为 ，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：

考点二：圆与圆相交公共弦求法：两圆方程相减

题型目录

题型一：圆与圆的位置关系

题型二：圆与圆相交公共弦问题

题型三：两圆公切线问题

题型四: 有关圆的轨迹方程

题型五：与圆有关的最值

典型例题

题型一：圆与圆的位置关系

【例1】（2022·全国·高二课时练习）“a＝3”是“圆与圆相切”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【例2】（北京高二期末）已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（     ）

A．外离 B．外切 C．内含 D．内切

【例3】（山东聊城市·高二期末）已知圆与圆没有公共点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【例4】（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（       ）

A．12 B．11 C．10 D．9

【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【题型专练】

1.（浙江高二期末）圆与圆的位置关系为（    ）

A．内切 B．相切 C．相交 D．外离

2.（2022·全国·高二课时练习）（多选）若圆与圆没有公共点，则实数a的值可能是（       ）

A．7 B． C．－2 D．1

3.（江西上高二中高二其他模拟（文））已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．内含

4.（2022·山东聊城·二模）已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（       ）

A．3 B．2 C．1 D．0

5．（全国高二（文））已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．内含

6．（四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆和圆，若圆和有公共点，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

7．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆，圆，则“”是“圆与圆相交”的（       ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

题型二：圆与圆相交公共弦问题

【例1】（湖南湘潭市）已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦

A． B． C． D．2

【例2】（2022·全国·高二课时练习多选题）圆和圆的交点为A，B，则有（       ）

A．公共弦AB所在直线的方程为

B．公共弦AB所在直线的方程为

C．公共弦AB的长为

D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为

【例3】（2022·河南·二模（文））已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【题型专练】

1．（2021·福建·南靖县第一中学高二期中）下列说法正确的是（       ）

A．过点且在、轴截距相等的直线方程为

B．过点且垂直于直线的直线方程为

C．过两圆及的交点的直线的方程是

D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是

2.（天津市南仓中学高二期末）已知圆和圆的公共弦长为，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

题型三：两圆公切线问题

【例1】（2022·全国·高二课时练习）设圆，圆，则圆，的公切线有（       ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【例2】（2022·贵州·遵义四中高二期末）已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【例3】（2022全国新高考1卷）写出与圆＋＝1和＋＝16都相切的一条直线的方程_______．

【题型专练】

1．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））若圆与圆有3条公切线，则正数（       ）

A．3 B．3 C．5 D．3或3

2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（       ）

A．－4 B．－2 C． D．3

3.（2022·全国·高二课时练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（       ）

A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．

4．（2022·广东广州·高二期末）写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.

题型四: 有关圆的轨迹方程

【例1】（广东）已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．

【例2】已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．

求：(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________.

【例4】（2022·全国·高二期中）当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为______．

【题型专练】

1．（全国高二课时练习）方程y＝表示的曲线是（    ）

A．一个圆         B．两条射线            C．半个圆           D．一条射线

2．（上海高二专题练习）已知圆过三个点，， ．

（1）求圆的方程；

（2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点 的轨迹．

3．（上海）圆C过点，，且圆心在直线上.

（1）求圆C的方程；

（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.

4．（江苏）在半面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数，．证明：点P的轨迹是圆心为，半径为r的圆．

题型五：与圆有关的最值

【例1】（2022·全国·高二课时练习）过､两点的所有圆中面积最小的圆方程是___________.

【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则

(1)的最大值和最小值分别为________和________；

(2)y－x的最大值和最小值分别为________和________；

(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为_______和_______．

【例3】（2022·浙江宁波·高一期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为（          ）

A．2 B． C． D．1

【题型专练】

1．（全国高二课时练习）若，则的取值范围为             

2.(保定质检)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．

3.（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

4.已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)求的最大值和最小值．