新高考数学一轮复习讲义 第3章 §3.7　利用导数研究函数零点

这是一份新高考数学一轮复习讲义 第3章 §3.7　利用导数研究函数零点，共14页。试卷主要包含了揣摩例题，精练习题，加强审题的规范性，重视错题等内容，欢迎下载使用。
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§3.7 利用导数研究函数零点
题型一 数形结合法研究函数零点
例1 (2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，
f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，
令f′(x)0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)令f(x)＝0，得ex＝a(x＋2)，即eq \f(1,a)＝eq \f(x＋2,ex)，
所以函数y＝eq \f(1,a)的图象与函数φ(x)＝eq \f(x＋2,ex)的图象有两个交点，
φ′(x)＝eq \f(－x－1,ex)，
当x∈(－∞，－1)时，φ′(x)>0；
当x∈(－1，＋∞)时，φ′(x)0)，
f′(x)＝eq \f(x2－xln 2,2x)(x>0)，
令f′(x)>0，则00)，
则g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)(x>0)，
令g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)＝0，得x＝e，
当0e时，g′(x)e时，g(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))，
又g(1)＝0，
所以00，h(x)单调递增，
当x∈(－2,1)时，h′(x)0，h(x)单调递增，
又当x→－∞时，h(x)→－∞，
当x→＋∞时，h(x)→0且h(x)0，g(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)0且g(x)→0，
作出函数g(x)＝eq \f(ln x＋1,ex)的图象如图所示．
结合图象知，当a>eq \f(1,e)时，f(x)无零点，
当a≤0或a＝eq \f(1,e)时，f(x)有1个零点，
当00，
所以eq \f(x2－a,sin x)－2＝0可转化为x2－a－2sin x＝0，
设g(x)＝x2－a－2sin x，
则g′(x)＝2x－2cs x，
当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，g′(x)>0，
所以g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递增．
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，
设h(x)＝g′(x)＝2x－2cs x，
此时h′(x)＝2＋2sin x>0，
所以g′(x)在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
又 g′(0)＝－20，
所以存在x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))使得g′(x)＝0且x∈(0，x0)时g(x)单调递减，
x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(π,2)))时g(x)单调递增．
综上，对于连续函数g(x)，当x∈(0，x0)时，g(x)单调递减，
当x∈(x0，π)时，g(x)单调递增．
又因为g(0)＝－a0，即a