
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2022-2023学年江苏省扬州市江都区八校联谊九年级(下)第一次月考数学试卷(含解析)
展开2022-2023学年江苏省扬州市江都区八校联谊九年级(下)第一次月考数学试卷
一、选择题(本大题共8小题,共24.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当小明到达该路口时,遇到红灯的概率是( )
A. 13 B. 512 C. 12 D. 1
2. 如图,AB//CD//EF.若ACCE=12,BD=4,则DF的长为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
3. 将二次函数y=2x2的图象先向左平移1个单位,再向上平移3个单位,得到的函数图象的表达式为( )
A. y=2(x+1)2+3 B. y=2(x−1)2+3
C. y=2(x+1)2−3 D. y=2(x−2)2−3
4. 已知一元二次方程x2−3x+1=0有两个实数根x1,x2,则x1+x2−x1x2的值为( )
A. 6 B. 2 C. 4 D. 3
5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:
甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
180
185
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 如图,已知⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=56°,则∠BCD等于( )
A. 30°
B. 32°
C. 34°
D. 36°
7. 已知二次函数的图象如下所示,下列5个结论:①abc>0;②b−a−c>0;③4a+c>−2b;④3a+c>0;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数),其中正确的结论有( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤
8. 如图,在边长为8的正方形ABCD中,E、F分别是边AB、BC上的动点,且EF=6,M为EF中点,P是边AD上的一个动点,则CP+PM的最小值是( )
A. 10
B. 85−3
C. 65+3
D. 33+5
二、填空题(本大题共10小题,共30.0分)
9. 若⊙O的直径为5cm,点A到圆心O的距离为3cm,那么点A与⊙O的位置关系是:点A在⊙O .(填“上”、“内”、“外”)
10. 在某次招聘测试中,小华的笔试成绩为90分,面试成绩为85分,若笔试成绩、面试成绩按6:4计算平均成绩,则小华的平均成绩是 分.
11. 若线段AB=6cm,点C是线段AB的一个黄金分割点(AC>BC),则BC的长为 cm(结果保留根号).
12. 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y=−0.3x2+1.5x−1,则最佳加工时间为______min.
13. 用半径为4,圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径为 .
14. (正多边形的每个内角都相等)如图,在正八边形ABCDEFGH中,对角线BF的延长线与边DE的延长线交于点M,则∠M的大小为______ .
15. 如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为______米.
16. 若关于x的一元二次方程(k−2)x2+4x+2=0有实数根,则k的取值范围是______.
17. ξ如图,在边长为6的等边△ABC中,D是边BC上一点,将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合,若BD:DE=2:3,则CF=______.
18. 如图,将矩形OABC置于平面直角坐标系中,B点坐标为(10,7),点D为BC上一点,且DC=2,连接AD,将△ABD沿AD折叠,压平,使B点的对应点E落在坐标平面内.若抛物线y=ax2−8ax+10(a≠0,a为常数)的顶点落在△ADE的内部(不含边界),则a的取值范围为______ .
三、解答题(本大题共10小题,共96.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19. (本小题8.0分)
(1)解方程:x2+6x−7=0
(2)计算:4sin45°−8+(3−1)0−tan30°
20. (本小题8.0分)
我区某校七(2)班组织了一次朗读比赛,甲、乙两队各10人的比赛成绩(10分制)如下表(单位:分):
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
(1)计算乙队成绩的平均数和方差;
(2)已知甲队成绩的方差是1.4,哪一队的成绩较为整齐?
21. (本小题8.0分)
周末期间,电影院正热映国产影片A《你好,李焕英》、B《唐人街探案3》和国外影片《银行家》,甲、乙两人分别从三部电影中随机选择一部观看.
(1)甲选择B《唐人街探案3》观看的概率为 ;
(2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人都选择观看国产电影的概率.(请用画树状图或列表的方法写出分析过程)
22. (本小题10.0分)
如图,在直角坐标系中,边长为1的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点为网格线的交点),在给定的网格中,解答下列问题:
(1)以A为位似中心,将△ABC按相似比2:1放大,得到△AB1C1,画出△AB1C1.
(2)以C1为旋转中心,将△AB1C1顺时针旋转90°,得到△A1B2C1.
①画出△A1B2C1;
②求点A的运动路径长.
23. (本小题10.0分)
如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=12,AF=6,求AE的长.
24. (本小题10.0分)
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A、D的⊙O分别交边AB、AC于点E、F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BE=4,sinB=12,求阴影部分的面积.
25. (本小题10.0分)
北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱,销售火爆,某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件,打算采取线下和线上两种方式销售,调查发现线下每周销量y个与售价x元/个(x>60)满足一次函数关系:
售价x(元/个)
…
80
90
100
…
销量y(个)
…
400
300
200
…
线下销售,每个摆件的利润不得高于进价的80%;线上售价为100元/个,供不应求.
(1)求y与x的函数表达式;
(2)若该经销商共购进“冰墩墩”1000个,一周内全部售完.如何分配线下和线上的销量,可使全部售完后获得的利润最大,最大利润是多少?(不计其它成本)
26. (本小题10.0分)
定义一种新的运算方式:Cn2=n(n−1)2(其中n≥2且n是整数),例如C32=3(3−1)2=3,C52=5(5−1)2=10.
(1)若Cn2=45,求n的值;
(2)记Cn2=y,当y≥153时,求n的取值范围.
27. (本小题10.0分)
如图①,在矩形ABCD中,动点P从A出发,以相同的速度,沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为x,△PAB面积为y,y与x的函数图象如图②所示.
(1)矩形ABCD的面积为______;
(2)如图③,若点P沿AB边向点B以每秒1个单位的速度移动,同时,点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2个单位的速度移动.如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动,回答下列问题:
①当运动开始32秒时,试判断△DPQ的形状;
②在运动过程中,是否存在这样的时刻,使以Q为圆心,PQ的长为半径的圆与矩形ABCD的对角线AC相切,若存在,求出运动时间;若不存在,请说明理由.
28. (本小题12.0分)
当直线y=kx+b(k、b为常数且k≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)有唯一公共点时,叫做直线与抛物线相切,直线叫做抛物线的切线,这个公共点叫做切点,其切点坐标(x,y)为相应方程组y=kx+bax2+bx+c的解.如将直线y=4x与抛物线y=x2+4,联合得方程组y=4xy=x2+4,从而得到方程x2+4=4x,解得x1=x2=2,故相应方程组的解为x1=x2=2y1=y2=8,所以,直线y=4x与抛物线y=x2+4相切,其切点坐标为(2,8).
(1)直线m:y=2x−1与抛物线y=x2相切吗?如相切,请求出切点坐标;
(2)在(1)的条件下,过点A(1,−3)的直线n与抛物线y=x2也相切,求直线n的函数表达式,并求出直线m与直线n的交点坐标;
(3)如图,已知直线y=kx+3(k为常数且k≠0)与抛物线y=x2交于C、D,过点C、D分别作抛物线的切线,这两条切线交于点P,过点P作x轴的垂线交CD于点Q,试说明点Q是CD的中点.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:∵每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,
∴当小明到达该路口时,遇到红灯的概率是P=3030+25+5=12.
故选:C.
随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数,依此列式计算即可求解.
本题考查了概率公式,熟练掌握概率公式是解题的关键.
2.【答案】D
【解析】解:∵AB//CD//EF,
∴ACCE=BDDF,
∵ACCE=12,BD=4,
∴4DF=12,
∴DF=8.
故选:D.
利用平行线分线段成比例定理得到 ACCE=BDDF,然后根据比例性质求DF的长.
本题考查了平行线分线段成比例:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
3.【答案】A
【解析】解:将二次函数y=2x2的图象先向左平移1个单位,再向上平移3个单位,得到的函数图象的表达式为y=2(x+1)2+3,
故选:A.
根据左加右减,上加下减的平移规律求解即可.
本题考查了二次函数图象的平移规律,熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键.
4.【答案】B
【解析】解:根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=1,
所以x1+x2−x1x2=3−1=2.
故选:B.
先根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=−1,然后利用整体代入的方法计算.
本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,则x1+x2=−ba,x1x2=ca.
5.【答案】B
【解析】解:∵x乙−=x丙−>x甲−=x丁−,
∴从乙和丙中选择一人参加比赛,
∵S乙2
故选:B.
首先比较平均数,平均数相同时选择方差较小的运动员参加.
此题考查了平均数和方差,正确理解方差与平均数的意义是解题关键.
6.【答案】C
【解析】解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠A=90°−∠ABD=90°−56°=34°,
∴∠BCD=∠A=34°,
故选:C.
先根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°,再根据互余得到∠A=90°−∠ABD=34°,然后根据圆周角定理求解.
本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径,熟练运用圆周角定理是解答此题的关键.
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定,熟练掌握二次函数的性质是关键.由抛物线对称轴的位置判断ab的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【解答】
解:①∵对称轴在y轴的右侧,
∴ab<0,
由图象可知:c>0,
∴abc<0,
故①不正确;
②当x=−1时,y=a−b+c<0,
∴b−a−c>0,
故②正确;
③由对称知,当x=2时,函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,
∴4a+c>−2b,
故③正确;
④∵x=−b2a=1,
∴b=−2a,
∵a−b+c<0,
∴a+2a+c<0,
3a+c<0,
故④不正确;
⑤当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x=m时,y=am2+bm+c,
所以a+b+c>am2+bm+c(m≠1),
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),
故⑤正确.
故②③⑤正确,
故选:C.
8.【答案】B
【解析】解:延长CD到C′,使C′D=CD,
CP+PM=C′P+PM,
当C′,P,M三点共线时,C′P+PM的值最小,
根据题意,点M的轨迹是以B为圆心,3为半径的圆弧上,
圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M=C′B−3,
∵BC=CD=8,
∴CC′=16,
∴C′B=CC′2+BC2 =162+82=85.
∴CP+PM的最小值是85−3.
故选:B.
延长CD到C′,使C′D=CD,CP+PM=C′P+PM,当C′,P,N三点共线时,C′P+PM的值最小,根据题意,点M的轨迹是以B为圆心,3为半径的圆弧上,圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M=C′B−3,根据勾股定理即可得到结论.
本题考查了轴对称−最短路线问题,正方形的性质,勾股定理,正确的找到P点的位置是解题的关键.
9.【答案】外
【解析】解:∵⊙O的直径为5cm,
∴⊙O的半径为2.5cm,
∵点A到圆心O的距离为3cm(2.5<3),
∴点A与⊙O的位置关系是:点A在⊙O外.
故答案为:外.
先求出圆的半径,再根据点与圆的位置关系的内容得出答案即可.
本题考查了点与圆的位置关系,能熟记点与圆的位置关系的内容是解此题的关键,已知圆的半径为r,点A到圆心O的距离是d,①当d
10.【答案】80
【解析】解:小华的平均成绩是90×6+85×46+4
=90×6+80×46+4=80(分).
故答案为:80.
根据加权平均数的定义和计算公式计算可得.
本题主要考查加权平均数,解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义和计算公式.
11.【答案】(9−35)
【解析】解:∵点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,
∴AC=5−12AB=5−12×6=(35−3)cm,
∴BC=6−(35−3)=(9−35)cm.
故答案为:(9−35).
利用黄金分割的定义得到AC=5−12AB=(35−3)cm,然后计算AB−AC即可.
本题考查了黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点.其中AC=5−12AB≈0.618AB,并且线段AB的黄金分割点有两个.
12.【答案】2.5
【解析】解:根据题意:y=−0.3x2+1.5x−1=−0.3(x−2.5)2+5.25,
∵−0.3<0,
∴当x=2.5时,y最大,
∴最佳加工时间为2.5min,
故答案为:2.5.
根据二次函数的性质可得.
本题主要考查二次函数的应用,利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键.
13.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥的计算.掌握圆锥计算中的相关等量关系是解题的关键.
设这个圆锥的底面圆半径为r,利用弧长公式得到2πr=90⋅π⋅4180,然后解关于r的方程即可.
【解答】
解:设这个圆锥的底面圆半径为r,
根据题意得2πr=90⋅π⋅4180,
解得r=1,
所以这个圆锥的底面圆半径为1.
故答案为1.
14.【答案】22.5°
【解析】解:∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
∴∠DEF=(8−2)×180°÷8=135°,
∴∠FEM=45°,
∴∠DEF=∠EFG,
∵BF平分∠EFG,
∴∠EFB=∠BFG=12∠EFG=67.5°,
∵∠BFE=∠FEM+∠M,
∴∠M=∠BFE−∠FEM,
∴∠M=22.5°.
故答案为:22.5°.
根据正求出多边形的内角和公式∠DEF,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BFE,计算即可.
本题考查的是正多边形和圆的有关计算,掌握正多边形的内角的求法是解题的关键.
15.【答案】5
【解析】
【分析】
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.易得:△ABM∽△OCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.
【解答】
解:根据题意,易得△MBA∽△MCO,
根据相似三角形的性质可知ABOC=AMOA+AM,即1.68=AM20+AM,
解得AM=5m.则小明的影长为5米.
16.【答案】k≤4且k≠2
【解析】解:∵关于x的一元二次方程(k−2)x2−4x+2=0有实数根,
∴Δ≥0且k−2≠0,
即(−4)2−4(k−2)×2≥0且k−2≠0
解得k≤4且k≠2.
故答案为:k≤4且k≠2.
因为一元二次方程有实数根,所以Δ≥0且k−2≠0,得关于k的不等式,求解即可.
本题考查了一元二次方程根的判别式.解决本题的关键是能正确计算根的判别式.本题易忽略二次项系数不为0.
17.【答案】2.4
【解析】解:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=6,∠A=∠B=∠C=60°,
∵△ABC沿EF折叠使点A与点D重合,
∴∠EDF=∠A=60°,AF=DF,
∴∠FDC=60°−∠BDE=∠BED,
∴△BDE∽△CFD,
∴BDCF=DEDF,即BDDE=CFDF,
∵BD:DE=2:3,
∴CF:DF=2:3,
∴CF:AF=2:3,
∵CF+AF=AC=6,
∴CF=6×22+3=2.4,
故答案为:2.4.
根据△ABC为等边三角形和△ABC沿EF折叠使点A与点D重合,可得△BDE∽△CFD,即得BDDE=CFDF,而BD:DE=2:3,得CF:DF=2:3,即CF:AF=2:3,可得CF=2.4.
本题考查等边三角形中的折叠问题,解题的关键是掌握折叠的性质及相似三角形判定与性质.
18.【答案】516 【解析】解:如图,过点E作EM⊥y轴于M,交BC延长线于N,
∵∠AME=∠DNE=90°,∠AEM=∠EDN,
∴△AEM∽EDN,
∴AMEN=EMDN①,
设AM=BN=m,ME=n,
∴EN=MN−ME=10−n,DN=BN−BD=m−(7−2)=m−5,
代入①得,m10−n=nm−5②,
根据勾股定理得,m2+n2=102③,
由②③得n1=10,m1=0(舍),n2=6,m2=8,
∴AM=8,ME=6,
∵点B的坐标为(10,7),DC=2,
∴D(10,2),DE=BD=5,
∵DN=m−5=3,
∴CN=3−2=1,
∴E(6,−1).
设直线AD的解析式为y=k1x+7,
代入D(10,2)得,2=10k1+7,解得k1=−12,
∴直线AD为y=−12x+7,
设直线AE的解析式为y=k2x+7,
代入E(6,−1)得,−1=6k2+7,解得k2=−43,
∴直线AE为y=−43+7,
∵y=ax2−8ax+10=a(x−4)2+(10−16a),
把x=4分别代入直线AD和直线AE的解析式得,y=−12×4+7=5,y=−43×4+7=53,
∴G(4,5),H(4,53),
又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部,
∴此抛物线的顶点必在GH上.
∴−1<10−26a<2,
∴516 故答案为516 先判断出△AEM∽EDN得出ME,EN,进而求得CN,即可求得E的坐标,根据待定系数法求得直线AD和AE的解析式,作直线x=4交AD于G,交AE于H,求得G、H的坐标,最后求得a的取值范围.
本题考查了二次函数的综合知识,是一道有关折叠的问题,主要考查二次函数、矩形、相似形等知识,试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想,请注意体会.
19.【答案】解:(1)∵x2+6x−7=0,
∴(x+7)(x−1)=0,
∴x1=−7,x2=1
(2)原式=4×22−22+1−33=1−33
【解析】(1)根据因式分解法即可求出答案.
(2)根据锐角三角函数的定义以及零指数幂的定义即可求出答案.
本题考查学生的运算能力,解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.
20.【答案】解:(1)乙队的平均成绩是:110(10×4+8×2+7+9×3)=9,
则方差是:110×[4×(10−9)2+2×(8−9)2+(7−9)2+3×(9−9)2]=1;
(2)∵甲队成绩的方差是1.4,乙队成绩的方差是1,
∴成绩较为整齐的是乙队.
【解析】(1)先求出乙队的平均成绩,再根据方差公式进行计算;
(2)先比较出甲队和乙队的方差,再根据方差的意义即可得出答案.
本题考查方差,方差反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.
21.【答案】13
【解析】解:(1)甲选择B《唐人街探案3》观看的概率为13,
故答案为:13;
(2)把国外影片《银行家》记为C,画树状图如下:
共有9种等可能的结果,其中甲、乙两人都选择观看国产电影的结果有4种,
∴甲、乙两人都选择观看国产电影的概率为49.
(1)直接由概率公式求解即可;
(2)画树状图,共有9种等可能的结果,其中甲、乙两人都选择观看国产电影的结果有4种,再由概率公式求解即可.
本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
22.【答案】解:(1)如图所示,△AB1C1即为所求;
(2)①如上图所示,△A1B2C1即为所求;
②由图形可知,AC1=42+22=25,
∴点A的运动路径为nπr180=90×π×25180=5π.
【解析】(1)根据位似图形的性质,即可画出△AB1C1;
(2)①根据旋转的性质,可画出△A1B2C1;
②利用弧长公式代入计算即可.
本题主要考查了位似图形的性质,旋转的性质,弧长公式等知识,准确画出图形是解题的关键.
23.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AB//CD,
∴∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180°;
∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,
∴∠AFD=∠C,
∴△ADF∽△DEC;
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB=8.
∵△ADF∽△DEC,
∴ADDE=AFDC,即12DE=68,
∴DE=16.
∵AD//BC,AE⊥BC,
∴AE⊥AD.
在Rt△ADE中,∠EAD=90°,DE=16,AD=12,
∴AE=DE2−AD2=162−122=112=47.
【解析】(1)△ADF和△DEC中,易知∠ADF=∠CED(平行线的内错角),而∠AFD和∠C是等角的补角,由此可判定两个三角形相似;
(2)根据平行四边形的性质可得出CD=AB=8,根据相似三角形的性质可得出ADDE=AFDC,代入各线段长度可求出DE的长度,再在Rt△ADE中,利用勾股定理即可求出AE的长..
此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用,解题的关键是熟记判定三角形相似的各种方法和各种性质.
24.【答案】解:(1)如图,连接OD,则OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD//AC,
∴∠ODB=∠C=90°,
∵点D在⊙O上,
∴BC是⊙O的切线;
(2)∵∠BDO=90°,
∴sinB=ODBO=ODBE+OD=OD4+OD=12,
∴OD=4,∠B=30°,
∴∠DOE=60°,
∵tan∠B=ODBD,
∴BD=433=43,
∴S阴影=S△BOD−S扇形ODE=12×43×4−60π⋅42360=83−8π3.
【解析】(1)先判断出OD//AC,得出∠ODB=90°,即可得出结论;
(2)先根据三角函数的定义求出OD,BD,再根据S阴影=S△BOD−S扇形ODE即可求出阴影部分的面积.
此题考查了切线的判定,圆周角的性质,解直角三角形,扇形的面积公式,求出圆的半径是解本题的关键.
25.【答案】解:(1)设y与x的函数表达式为y=kx+b,
则80k+b=40090k+b=300,
解得:k=−10b=1200,
∴y与x的函数表达式为y=−10x+1200;
(2)当线下销量为(−10x+1200)个时,线上销量为1000−(−10x+1200)=(10x−200)个,
设全部售完后获得的利润为w元,
根据题意得:w=(x−60)(−10x+1200)+(100−60)(10x−200)=−10x2+2200x−80000=−10(x−110)2+41000,
∵线下销售,每个摆件的利润不得高于进价的80%,
∴x−60≤60×80%,
解得:x≤108,
∵−10<0,对称轴为x=110,
∴当x=108时,w有最大值,最大值为40960,
此时线下销售量为−10x+1200=120(个),线上销售量为1000−120=880(个).
答:线下销售120个,线上销售880个时可使全部售完后获得的利润最大,最大利润是40960元.
【解析】(1)设出y与x的函数表达式为y=kx+b,然后用待定系数法求函数解析式即可;
(2)根据总利润=线下销售利润+线上销售利润列出函数解析式,根据函数的性质求最值以及此时线上、线下的销售量.
本题考查了二次函数的应用和待定系数法求函数解析式,关键是根据总利润=线下销售利润+线上销售利润列出函数解析式.
26.【答案】解:(1)∵Cn2=n(n−1)2,
∴Cn2=n(n−1)2=45,
∴n=10或n=−9(舍);
(2)∵Cn2=n(n−1)2,Cn2=y,
∴n(n−1)2=y,
∵y≥153,
∴n(n−1)2≥153,
当n=18时,n(n−1)2=153,
∴n≥18.
【解析】(1)由题意可得n(n−1)2=45,求出n即可;
(2)由题意可得n(n−1)2≥153,求n的取值范围即可.
本题考查数字的变化规律,理解定义,根据所求准确的代入求值是解题的关键.
27.【答案】解:(1)72;
(2)设运动时间为t,
①当t=32时,
AP=32,BP=6−32=92,BQ=3,CQ=12−3=9,
∵AD=12,DC=6,
∴在Rt△ADP中,
DP2=AD2+AP2=5854,
在Rt△PBQ中,
PQ2=PB2+BQ2=1174,
在Rt△PQC中,
DQ2=DC2+CQ2=117,
在△DPQ中,
∵DQ2+PQ2=DP2,
∴△DPQ是直角三角形;
②不存在,
理由如下:
假设存在,如图④,连接AC,过点Q作QM垂直于AC,垂足为点M,
则QM=PQ,
在Rt△ABC中,
AC=AB2+BC2=65,
∵∠QMC=∠ABC=90°,∠QCM=∠ACB,
∴△QMC∽△ABC,
∴QMAB=QCAC,
即QM6=12−2t65,
∴QM=5(12−2t)5,
在Rt△BPQ中,
PQ2=BP2+BQ2=(6−t)2+(2t)2,
又∵QM2=[5(12−2t)5]2,
∴(6−t)2+(2t)2=[5(12−2t)5]2,
整理,得7t2−4t+12=0,
∵△=b2−4ac=−320<0,
∴此方程无实根,
∴不存在这样的时刻,使以Q为圆心,PQ的长为半径的圆与矩形ABCD的对角线AC相切.
【解析】
【分析】
本题考查了动点函数图象问题,矩形的性质,切线的性质,相似三角形的判定和性质,根的判别式,勾股定理及其逆定理的运用,等,解题关键是要掌握数形结合的思想.
(1)由数形结合的思想,从图①,图②分别可以看出,点P在运动过程中,△PAB面积为y所对应的路程x的值,由此可知矩形的宽和长分别为6和12,即可求出矩形ABCD的面积;
(2)①分别求出AP,PB,BQ,QC等线段的长度,在Rt△APB,Rt△QPB,Rt△DQC中分别通过勾股定理求出DQ2、PQ2、DP2的长度,通过勾股定理的逆定理即可证出△DPQ是直角三角形;
②假设存在这样的时刻,那么过切点的半径QM与半径PQ相等,通过相似求出QM的长度,再通过勾股定理构造方程,由方程无实根,故不存在这样的时刻.
【解答】
解:(1)从图①可看出,当点P在AB上运动时,△PAB面积为0,对应图②中的路程x为0至6;
点P在BC上运动时,△PAB面积逐渐增大,对应图②中的路程x为6至18;
点P在CD上运动时,△PAB面积不变,对应图②中的路程x为18至24;
当点P在DA上运动时,△PAB面积逐渐减小至0,对应图②中的路程x为24至36;
由此可知矩形的宽和长分别为6和12,
∴S矩形ABCD=6×12=72;
故答案为:72.
(2)①见答案;
②见答案.
28.【答案】解:(1)直线m:y=2x−1与抛物线y=x2相切,理由如下:
由y=2x−1y=x2得x1=x2=1y1=y2=1,
∴直线m:y=2x−1与抛物线y=x2相切,切点是(1,1);
(2)设直线n的解析式为y=mx+n,将A(1,−3)代入得:
m+n=−3,
∴n=−3−m,
∴直线n的解析式为y=mx−3−m,
由y=mx−3−my=x2得x2−mx+m+3=0,
∵直线n与抛物线y=x2相切,
∴x2−mx+m+3=0有两个相等实数解,
∴Δ=0,即(−m)2−4(m+3)=0,
解得m=−2或m=6,
当m=−2时,直线n的解析式为y=−2x−1,
解y=−2x−1y=2x−1得x=0y=−1,
∴此时直线m与直线n的交点坐标是(0,−1);
当m=6时,直线n的解析式为y=6x−9,
解y=6x−9y=2x−1得x=2y=3,
∴此时直线m与直线n的交点坐标是(2,3);
答:直线n的函数表达式为y=−2x−1,直线m与直线n的交点坐标是(0,−1)或直线n的解析式为y=6x−9,直线m与直线n的交点坐标是(2,3);
(3)过C作CM⊥PQ于M,过D作DN⊥PQ于N,如图:
设C(m,m2),D(n,n2),直线PC解析式为y=kx+b,
将C(m,m2)代入y=kx+b得:m2=km+b,
∴b=m2−km①,
∵PC与抛物线y=x2相切,
∴y=kx+by=x2有两个相同的解,即x2=kx+b有两个相等实数解,
∴Δ=k2+4b=0②,
将①代入②得:k2+4(m2−km)=0,
∴k=2m b=−m2,
∴直线PC解析式为y=2mx−m2,
同理可得直线PD解析式为y=2nx−n2,
由2mx−m2=2nx−n2得x=m+n2,
∴P 的横坐标为m+n2,
设直线CD解析式为y=tx+s,将C(m,m2)D(n,n2)代入得:
m2=mt+sn2=nt+s,解得t=m+ns=−mn,
∴直线CD解析式为y=(m+n)x−mn,
在y=(m+n)x−mn中,令x=m+n2得y=m2+n22,
∴Q(m+n2,m2+n22),
∴CM=xQ−xC=n−m2,DN=xD−xQ=n−m2,MQ=yQ−yC=n2−m22,NQ=yD−yQ=n2−m22,
∴CM=DN,MQ=NQ,
∵∠CMQ=∠DNQ=90°,
∴△CQM≌△DQN(SAS),
∴CQ=DQ,
∴点Q是CD的中点.
【解析】(1)由y=2x−1y=x2得x1=x2=1y1=y2=1,即知直线m:y=2x−1与抛物线y=x2相切,切点是(1,1);
(2)设直线n的解析式为y=mx+n,用待定系数法得直线n的解析式为y=mx−3−m,由y=mx−3−my=x2得x2−mx+m+3=0,根据直线n与抛物线y=x2相切,可得Δ=0,即(−m)2−4(m+3)=0,解得m=−2或m=6,当m=−2时,可得直线n的解析式为y=−2x−1,直线m与直线n的交点坐标是(0,−1);当m=6时,直线n的解析式为y=6x−9,此时直线m与直线n的交点坐标是(2,3);
(3)过C作CM⊥PQ于M,过D作DN⊥PQ于N,设C(m,m2),D(n,n2),直线PC解析式为y=kx+b,可得b=m2−km①,根据PC与抛物线y=x2相切,可得Δ=k2+4b=0②,将①代入②得:k2+4(m2−km)=0,可得k=2m b=−m2,从而直线PC解析式为y=2mx−m2,同理可得直线PD解析式为y=2nx−n2,即得P 的横坐标为m+n2,设直线CD解析式为y=tx+s,用待定系数法可得直线CD解析式为y=(m+n)x−mn,令x=m+n2得y=m2+n22,即得Q(m+n2,m2+n22),故CM=DN,MQ=NQ,即知△CQM≌△DQN(SAS),得CQ=DQ,点Q是CD的中点.
本题考查二次函数综合应用,涉及待定系数法、新定义、三角形全等的判定与性质,解题的关键是理解直线与抛物线相切的定义,证明△CQM≌△DQN.
2023-2024学年江苏省扬州市江都区八校联谊七年级(下)期中数学试卷(含解析): 这是一份2023-2024学年江苏省扬州市江都区八校联谊七年级(下)期中数学试卷(含解析),共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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