2023年吉林省松原市中考数学一模试卷（含解析）

2023年吉林省松原市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是由个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  若两个相似三角形的相似比是：，则其面积之比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

3.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，已知是的直径，、是上的两点，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为米，那么这两树在坡面上的距离为(    )

A.  
B.
C.  
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.         ．

8.  若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是        ．

9.  如图，，若，，则的长为        ．

10.  在中，，，则______．

11.  如图，点在双曲线上，轴于，，则        ．

12.  如图，西周数学家商高用“矩”测量物高的方法：把矩的两边放置成如图的位置，从矩的一端人眼望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出的长，即可算得物高经测量，得，，设，，则与之间的函数关系式为        ．

13.  如图，菱形，，，分别以，，，为圆心，边长为半径画弧，得到一个眼状图形，则阴影部分的面积为______结果保留．

14.  如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，连接，使点落在上，交于点若，，则的长为        ．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”，正面朝上记分，反面朝上记分，小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图或列表的方法，求两次分数之和等于的概率．

17.  本小题分
把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度是其横截面积的反比例函数，其图象如图所示．
求与的函数关系式；
当钢丝总长度不少于时，钢丝的横截面积最多是多少？

18.  本小题分
如图，在一块矩形空地的相邻两边修宽度相等的小路阴影部分，其余部分绿化，若矩形的长为米，宽为米，绿化部分的面积为平方米，求小路的宽度．

19.  本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫格点的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
在图中画的中位线，使点、分别在边、上；
在图中画的高线．

20.  本小题分
如图，在矩形中，点是边的中点，于点．
求证：∽．
已知，，求的长．

21.  本小题分
如图，是的直径，点在上，连接和，平分交于点，过点作交的延长线于点，连接．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，求的长结果保留．

22.  本小题分
安装了软件“ ”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道物体高度．如图小明测得大树底端点的俯角为，点的仰角为，点离地面的高度求大树的高．结果精确到米，参考数据：，，，，

23.  本小题分
如图，抛物线与轴相交于、两点，抛物线的对称轴为直线，其中点的坐标为．
求点的坐标；
已知，为抛物线与轴的交点，求抛物线的解析式；
在的条件下，若点在抛物线上，且，求点的坐标．

24.  本小题分
【题目】如图，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，连接试判断线段与的位置关系．
【探究展示】小明发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：
证明：，，四边形是矩形，
依据，，，，
依据，垂直平分．
【反思交流】上述证明过程中的“依据”是        ；“依据”是        ；
小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图，连接图中的，将绕点顺时针旋转得到，连接，求证：点在线段的垂直平分线上；
【拓展应用】如图，将图中的绕点顺时针旋转得到分别以点、为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接，若，直接写出的值．

25.  本小题分
如图，在中，，，，点为边上的点，且动点从点出发点不与点、重合，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以相同的速度沿折线一向终点运动，以、为邻边构造▱，设点运动的时间为秒．
当点与点重合时，的值为______；
当点落在边上时，求的值；
设▱的面积为，求与之间的函数关系式；
连结，直接写出与的边平行时的值．
 

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线是常数经过点，其对称轴是直线点在这个抛物线上，其横坐标为，点、的坐标分别为、，点在坐标平面内，以、、、为顶点构造矩形．
求该抛物线对应的函数关系式；
当点、重合时，求的值；
当抛物线的最低点在矩形的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标之差为，求的值；
当该抛物线在矩形内部的部分的图象对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从左面看易得，底层有个正方形，上层左边有个正方形．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

2.【答案】 

【解析】解：两个相似三角形的相似比是：，
其面积之比是：，
故选：．
直接利用相似三角形的性质分析得出答案．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、、选项中的图形旋转度不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，而选项中的图形旋转度能够与原图形重合，故是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的定义逐项分析即可．
本题考查中心对称图形的识别，绕某一个点旋转度能够与自身重合的图形，叫做中心对称图形．
 

4.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为，
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
，
故选：．
根据圆周角定理的推论由是的直径得，根据求得度数，再利用同弧所对圆周角相等得到．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，
 在中，
米，．
．
故选：．
利用所给的角的余弦值求解即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值求解即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
 

8.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
解得，，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由知，可设，则，．
．
故答案为：．
根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角或余角的三角函数关系式求三角函数值．
 

11.【答案】 

【解析】解：的面积为，
，
反比例函数的表达式是，
即．
故答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义得出，即可求出表达式．
本题考查反比例函数系数的几何意三角形面积，学生们熟练掌握这个公式．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，，，
，，
∽，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据题意可得：，，，然后证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：菱形，，，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为，且半径为的扇形的面积，可据此求出阴影部分的面积．
本题利用了扇形的面积公式，菱形的性质，得出是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，可证，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

16.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次分数之和等于的结果有种，
两次分数之和等于的概率为． 

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，其中两次分数之和等于的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：由图象得，反比例函数图象经过点，
设与的函数关系式使，
则，
解得，
与的函数关系式是；
当时，即：，
解得：，
钢丝的横截面积最多为． 

【解析】根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法进行解答；
把代入求得的解析式求得的值即可．
本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，根据图象找出函数图象经过的点的坐标是解题的关键，难度不大．
 

18.【答案】解：设小路的宽度为米，则绿化部分的长为米，宽为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：小路的宽度为米． 

【解析】设小路的宽度为米，则绿化部分的长为米，宽为米，根据绿化部分的面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】解：如下图：

线段即为所求；
线段即为所求． 

【解析】根据网格线的特点，先找到，的中点，再连接即可；
根据网格线的特点作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点和三角的的中位线，高线的定义是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形为矩形，，
，，
，
∽；
解：为的中点，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】由四边形为矩形，，可得，即可证明结论；
为的中点，根据勾股定理可得，再根据相似三角形的性质即可列出比例式求得的长，进而求得的长即可．
本题考查了相似三角形的判断与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：结论：是的切线．
理由：连接．
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
在中，，
，
，
平分，
，
，
连接，
是的直径，
，
，
，
． 

【解析】结论：是的切线，证明即可；
根据三角函数的定义和弧长公式即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，过点作于，
在中，，
由，得
在中
，得
，．
答：大树的高为米． 

【解析】过点作于，构建两个直角三角形．先在中，利用已知角的正弦值求出；然后在中，利用已知角的正弦值求出即可解决问题．
本题考查仰角、俯角的定义，要求学生能借助角度构造直角三角形并解直角三角形．
 

23.【答案】解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，
、两点关于直线对称，
点的坐标为，
点的坐标为；
时，抛物线为，对称轴为直线，
，
解得．
将代入，得，
解得，
则二次函数的解析式为；
二次函数的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，
．
设点坐标为，
，
，
，
．
当时，，
当时，．
点的坐标为或． 

【解析】由抛物线的对称轴为直线，交轴于、两点，其中点的坐标为，根据二次函数的对称性，即可求得点的坐标；
时，先由对称轴为直线，求出的值，再将代入，求出二次函数的解析式即可；
由得二次函数的解析式，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标．
此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积．解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、运用方程思想与数形结合思想解决问题．
 

24.【答案】平行线分线段成比例定理  等腰三角形三线合一的性质 

【解析】【反思交流】解：上述证明过程中的“依据”是平行线分线段成比例定理；“依据”是等腰三角形三线合一的性质．
故答案为：平行线分线段成比例定理，等腰三角形三线合一的性质；
证明：由旋转得，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
由【探究展示】知，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
点在线段的垂直平分线上；
【拓展应用】过点作于，连接，

由旋转得，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
≌，，
，，
，
，
，
由知，
，
四边形为矩形，
，，
是的垂直平分线，
的值为的长，
，
或，
或，
的值为或．
【反思交流】根据平行线分线段成比例定理和等腰三角形三线合一的性质直接得出结论；
证明≌，根据全等三角形的性质得，得出，由【探究展示】知，即可得出结论；
【拓展应用】过点作于，连接，证明≌，得出，，判断出四边形为矩形，则，分两种情况利用勾股定理即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
当点与点重合时，，
，
故答案为：．
四边形是平行四边形，
，
当点落在边上时，如图，则，
∽，
，
，，
，
解得．
当时，如图，作于点，于点，
，
，
，，
，，
由得，
；
当时，如图，作于点，则，
，
，
，
，
综上所述，．
当时，如图，
，
，
解得；
当时，如图，
，
，
，
，
解得，
综上所述，或．
先由勾股定理求得，因为，所以当点与点重合时；
当点落在边上时，则，所以∽，根据相似三角形的对应边成比例可列方程，解方程求出的值即可；
分两点情况，一是点在上，作于点，于点，可求得，，即可由求出与之间的函数关系式；二是点在上，可直接由平行四边形的面积公式求出与之间的函数关系式；
分两种情况，一是，可根据平行线分线段成比例定理列方程；二是，根据平行线分线段成比例定理列方程，解方程求出相应的值即可．
此题重点考查勾股定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
 

26.【答案】解：抛物线是常数经过点，其对称轴是直线，
，
解得：．
该抛物线对应的函数关系式；
点在这个抛物线上，其横坐标为，
．
点、重合，点，
，
解得：或．
点、的坐标分别为、，
，
．
；
，
抛物线的顶点坐标为．
抛物线的开口方向向上，
抛物线的最低点为．
点在这个抛物线上，以、、、为顶点构造矩形，
抛物线的最低点不可能在，边上，
抛物线的最低点可能在，边上，即抛物线的最低点与点重合，
．
．
，，
，均在轴上，
该矩形与抛物线交点即为抛物线与轴的交点，
令，则，
抛物线与轴交于，
该矩形与抛物线交点的纵坐标为，
；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，函数值随增大而减小．
．
，点、的坐标分别为、，以、、、为顶点构造矩形，
，
由得：，
由得：，
综上，．
当该抛物线在矩形内部的部分的图象对应的函数值随增大而减小时，的取值范围． 

【解析】利用待定系数法解答即可；
利用二次函数的解析式表示出点的坐标，再利用两点重合时的性质列出关于的方程，解方程即可得出结论；
利用配方法求得抛物线的最低点的坐标，再利用函数的性质和点的坐标的特征，求得该矩形与抛物线交点的纵坐标后即可得出结论；
利用二次函数的性质得到函数值随增大而减小的范围，再利用矩形的性质，结合函数的图象列出关于的不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的特殊与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．