2023年广东省中考数学一模试卷(含答案）

这是一份2023年广东省中考数学一模试卷(含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省2023年中考数学一模试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）有四个数，其中最小的是（　　）
A．4 B． C．﹣3 D．0
2．（3分）据统计，龙之梦动物世界在2019年“五一”小长假期间共接待游客约238000人次．用科学记数法可将238000表示为（　　）
A．238×103 B．23.8×104 C．2.38×105 D．0.238×106
3．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．x3•x3＝x6 B．3x2÷2x＝x
C．（x2）3＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
4．（3分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）观察如表，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的解的范围是（　　）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x﹣1.1
﹣0.99
﹣0.86
﹣0.71
﹣0.54
﹣0.35
﹣0.14
0.09
0.34
0.61
A．1.4＜x＜1.5 B．1.5＜x＜1.6 C．1.6＜x＜1.7 D．1.7＜x＜1.8
6．（3分）下列说法中，正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
7．（3分）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么cos∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论中：（1）2a+b＝0，（2）a+b+c＜0，（3）3a﹣c＝0，（4）当a＝时，△ABD是等腰直角三角形，正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）把抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是 　 　．
12．（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　 　米．

13．（3分）不透明的布袋中有红、黄、蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为 　 　．
14．（3分）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝25°，则∠P＝　 　度．

15．（3分）如图，A是双曲线y＝（x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 　 　．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）（1）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2；


（2）计算：．



17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．




18．（8分）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．




四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了 　 　名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 　 　度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 　 　；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．



20．（9分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？



21．（9分）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数交于点A、D．过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）直接写出关于x不等式：的解集为 　 　．




五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．






23．（12分）如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣4，0），C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDAF的面积最大？求出四边形CDAF的最大面积及此时E点的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P，使得∠OAP+∠OAC＝60°？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由．







广东省2023年中考数学一模试卷
解析卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）有四个数，其中最小的是（　　）
A．4 B． C．﹣3 D．0
【分析】根据有理数比较大小的方法求解即可．
【解答】解：，
故最小的数为，
故选：B．
2．（3分）据统计，龙之梦动物世界在2019年“五一”小长假期间共接待游客约238000人次．用科学记数法可将238000表示为（　　）
A．238×103 B．23.8×104 C．2.38×105 D．0.238×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：238000＝2.38×105
故选：C．
3．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．x3•x3＝x6 B．3x2÷2x＝x
C．（x2）3＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】分别根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则及完全平方公式进行计算．
【解答】解：A、由同底数幂的乘法法则可知x3•x3＝x6，故本选项正确；
B、由同底数幂的除法法则可知3x2÷2x＝x，故本选项错误；
C、由幂的乘方法则可知（x2）3＝x6，故本选项错误；
D、由完全平方公式可知（x+y）2＝x2+y2+2xy，故本选项错误．
故选：A．
4．（3分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据解答几何体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：这个几何体的左视图为，

故选：B．

5．（3分）观察如表，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的解的范围是（　　）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x﹣1.1
﹣0.99
﹣0.86
﹣0.71
﹣0.54
﹣0.35
﹣0.14
0.09
0.34
0.61
A．1.4＜x＜1.5 B．1.5＜x＜1.6 C．1.6＜x＜1.7 D．1.7＜x＜1.8
【分析】根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案．
【解答】解：∵x＝1.6时，x2﹣x﹣1.1＝﹣0.14，x＝1.7时，x2﹣x﹣1.1＝0.09，
∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的解的范围是1.6＜x＜1.7，
故选：C．
6．（3分）下列说法中，正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】利用正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不合题意；
C、对角线互相平分的四边形是菱形，故选项C符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么cos∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2，AB＝＝，求出△ABC的面积后即可求出h的值，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：设点C到AB的距离为h，
由勾股定理可知：AC＝＝2，AB＝＝，
由于S△ABC＝32﹣×2×2﹣×1×3﹣×1×3
＝9﹣2﹣3
＝4．
∴AB•h＝4，
∴h＝，
∴sin∠BAC＝＝，
∴cos∠BAC＝，
故选：A．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD的长度，根据弧长公式即可得出答案．
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB＝AB′．
∴∠AB′D＝30°，
∴α＝30°，
∵AC＝4，
∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，
∴，
∴的长度l＝＝π．
故选：B．

10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论中：（1）2a+b＝0，（2）a+b+c＜0，（3）3a﹣c＝0，（4）当a＝时，△ABD是等腰直角三角形，正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的特征、勾股定理及其逆定理分析解答即可．
【解答】解：其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1和3，则函数的对称轴为直线x＝1，
（1）∵，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故正确；
（2）由图象知，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故正确；
（3）当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，故错误；
（4）依题意，函数的表达式为：，
则点A、B、D的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（1，﹣2），
∴AB2＝16，AD2＝4+4＝8，BD2＝8，
∴AD＝BD，AB2＝AD2+BD2
故△ABD是等腰直角三角形符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）把抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是 　y＝（x+2）2+1　．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，顶点坐标为（0，1），则平移后顶点坐标为（﹣2，1），由抛物线的顶点式可求平移后的抛物线解析式．
【解答】解：∵y＝x2+1顶点坐标为（0，1），
∴向左平移2个单位后顶点坐标为（﹣2，1），
∴所得新抛物线的表达式为y＝（x+2）2+1．
故答案为：y＝（x+2）2+1．
12．（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　5　米．

【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知＝，即＝，
解得AM＝5m．则小明的影长为5米．

13．（3分）不透明的布袋中有红、黄、蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为 　　．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有9种等可能的结果，两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的结果有2种，
∴两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为，
故答案为：．
14．（3分）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝25°，则∠P＝　50　度．

【分析】首先利用切线长定理可得PA＝PB，再根据∠OBA＝∠BAC＝25°，得出∠ABP的度数，再根据三角形内角和求出．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，∠OBP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠BAC＝25°，
∴∠ABP＝90°﹣25°＝65°，
∵PA＝PB，
∴∠BAP＝∠ABP＝65°，
∴∠P＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故答案为：50．
15．（3分）如图，A是双曲线y＝（x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 　4　．

【分析】根据三角形的中线把三角形分成相等的两部分，得到S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，即可得到S△ABD＝S△OBD，由反比例函数系数k的几何意义即可求得结论．
【解答】解：∵点C是OA的中点，
∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，
∴S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB，
∴S△ABD＝S△OBD，
∵点B在双曲线y＝（x＞0）上，BD⊥y轴，
∴S△OBD＝＝4，
∴S△ABD＝4，
故答案为：4．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）（1）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2；
（2）计算：．
【分析】（1）直接开方即可求出方程的解；
（2）根据﹣12＝﹣1，，，，再根据实数的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）∵（2x+3）2＝（3x+2）2，
∴2x+3＝﹣3x﹣2或2x+3＝3x+2，
解得x1＝﹣1，x2＝1；
（2）原式＝
＝
＝．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1x2＝k2+1，再利用x1x2＝5得到k2+1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＞；
（2）根据题意得x1x2＝k2+1，
∵x1x2＝5，
∴k2+1＝5，
解得k1＝﹣2，k2＝2，
∵k＞，
∴k＝2．
18．（8分）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．

【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD＝90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝4，再由勾股定理得OD＝2，然后由矩形的在得CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵OE＝CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝＝2，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，
∴AE＝＝＝2，
即AE的长为2．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了 　40　名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 　72　度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 　560人　；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（名），C组人数为40﹣（4+16+12）＝8（名），
补全图形如下：

故答案为：40；
（2）C组所对应的扇形圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400×＝560（人），
故答案为：560人；
（4）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为＝．
20．（9分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【分析】（1）根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，
依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
21．（9分）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数交于点A、D．过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）直接写出关于x不等式：的解集为 　﹣2＜x＜0或x＞4　．

【分析】（1）先求出点B的坐标，再求出△OAB的面积，再利用S△OAB：S△ODE＝1：2得到S△ODE＝6，最后利用k的几何意义求出答案即可；
（2）先求出点A的坐标，再求出一次函数的表达式，再求出与x轴的交点C的坐标即可；
（3）先求出一次函数和反比例函数交点的坐标，再结合图象求出答案即可．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝kx+3得，y＝3，
∴B（0，3），
∵A（﹣2，n），
∴△OAB的面积＝，
∵S△OAB：S△ODE＝1：2，
∴S△ODE＝6，
∵DE⊥x，点D在反比例函数的图象上，
∴，
∴m＝±12，
∵m＜0，
∴m＝﹣12，
∴反比例函数关系式为：；
（2）把A（﹣2，n）代入得：，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）代入y＝kx+3得：6＝﹣2k+3，
∴，
∴一次函数关系式为：，
把y＝0代入中得：，
∴x＝2，
∴C（2，0）；
（3）∵一次函数和反比例函数相交，
∴；
∴x1＝4，x2＝﹣2，
∴y1＝﹣3，y2＝6，
∴一次函数和反比例函数的交点A（﹣2，6），D（4，﹣3），
由图可知时，﹣2＜x＜0或x＞4，
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．

【分析】（1）连接OF，证明OF⊥CD即可；
（2）证明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得结论；
（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．则HM＝HN，可得＝＝＝＝2设DB＝k，DF＝2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB•DA，可得AD＝4k，由GD平分∠ADF，同法可得＝＝，推出AG＝8，再利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵＝，
∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OF∥AC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFD＝∠AFB＝90°，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG＝；

（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM＝HN，
∵＝＝＝，
∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4，
∴FH＝FG＝4，
∴＝＝2，
设DB＝k，DF＝2k，
∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2＝DB•DA，
∴AD＝4k，
∵GD平分∠ADF，
∴∠FDH＝∠ADG，
∴△FDH∽△ADG，
∴＝＝，
∴AG＝8，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB＝＝＝6，
∴⊙O的直径为6．
解法二：由（2）可知sin∠FHG＝，
∴FH＝FG＝4，
∴FB＝FH+HB＝4+2＝6，＝2，
∵DG是∠FDA的角平分线，
可证＝＝2，
∵△DAF∽△DFB，
∴＝，
∴AF＝12，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB＝＝6．
解法三：可以作GP⊥AF交AD于点P，再证△DFG≌△DGP，△AGP∽△AFB可以求出AF的长，用勾股定理求出直径AB的长．

23．（12分）如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣4，0），C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDAF的面积最大？求出四边形CDAF的最大面积及此时E点的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P，使得∠OAP+∠OAC＝60°？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A、C点坐标分别代入抛物线解析式得，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；
（2）先求出抛物线的对称轴方程，从而得到D（ ，0），B（4，0），再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2，设E（x，）（﹣4≤x≤0），则F（x，），所以EF＝﹣x2+2x，利用三角形面积公式得到S△ACF＝﹣x2﹣4x，所以四边形CDBF的面积＝S△ACF+S△ACD＝，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得h，根据三角形的面积，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案；根据全等三角形的性质，可得P．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入抛物线表达式得，
解得，
抛物线表达式为；
（2）∵抛物线的对称轴为直线，

∴D（，0），B（1，0），
设直线AC的函数表达式为y＝kx+b，
将A、C点坐标代入得，
解得，
∴直线AC的函数表达式为，
设E（x，）（﹣4≤x≤0），则F（x，），
∴EF＝﹣（）＝，
∴S△ACF＝＝﹣x2﹣4x，
四边形CDAF的面积＝S△ACF+S△ACD＝﹣x2﹣4x+＝＝，
当x＝﹣2时，四边形CDAF的面积最大，最大值为，
此时E点坐标为（﹣2，﹣1）；
（3）P 点的坐标为（0，）或（0，），
①作PG⊥AC于点G，∠OAP+∠OAC＝60°，
设P（0，n），

∠PAG＝60°，PG＝PA，
PA＝，PG＝，
AC＝，
由△PAC的面积，得，即，
化简，得n2+64n﹣176＝0，
解得n1＝，n2＝（不符合题意，舍去），
∴P（0，），
②∵点P′与点P关于原点O对称，OP′＝OP＝，
∴P′（0，），
综上所述：P点的坐标为（0，）或（0，）．