2022-2023学年福建省福州第一中学高一上学期期末质量检测数学试题含解析

   2022--2023学年高一质量检测

高一数学（必修第一册）模块试卷

（考试时间：120分钟  满分：150分）

班级___________   座号__________   姓名__________

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小概给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析可得，由此可得出结论.

【详解】任取，则，其中，所以，，故，

因此，.

故选：C.

2. 已知角终边经过点，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，角终边经过点，可得，

又由，根据三角函数的定义，可得且，解得.

故选：C.

3. 若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：

满足g(f(x))＝1的x值是（     ）．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】从外到内逐步求值．

【详解】解：∵g(f(x))＝1，

∴f(x)＝2，

∴x＝1，

故选：A．

【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题．

4. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．

【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．

故选：D.

5. 已知，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出，利用差角公式求解答案.

【详解】因为，所以，所以；

.

故选：A.

6. 密位制是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4-78”，1周角等于6000密位，记作1周角.如果一个扇形的半径为2，面积为，则其圆心角可以用密位制表示为（    ）

A. 25-00 B. 35-00 C. 42-00 D. 70-00

【答案】B

【解析】

【分析】利用扇形面积公式先求出圆心角，再根据密位制的定义换算即可.

【详解】设扇形的圆心角为，则，则，

由题意可知，其密位大小为密位，用密位制表示为35-00.

故选：B.

7. 若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为的“稳定区间”，若区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】有题意可知，函数与在区间上同增或同减，先分和两种情况讨论，再在中根据同增和同减两种情况对函数进行分析讨论即可.

【详解】根据题意，，函数与在区间上的单调性相同.

当时，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；

当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增.

，则函数在上单调递减，在上单调递增.

①在上单调递增，则，解得.

②在上单调递减，则，不等式组无解.

综上所述：.

故选：B.

8. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（    ）

A. 117 B. 118 C. 122 D. 123

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解即可.

【详解】由解得，即是以4为周期的周期函数，所以，

因为为偶函数，所以，当时有，

又因为，所以，

所以，，

所以，

所以即，

故选：C

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 对于给定的实数a，不等式ax2 +（a-1）x-1 < 0的解集可能是（    ）

A. {} B. {x|x≠-1} C. {x|x< -1} D. R

【答案】B

【解析】

【分析】根据因式分解求解不等式并分类讨论即可得解.

【详解】①当时,

ax2 +（a-1）x-1 < 0可以转化为，

所以；

②当时,

ax2 +（a-1）x-1 < 0可以转化为，

所以；

③当时,

(i),解集为，

(ii),可以转化为，解集为 {x|x≠-1}

(iii),解集为，

综上所述，不等式ax2 +（a-1）x-1 < 0的解集可能是B.

故选：B.

10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 的图象关于点中心对称

B. 区间上单调递增

C. 的图象关于直线对称

D. 直线与图象的所有交点的横坐标之和为

【答案】BCD

【解析】

【分析】先根据图象求出函数的解析式，再结合选项及三角函数的性质进行判断即可.

【详解】由图可知，周期为，所以，又，故；

所以，

因为经过点，所以，即，

所以，即，

因为，，所以取，；

所以.

对于A，令，则，A不正确；

对于B，当时，，所以在区间上单调递增， B正确；

对于C，时，，所以的图象关于直线对称，C正确；

对于D，令，则，

因为，所以，

所以或或或，解得或或或，

所有交点的横坐标之和为，D正确.

故选：BCD.

11. 已知x，y是正数，且满足，则下列叙述正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；B选项，先计算出，结合对数函数的单调性得到答案；C选项，由得到，结合得到；D选项，计算出，结合正切函数在上的单调性得到答案.

【详解】A选项，因为x，y是正数，且满足，

则，

当且仅当，即时，等号成立，A正确；

B选项，，则，

当且仅当时，等号成立，故B错误；

C选项，因为，所以，

因为为正数，故，

则，C正确；

D选项，由得到，

当且仅当时，等号成立，

故，即，

因为，，所以，

因为在上单调递增，

故，D正确.

故选：ACD

12. 已知函数，则下列结论正确的有（    ）

A. 的一个周期是 B. 在上单调递增

C. 最大值为 D. 方程在上有7个解

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据的值即可判断A；写出函数在上的解析式，再根据余弦函数的单调性即可判断B；易得函数为偶函数及当时，函数是以为周期的周期函数，求出函数在的最大值即可判断C；求出当时，方程的根的个数，再根据函数的奇偶性即可判断D.

【详解】对于A，因，

所以不是函数的一个周期，故A错误；

对于B，当，，

由，可得，

所以在上单词递增，故B正确；

对于C，因为，所以函数为偶函数，

则当时，，

因为，

所以当时，函数是以为周期的周期函数，

则当时，

，

当时，，

则，则，

当时，，

则，则，

综上，

所以最大值为，故C正确；

对于D，当时，，

由，得，

所以或，

所以或，

又，所以或或，

当时，，

由，得，

所以或，

所以或，

又，所以，

综上可得当时，方程有3个解，

又函数为偶函数，所以当时，方程有3个解，

综上所述方程在上有7个解，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】本题考查了三角函数的周期性单调性及最值问题，考查了分类讨论思想

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 写出一个定义域不是R，但值域是R的奇函数f(x)=___.

【答案】tanx（答案不唯一，合理即可)

【解析】

【分析】根据所学函数合理构造选择即可.

【详解】由正切函数性质可知满足条件，即.

故答案为：(答案不唯一)

14. 已知为第四象限的角，，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

给两边平方先求出,然后利用完全平方公式求出,再利用公式可得结果.

【详解】∵，两边平方得：，∴，

∴，

∵为第四象限角，∴，，∴，

∴.

故答案为：

【点睛】此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.

15. 函数，若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为___________．

【答案】

【解析】

【分析】由命题“”是假命题，可得其否定为真命题，再分离参数，即可得解.

【详解】因为命题“”是假命题，

所以命题“”是真命题，

即在上恒成立，

因为当时，，

所以在上恒成立，

而，

所以，

所以实数a的取值范围为.

故答案为：.

16. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意，分别求出当时，零点分别为0个，1个，2个时，范围，再分别求出当时，零点分别为4个，5个，6个时，的范围，从而可得出答案.

【详解】因为函数在区间内恰有6个零点，且二次函数最多2个零点，

所以当时，函数至少有4个零点，则，

①当时，，

，

当，即时，无零点，

当，即时，有1个零点，

当时，，

函数的对称轴为，

则在对称轴的左边，

当，即时，有2个零点，

当，即时，有1个零点，

综上所述，当时，无零点，

当或时，有1个零点，

当时，有2个零点，

②当时，，

因为，所以，

当，即时，有4个零点，

当，即时，有5个零点，

当，即时，有6个零点，

由①②可得，要使函数在区间内恰有6个零点，

则或或，解得或，

所以a的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了根据零点的个数求参数的范围，考查了正切函数和二次函数的性质，考查了分类讨论思想，综合性较强，属于难题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合，集合，定义集合且

（1）若，求．

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简A、B，根据定义求即可；

（2）由得，列不等式组求解即可.

小问1详解】

，

.

由，则，故

【小问2详解】

由得，即有或，故.

故a的取值范围为.

18. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为．

（1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值．

【答案】（1），图象见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）由最低点的坐标得出，由周期求出，利用五点作图法得出，求出函数的解析式，进而画出图象；

（2）通过平移得出的解析式，利用函数为偶函数列方程求出的最小值．

【小问1详解】

由题意可得，，且周期，则，

又，解得，，，

【小问2详解】

，

函数是偶函数，则，解得

又，则当时，的最小值为．

19. 已知函数

（1）判断函数的单调性并用定义法加以证明

（2）求不等式的解集

【答案】（1）减函数;证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）用单调性的定义证明即可；

（2）结合奇偶性与单调性求解，注意函数定义域的作用.

【小问1详解】

为减函数.

证明如下: 的定义域为，

任取两个实数，且，

，

，

，

，

，

，

所以在上为单调减函数.

【小问2详解】

对，，

故函数为奇函数，

由可得，

由（1）知在上为单调减函数，

，

解可得，

故不等式的解集为.

20. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色，某摩天轮最高点距离地面的高度为110m，最低点距离地面10m，已知摩天轮共有40个座舱，开动后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱．

（1）当游客距离地面高度不低于85m时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？

（2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的的高度相等？

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出旋转角速度，得到距离地面的高度距离关于时间的函数关系式，解不等式求出，得到答案；

（2）设游客甲坐上座舱开始转动后，甲乙距离地面的高度分别为m和m，从而求出和关于时间的解析式，解方程，得到时二人距离地面的的高度相等.

【小问1详解】

以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设座舱距离地面最近的位置为点P，游客坐上座舱开始转动后距离地面的高度为，

当时，游客位于点，以为终边的角为，

因为摩天轮半径，旋转角速度为，

所以，，

当，即，，

解得：，解得：，

因为min，

故摩天轮旋转一周的过程中，有分钟可以看到游乐园全貌

【小问2详解】

设游客甲坐上座舱开始转动后，甲乙距离地面的高度分别为m和m，

，，

因为摩天轮共有40个座舱，故相邻两个座舱之间的圆心角为，

故，，

因为，所以，

因为，所以，解得：，

所以当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，时二人距离地面的的高度相等.

21. 已知函数，，且满足，恒成立．

（1）求解的零点以及的函数解析式．

（2）求函数在区间上最大值与最小值之差的取值范围．

【答案】（1）零点为或 ，；解析式为;   

（2）.

【解析】

【分析】（1）令得的零点，根据的图象可知的图象经过，求得的值；

（2）若的对称轴在区间内，当满足时最大值与最小值之差最小；若当的对称轴不在区间内，直接求的最大值即可.

【小问1详解】

令得，，

所以或 ，，

解得或 ，，

的图象恒过定点，

当时，令得或 ，

当时，；当时；当时，，

故的图象如图所示：

故依条件可知当且仅当函数的图象经过 时满足条件

此时最小正周期为，所以或，

当时，，故，

下面验证当时满足，此时，

当时，，，，故成立；

当时，，，，故成立；

当时，，，，故成立，

所以的函数解析式.

【小问2详解】

区间的长度为，函数的周期为，

若的对称轴在区间内，

不妨设对称轴在内，最大值为1，

当即时，函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为；其它的对称轴在内时结果同上.

若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：

，

故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为.

22. 设函数和的定义域分别为和，若对，都存在个不同的实数，使（其中，），则称为的“重覆盖函数”．

（1）试判断是否为的“4重覆盖函数”？并说明理由；

（2）已知函数为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）作出在上的图象，求出函数的值域为，结合图象，即可得出判断；

（2）求出的值域为.易知，时，显然对任意，有1个实根.然后根据在有且只有一个实根，结合二次函数的性质，即可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

因为，所以.

作出在上的图象如下图，

当时，为单调递增函数，则，

又为偶函数，所以函数的值域为.

由图象可知，当时，函数与在上的图象恒有4个交点，

根据定义可得，是的“4重覆盖函数”.

【小问2详解】

可得的定义域为，

即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中）.

因为，所以，所以，则，所以，

所以.

即，

即对任意，有2个实根.

当时，，则在上必有一个根，

故只需时，仅有1个根.

当时，，

因为，所以，即，根据一次函数的性质知，在仅有1个根，符合题意；

当时，.

因为，要使在仅有1个根，则需满足，解得；

当时，，图象为抛物线开口向下.

因为，要使在仅有1个根，则需满足，

解得，所以满足．

综上，实数a的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：小问2中，根据“重覆盖函数”的概念，对任意，存在2个不同的实数，使得（其中）.进而根据分段函数可推得，任意，在上仅有1个实根.