2023年山东省枣庄市滕州市中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省枣庄市滕州市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数是负数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到已知，则用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条按箭头方向旋转的度数至少是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是，则四边形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  华为某型号手机经过次降价后的价格是次降价前价格的，则每次降价的百分比是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  有三张反面无差别的卡片，其正面分别印有国际数学家大会的会标，现将三张卡片正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图所示的工件槽，其两个底角均为，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图所示的、、三个接触点，该球的大小就符合要求．图是过球心及、、三点的截面示意图，已知的直径就是铁球的直径，是的弦，切于点，、，若，，则这种铁球的直径为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，点是反比例函数图象上一点，的顶点在轴上，点在轴上，，，与轴相交于点，且，若的面积为，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，当时，若，为函数图象上的两点，则，以上结论中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若，满足方程组，则______．

12.  若，则以、为边长的等腰三角形的周长为______．

13.  如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是和，则重叠部分的四边形周长是        ．

14.  在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即已知为米，则线段的长为______米．

15.  如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是          结果用含的式子表示

16.  “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
化简：；
解不等式组：，并写出它的最大整数解．

18.  本小题分
年月日，“天宫课堂”第二课开讲“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下组满分分，其中组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图．
本次调查一共随机抽取了        名学生的成绩，频数分布直方图中        ，扇形统计图中组占        ；
补全学生成绩频数分布直方图；
若将竞赛成绩在分及以上的记为优秀，求优秀学生所在扇形对应圆心角的度数．

19.  本小题分
如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点．
求证：；
若，求线段的长结果用含的代数式表示．

20.  本小题分
请根据对话和聪聪的做法，解决问题
聪聪的做法是：
第一步：在教学楼前米的点处测得大楼顶端的仰角为；
第二步：在图书馆处测得教学楼顶端的仰角为，、、三点共线，、、、、在同一竖直的平面内，测倾仪的高度忽略不计；
第三步：计算出教学楼与图书馆之间的距离．
请你根据聪聪的做法，计算出教学楼与图书馆之间的距离？结果精确到米．
参考数据：，，，，
 

21.  本小题分
如图，已知菱形，点是上的点，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的点上，连接，延长，交延长线于点．
求证：∽；
若菱形的边长为，，求的长．

22.  本小题分
电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．
当时，求与之间的关系式；
电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过？

23.  本小题分
如图，为的直径，、是上的两点，延长至点，连接，．
求证：是的切线．
若，，求的半径．
 

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．

试求抛物线的解析式；
直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；
在的条件下，取最大值时，是否存在轴上的点及坐标平面内的点，使得，，，四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的点和点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
先化简各式，然后根据负数小于，逐一判断即可解答．
本题考查了实数，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意
B.，故B不符合题意
C.，故C符合题意
D. ，故D不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则即可求出答案．
本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则及公式，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图：

时，，即，
要使木条与平行，木条旋转的度数至少是．
故选：．
根据同位角相等两直线平行，求出旋转后的同位角的度数，然后用减去即可得到木条旋转的度数．
本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后的同位角的度数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：以点为位似中心，作四边形的位似图形，，
，
则四边形面积为：．
故选：．
直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出面积比是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设每次降价的百分比是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故选：．
设每次降价的百分比是，利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分比，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：把三张卡片从左到右分别记为、、、其中是轴对称图形、是中心对称图形，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的结果有种，
抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于点，连接，

、，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，
切于点，
，
，
四边形是矩形，，
，
设的半径为，则，，
在中，，
，
解得：，
这种铁球的直径为，
故选：．
连接，交于点，连接，、，由矩形的判断方法得出四边形是矩形，得出，，由切线的性质得出，得出，得出四边形是矩形，，进而得出，设的半径为，则，，由勾股定理得出方程，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．
本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，则轴，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
设，
，轴，
，
，
，
，
的面积为，
，
，
，
点是反比例函数图象上一点，
，
故选：．
作轴于，轴于，则轴，通过证得≌，得到，，设，
根据题意即可得到，利用勾股定理求得，由的面积为，即可得到．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，表示出、的坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知二次函数图象与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，
，故正确；
由函数图象对称性可得函数图象经过和两点，
，，
并化简得：，
，故正确；
由函数图象对称性可得函数图象经过和两点，
由函数整个图象可得当时，，故正确；
设时，函数值为，则由函数图象的对称性可得：，
，
由函数的增减性可得：，
，故错误；
故正确的有，共个，
故选：．
根据二次函数的图象与性质解答．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，可得：，
．
故答案为：．
把方程组的两个方程的左右两边分别相减，求出的值即可．
此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意加减法的应用．
 

12.【答案】或 

【解析】解：，，，
，，
，，
设三角形的第三边为，
当时，三角形的周长，
当时，三角形的周长，
故答案为：或．
先求，再求第三边即可．
本题考查等腰三角形周长计算，求出，后确定腰和底是求解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，由题意得：矩形≌矩形，
，，，，，
四边形平行四边形，
平行四边形的面积，
，
平行四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
菱形的周长，
即重叠部分的四边形周长是，
故答案为：．
先证四边形平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
设，则，
，
，
即，
解得：，舍去，
线段的长为米．
故答案为：
根据，建立方程求解即可．
本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
根据的度数和内切圆的性质，得出圆心角的度数即可得出阴影部分的面积．
本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．
【解答】
解：，是的内切圆，
，
，
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：第一代勾股树中正方形有个，
第二代勾股树中正方形有个，
第三代勾股树中正方形有个，

第六代勾股树中正方形有个，
故答案为：．
由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
 

17.【答案】解：


；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
故原不等式组的解集为：，
则其最大的整数解是：． 

【解析】先通分，再把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可；
利用解一元一次不等式组的方法进行求解，再确定其最大整数解即可．
本题主要考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
 

18.【答案】     

【解析】解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为：名，
组的人数为：名，
，
组的人数为人，
扇形统计图中组占的百分比为：．
故答案为：，，；
组的人数为：人，
补全学生成绩频数分布直方图如下：

．
答：优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为．
由组的人数除以所占百分比得出抽取的学生数，再进一步求出和组所占的百分数即可；
求出组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；
由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可解答．
本题考查扇形统计图、频数分布直方图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量关系是正确计算的前提．
 

19.【答案】证明：过点作，交于点，如图所示：

在等边中，，
，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：是等边三角形，且，
，
≌，
，
，
，，
 

【解析】过点作，交于点，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，可得是等边三角形，易证≌，即可得证；
根据等边三角形的性质可知，根据全等三角形的性质可知，即可表示出的长．
本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：根据题意可得，
在中，，，
，
米，
在中，，
，
米，
教学楼与图书馆之间的距离约为米． 

【解析】解直角三角形求得，解可得出的长，即可得出结论．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，找准直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，
由对称知，，
，
四边形是菱形，
，
，
∽；
解：由翻折知：，
∽，
，即，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】由菱形的性质判断出，，再由对称得出，得出，即可得出结论；
由翻折知：，利用相似三角形的判定与性质可得，，最后由线段的和差关系可得答案．
此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，判断出∽是解本题的关键．
 

22.【答案】解：设．
过点，
．
当时，与的关系式为：；
将代入上式中得：，．
温度在时，电阻．
在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加，
当时，
，
把代入，
得；
把时代入，
得；
答：当时，电阻不超过． 

【解析】设关系为，将代入求；
将代入函数关系式求出的值．
此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
 

23.【答案】证明：连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
．
为的直径，
的半径为． 

【解析】连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；
证明∽，由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
，
，
，
抛物线经过点、、，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
如图，过点作轴交直线于，连接，

设直线的解析式为，
、，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
直线与轴交于点，
，
，
轴，即，
∽，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．
由知：，，
当是矩形的边时，有两种情形，

当四边形为矩形时，如图，连接，过点作轴于，
则，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
∽，
，即，
，
，
；
当四边形是矩形时，如图，过点作轴交的延长线于，过点作轴于，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
；
当是对角线时，设，则，，，
是直角顶点，
，
，
整理得，方程无解，此种情形不存在；
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，再由∽，可得，根据等高三角形的面积比等于底的比可得：，运用二次函数的性质即可得出答案；
分两种情形分别求解即可：当是矩形的边时，有两种情形；当是对角线时．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．