2023年陕西省咸阳市秦都区电建学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年陕西省咸阳市秦都区电建学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某正方体木块切割掉四分之一后的剩余部分如图所示，其俯视图大致为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  年月，记者从国家知识产权局获悉，年我国发明专利有效量达件，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某学校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点；若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知关于的一次函数，则该函数图象不经过的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6.  如图，▱的对角线与相交于点，添加下列条件不能证明▱是菱形的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，点、、、为上的四个点，连接、、、，，若，的半径为，则劣弧的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知二次函数为不等于的常数，当时，函数的最小值为，则的值为(    )

A.  B. 或 C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  分解因式：______．

10.  若一个多边形的每个外角都为，则这个多边形的内角和是______

11.  如图，在边长为的正方形网格中，和的顶点都在格点上，且是由向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，则的值为        ．

12.  如图，点为反比例函数第三象限内图象上一点，连接并延长，交该函数第一象限内的图象于点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为        ．

13.  如图，在正方形中，点为对角线上一点，且，点为线段上一动点，过点作于点，作于点，则的值为        ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式：，并写出该不等式的最小整数解．

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
如图，在梯形中，，点在边上，且，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得：：保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，已知是等腰直角三角形，，点为边的延长线上一点，连接，若，，求的长．

19.  本小题分
如图，将一块正方形空地的三边各修出一条宽的小路图中阴影部分，剩余部分图中空白部分的面积为，求原正方形空地的边长．

20.  本小题分
习近平总书记高度重视教育事业，曾多次强调立德树人这个根本任务为了落实立德树人根本任务，进一步发展素质教育，促进受教育者全面而富有个性地充分发展，某校增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”五门校本课程，并且要求每位学生必须选修一门且只能选修一门李明喜欢“礼仪”“陶艺”和“编程”，王婷喜欢“礼仪”“园艺”和“编程”，两人都不知道在自己喜欢的课程中如何进行选择，于是决定采用摸球的方式来选择五个小球上分别标有、、、、，这些球除所标字母不同外没有任何区别，李明先从、、三个小球中任意摸出一个，并选择该小球上对应的课程；王婷再从、、三个小球中任意摸出一个，并选择该小球上对应的课程．
李明最终选择的是“礼仪”的概率为        ；
请用列表法或画树状图的方法，求李明和王婷最终选择同一门课程的概率．

21.  本小题分
瀛湖安康水电站建成后形成的陕西最大的人工湖，金螺岛是瀛湖风景区重要景点之一，坐落在金螺岛顶的螺峰塔，气势宏伟，巍巍壮观某天莉莉想测量该塔的高度，但是由于景区限制，塔底处无法直接到达，于是她在地面上的点处，测得塔顶的仰角为，并从处沿继续向前走米，到达点处，此时测得塔顶的仰角为，已知点、、在同一水平直线上，，请你计算该塔的高度参考数据：，，

22.  本小题分
北京时间年月日，神舟十五号航天员圆满完成出舱活动全部既定任务，这是中国空间站全面建成后航天员首次出舱活动，见证着我国从航天大国迈向航天强国的奋进足迹为了激发同学们学习航天知识的热情，某校举办了“致敬航天人，共筑星河梦”主题演讲比赛，比赛的成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，校团委随机抽取部分学生的比赛成绩，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息，解答下列问题：
被抽取的学生共有        人，并补全条形统计图；
本次演讲成绩的中位数落在        等级，计算被抽取学生成绩的平均数；
若该校共有名同学参加了此次演讲比赛，请估计比赛成绩在等级的学生共有多少名？

23.  本小题分
如图甲所示，弹簧测力计下面挂一实心圆柱体，将圆柱体从盛有煤油的容器上方离油面某一高度处匀速下降，使其逐渐浸入煤油中某一深度，如图乙是整个过程中弹簧测力计示数与圆柱体下降高度变化关系的函数图象，根据图象解答下列问题：
求段所在直线的函数表达式；
当弹簧测力计的示数为时，求此时圆柱体下降的高度．

24.  本小题分
如图，是的直径，点为线段上一点，点为的中点，过点作交于点，连接、，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，求的长．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点点在点的右侧，与轴交于点，且，点为抛物线的对称轴与轴的交点，连接．
求抛物线的函数表达式；
点为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
【问题提出】
如图，为的平分线，于点，于点，若，则       
【问题探究】
如图，、是两条平行的直线，且、之间的距离为，点为直线上一点，点、为直线上两点，且点在点的左侧，若，求的最小值；
【问题解决】
如图，四边形是园林规划局欲修建的一块平行四边形园林的大致示意图，沿对角线修一条人行走道，沿的平分线点在上修一条园林灌溉水渠根据规划要求，，米，且使得平行四边形的面积尽可能小，问平行四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的立方根为，
故选：．
根据立方根的定义即可求出答案．
本题考查立方根，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一列两个相邻的矩形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
故选：．
根据平行线的性质得到，根据三角形外角性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：．
根据，可得，进一步根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，
，
▱是菱形，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
▱是菱形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，，
▱是菱形，故选项C不符合题意，
D、四边形是平行四边形，，
▱是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，，
，
，为的直径，
，
，
，
劣弧的长，
故选：．
连接，，根据圆周角定理得到，为的直径，求得，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了弧长的计算，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数为，
对称轴为，
当时，
二次函数开口向上，
当时，函数在取得最小值，
将，代入中，
解得：，
当时，
二次函数开口向下，
当时，函数在取得最小值，
将，代入中，
解得：，
综上，的值为或，
故选：．
由二次函数可得对称轴为，分为和两种情况，当时，二次函数开口向上，当时，函数在取得最小值，将，代入中，解得，当时，二次函数开口向下，当时，函数在取得最小值，将，代入中，解得，即可求解．
本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，解题的关键是分情况讨论，掌握二次函数对称轴的求法．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：．  

10.【答案】 

【解析】解：此正多边形每一个外角都为，
，
此正多边形的边数为．
则这个多边形的内角和为．
故答案为：．
本题首先根据多边形外角和定理，即任意多边形外角和为，可求出此正多边形的边数为然后再根据三角形的内角和定理求出它的内角和．
本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图知，是由向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，
所以，，
则，
故答案为：．
由图知，是由向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，据此得出、的值，从而得出答案．
本题主要考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握坐标与图形的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，延长，交轴于点，
轴，
轴，
，，
，
是反比例函数图象上第三象限上的点，连结并延长交该函数第一象限的图象于点，
、关于原点成中心对称，
，
故答案为：．
连接，延长，交轴于点，根据反比例函数系数的几何意义得到，根据反比例函数的中心对称性对称，即可得出．
本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数的对称性，明确是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于点，

在正方形中，点为对角线上一点，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，过点作于点，根据正方形的性质可得，利用，可得，进而可以解决问题．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】先计算二次根式的除法，零指数幂，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
去分母，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为，得：，
该不等式的最小整数解是． 

【解析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数解即可．
本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

16.【答案】解：原式

；
当时，原式． 

【解析】先进行通分，再进行同分母的加法运算，然后把分子分解因式后约分，再把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
 

17.【答案】解：如图，点为所作．
 

【解析】作交于点，利用平行线分线段成比例定理得到：：：．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了梯形的性质和复杂作图．
 

18.【答案】解：是等腰直角三角形，，
，，
是的一个外角，，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】利用等腰直角三角形的性质可得，，再利用三角形的外角性质可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了等腰直角三角形，含度角的直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形，以及含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：设原正方形空地的边长为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，不符合题意舍去，
答：原正方形空地的边长为． 

【解析】设原正方形空地的边长为，由题意：剩余部分图中空白部分的面积为，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：李明从、、三个小球中任意摸出一个，
李明最终选择的是“礼仪”的概率为．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中李明和王婷最终选择同一门课程的结果有种，
李明和王婷最终选择同一门课程的概率为．
直接利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数和李明和王婷最终选择同一门课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：由题意可知，，，米，
在中，
，
，
，
设米，则米，
在中，
，
，
解得米，
答：该塔的高度约为米． 

【解析】在中，根据，得到，在中，根据锐角三角函数的定义，设未知数列方程求解求出，进而求出答案．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解两个直角三角形的边角之间的关系是正确解答的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：被抽取的学生共有人，
等级人数为人，
补全图形如下：

故答案为：；

共有个数据，其中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据均落在等级，
这组数据的中位数落在等级；
这组数据的平均数为分，
故答案为：；

名，
答：估计比赛成绩在等级的学生共有名．
由等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出等级人数即可补全图形；
根据中位数和平均数的定义求解即可；
总人数乘以样本中等级人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：设段所在直线的函数表达式为，根据题意得：
，
解得，
段所在直线的函数表达式为；
当时，，
解得，
答：此时圆柱体下降的高度为． 

【解析】利用待定系数法解答即可；
把代入的结论即可．
本题主要考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式的技能，正确求解析式是解答本题的关键．
 

24.【答案】证明：点是的中点，
，
，
，
是的切线，
，
，
∽，
，
，，
点是的中点，
又，
；
解：如图，连接，
，
，，
，，
，
，
． 

【解析】通过证明∽，可得，，由直角三角形的性质可求解；
先求出，的长，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，证明三角形相似是解题的关键．
 

25.【答案】解：，则点，
则抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；

由抛物线的表达式知，其对称轴为，即点，则，
当矩形为时，如下图，过点作轴于点，

四边形为矩形，则，
，，
，
，
故设，则，
则点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：舍去或，
则点的横坐标为：；
当矩形为时，如下图，过点作轴于点，

同理可设：点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：负值已舍去，
则点的横坐标为：；
综上，点的横坐标为：或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
 当矩形为时，如下图，过点作轴于点，证明，得到点，进而求解；当矩形为时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的性质、解直角三角形、矩形的性质等，其中，分类求解是本题解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：为的平分线，，，
，
，
≌，
，
故答案为：；

作的外接圆，连接、、，过点作于点，

，则，则为等腰直角三角形，
设，则，，
则，
当最小时，最小时，最小，
而当、、共线时，最小为，
则最小值为：，
则的最小值为；

存在，理由：
是平行四边形的对角线，故平行四边形的面积最小，只需要的面积最小，
，则，
过点作于点，作于点，
是的平分线，则，
又，，
≌，
，，，
，，
则，
在上截取，连接，如图，

，，，
≌，
，
要使的面积最小，只需要的面积最小，
，
，
作的外接圆，连接、、，作于点，
则，
设，则，
得：，即，
，
则，
则，
，
故四边形面积存在最小值为：平方米．
证明≌，即可求解；
证明为等腰直角三角形，当最小时，最小时，最小，进而求解；
是平行四边形的对角线，故平行四边形的面积最小，只需要的面积最小，要使的面积最小，只需要的面积最小，进而求解．
此题考查了四边形综合题，涉及到解直角三角形、三角形全等、三角形及其外接圆、平行四边形性质等考点，熟练掌握相关知识并能综合应用是解题关键．