2022-2023学年云南省大理白族自治州云龙县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年云南省大理白族自治州云龙县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若是方程 的根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 太阳东升西落
C. 明天是晴天 D. 过马路时恰好遇到红灯

4.  二次函数的图象与轴的交点个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个或者个 D. 个

5.  如图，已知点、、依次在上，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，反比例函数的图象上有一点，平行于轴交轴于点，平行于轴交轴于点，四边形的面积为，则反比例函数的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知圆锥的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为．(    )

A.  B.  C.  D.

10.  电影长津湖一上映，第一天票房亿元，若每天票房的平均增长率相同，三天后累计票房收入达亿元，平均增长率记作，方程可以列为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，矩形中，以为圆心，的长为半径画圆，交于点 ，再以 为圆心， 的长为半径画圆，恰好经过点 已知，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  在平面直角坐标系中，点 ，关于原点对称的点的坐标是          ．

14.  一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字，，，，，，投掷一次，朝上一面的数字小于的概率为          ．

15.  若是关于的一元二次方程，则           ．

16.  如图，是直径，弦，垂足为点 ，若半径为， ，则 等于          ．

17.  若反比例函数的图象过点，，且，则           ．

18.  已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点有以下结论：；；；；其中所有正确结论的序号是          ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  解下列方程：

；

．

四、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分

在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标是，请解答下列问题．画图不要求写作法

将绕点逆时针旋转，画出旋转后的；

在的条件下，求线段 扫过的面积．

21.  本小题分

某中学九年级班为了了解全班学生的兴趣爱好情况，采取全面调查的方法，从舞蹈、书法、唱歌、绘画等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图如图，，要求每位学生只能选择其中一种自己喜欢的兴趣项目，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

九年级班的学生人数为__，并将图中条形统计图补充完整__；

图中表示“绘画”的扇形的圆心角是__度；

“舞蹈”兴趣小组名学生中有男女，现在打算从中随机选出名学生参加学校的舞蹈队，请用列表或画树状图的方法求选出的名学生恰好是男女的概率．

22.  本小题分

某药店在口罩销售中发现：一款进价为元盒的口罩，销售单价为元盒时，每天可售出盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价元，则每天可多售出盒，设每盒降价元为整数

降价后，每盒盈利___________元时，每天可售出______________盒用含的式子表示；

为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利 元

在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．

23.  本小题分

如图，四边形内接于，为的直径，过点作交的延长线于点，延长，交于点，．

求证：为的切线；

若，，求的半径．

24.  本小题分

已知抛物线经过、、三点，直线是抛物线的对称轴．

求抛物线的函数关系式；

设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；

在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】先根据平面内，沿一条直线折叠能完全重合的图形叫轴对称图形，再根据平面内，绕某一点旋转  能与原图重合的图形叫中心对称图形进行判断即可．

【详解】解：此图不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

B.此图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；

C.此图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；

D.此图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；

故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】直接将 代入方程，即可得出答案．

【详解】 是方程  的根，

  ，

 ，故答案为：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断即可．

【详解】任意买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故A不符合题意；

太阳东升西落，是必然事件，故B符合题意；

明天是晴天，是随机事件，故C不符合题意；

过马路时恰好遇到红灯是随机事件，故D不符合题意．故选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】根据一元二次方程的判别式的符号判断方程  根的情况即可解答．

【详解】解：  ，

方程  无解，

二次函数  的图象与 轴无交点，即个交点，故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】直接利用圆周角定理求解．

【详解】解：  和  都对  ，

故选：．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

6.【答案】 

【解析】

【分析】根据反比例函数的增减性判断即可．

【详解】解：  ，

 在每一象限内，  随  的增大而减小，

 ，  ，

 ，

故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】根据平移规则，“上加下减，左加右减”，求解即可．

【详解】解：抛物线  向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为 

故选：

【点睛】此题考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握函数平移的规则．

8.【答案】 

【解析】

【分析】根据反比例函数系数的几何意义知  四边形的面积．

【详解】   四边形的面积，

或．

又  函数图象位于第一象限，

，则反比例函数解析式为 ．

故选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积

【详解】由勾股定理，圆锥的母线长： ．

圆锥的底面周长为，

圆锥的侧面展开扇形的弧长为，

圆锥的侧面积为：  ．

故选：

10.【答案】 

【解析】

【分析】根据题意找出等量关系，列出方程即可．第一天票房收入第二天票房收入第三天票房收入  亿元．

【详解】解：  第一天票房约  亿元，且以后每天票房的增长率为  ，

 第二天票房约  亿元，第三天票房约  亿元．

依题意得：  ．

故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】根据二次函数的图象判断、、的正负，再根据函数性质判断图象即可得到答案；

【详解】解：由二次函数的图象可得，

 ，  ，  ，

  ，

根据  ，  ，即可得到一次函数图象过一、二、四象限，

根据  ，可得反比例函数图象过二四象限，

故选A．

12.【答案】 

【解析】

【分析】连接  ，根据阴影部分的面积  的面积  扇形  的面积  扇形  的面积解答即可．

【详解】解：连接，由题意可知：

阴影部分的面积  的面积  扇形  的面积  扇形  的面积，

 ，  ，

 ，
 

 是等腰直角三角形，

 ，  ，

 阴影部分的面积  ，

故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．

【详解】解：点  ，关于原点对称的点的坐标为，  ．

故答案为：，  ．

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

14.【答案】 

【解析】

【分析】直接得出朝上的面数字小于的个数，再利用概率公式求出答案．

【详解】解：一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字，，，，，，数字小于的面有个，

投掷一次，朝上的面数字小于的概率为：  ，

故答案为：  ．

15.【答案】 

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义即得出  且  ，解出即可．

【详解】根据一元二次方程的定义可得：   ，

解得：  ．

故答案为：  ．

【点睛】本题考查一元二次方程的定义指只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是的整式方程，
解决本题的关键是掌握一元二次方程必须满足的两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为是解题关键．

16.【答案】 

【解析】

【分析】连接  ，根据垂径定理可得  ，  ，再由勾股定理求出  ，即可求解．

【详解】解：如图，连接  ，

半径为，

  ，

  ，

  ，

  ，

  ，  ，

  ，

  ．

故答案为： 
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】

【分析】将点  ，  代入反比例函数  得  ，再代入  ，得到，的值，即可解答．

【详解】反比例函数  的图象过点  ，  ，

  ，

  ，

又  ，

  ，  ，

  ，

故答案为：．

18.【答案】 

【解析】

【分析】根据对应的函数值即可判断的正误；根据抛物线与轴交点情况可判断的正误；由对称轴的位置可判断  的正负，由抛物线与轴的交点判断的正负，从而可判断的正误；根据  对应的函数值即可判断的正误；根据的值及的正负即可判断的正误．

【详解】解：  时，  ，错误，不符合题意；

抛物线与轴有个交点，故  ，正确，符合题意；

对称轴在轴左侧，则  ，而抛物线与轴的交点为  ，所以  ，故  ，错误，不符合题意；

由函数的对称性知，  和  对称，故  时，  ，正确，符合题意；

抛物线与轴的交点为  ，所以  ，抛物线开口向下，所以  ，故  ，正确，符合题意．

故答案为：．

19.【答案】解： 

因式分解得，  ，

  ，  ．

解： 

移项得，  ，

提公因式得，  ，

  ，  ．

【解析】根据十字相乘法解一元二次方程，即可求解；

移项，提公因式，即可求解．

20.【答案】解：  如图所示：

解：  ，

 线段  扫过的面积  ．

【解析】利用旋转变化的性质分别作出  、  的对应点  、  即可；

先求出线段  的长，再利用扇形面积公式求解即可．

21.【答案】，补全统计图如图所示；

．
解：根据题意画出树状图如下：

一共有种情况，恰好是男女的情况有种，

恰好是男女  ．

【解析】利用喜欢书法的人数所占百分比求出总人数，再用总人数减去喜欢舞蹈、书法、唱歌的人数得到喜欢绘画的人数，补全条形图即可．

用乘喜欢绘画的人数所占的百分比即可得出图中表示“绘画”的扇形的圆心角；

画出树状图，利用概率公式进行计算即可．

本题考查条形图与扇形图的综合应用，以及利用树状图求概率．通过条形图和扇形图有效的获取信息，准确的画出树状图是解题的关键．

22.【答案】  ，     

解：由题意得方程：  ，

解方程得：  ，  ，

为了减少库存，则取  ，  不合题意．

答：为了尽快减少库存，当每盒降价元时，每天可盈利元．

解：设每天的利润为元，由可得：  ，

整理得：  ，

  ，  ，

当  时，函数有最大值  ．

答：当每盒降价元时，可取得最大利润，且最大利润为  元．

【解析】每盒降价元，则利润也降元，由原利润与降价之差即得现在每盒的利润；由降价而增加的销售量与原有销售量之和即为现在每天的销售量；

由题意列出方程，解方程即可；

设每天的利润为元，可得到关于的二次函数，根据二次函数关系式可求得利润的最大值．

本题是销售与利润实际问题，考查了列代数式、解一元二次方程及二次函数的最值，理解题意，找到等量关系式列出方程与函数关系式是解题的关键．

23.【答案】证明：如图，连接．

  ，

  ，

四边形内接于，

又 

  ．

  ，

  ，

  ，

  ，

  ．

是的半径，

为的切线．

解：如图，过点作  于，连接，，则  ，

  ，

四边形是矩形，

 ．

设的半径为，

 中，  ，

  ，

  ，  ，

由勾股定理得  ，

  ，

解得：  ，

 的半径是．

【解析】如图，连接，先根据四边形内接于，得  ，再根据等量代换和直角三角形的性质可得  ，由切线的判定可得结论．

如图，过点作  于，连接，，则  ，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形是矩形，设的半径为，根据勾股定理列方程可得结论．
本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．

24.【答案】、经过抛物线，

可设抛物线为．

又经过抛物线，代入，得，即．

抛物线的解析式为，即．

连接，直线与直线的交点为则此时的点，使的周长最小．

设直线的解析式为，

将，代入，得：

 ，解得：  ．

直线的函数关系式．

当时，，即的坐标．

存在．点的坐标为，  ，  ，，．

【解析】

【分析】可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．

由图知：、点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接，那么与直线的交点即为符合条件的点．

由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：、、；可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解．

【解答】存在．点的坐标为，  ，  ，，．

抛物线的对称轴为： ，

设

、，

，，．

若，则，得：，得：．

若，则，得：，得：  ．

若，则，得：，得：，，

当时，、、三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．

综上可知，符合条件的点，且坐标为，  ，  ，，．