2022-2023学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．经过两点的直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出直线的斜率，然后求解倾斜角．

【详解】经过，两点的直线的斜率为：，

设直线的倾斜角为，有，由，所以．

故选：D．

2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B．

C． D．与斜交

【答案】B

【分析】判断与的位置关系，进而可得出结论.

【详解】由已知可得，则，因此，.

故选：B.

3．已知直线与直线垂直，则a＝（    ）

A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1

【答案】D

【分析】根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.

【详解】直线与直线垂直，

所以，解得或.

故选：D.

4．已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（    ）．

A．3 B．4

C．5 D．6

【答案】C

【分析】设，先表示的坐标，进而表示的坐标，再根据，求得，进而得到的坐标求解.

【详解】设，

则，

，

因为，

所以，即，

解得，

所以，

所以，

故选：C

5．在正方体中，是的中点，异面直线和所成角正弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线和所成角的正弦值．

【详解】在正方体中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为2，

则，，，，

，，

，

异面直线和所成角正弦值为.

故选：D

6．如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（    ）.

A．2 B．3 C． D．4

【答案】B

【分析】由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求．

【详解】解：，

，

，，

，，

．

，

，

故选：．

【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．已知点，且点在直线上，若使取得最小值，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求出关于直线的对称点，再求出直线，与直线求交点即可.

【详解】因为代入直线得到，

代入直线得到，

所以在直线的同侧.

设关于直线的对称点为，

则，解得，即

所以，，即.

所以，即.

故选：A

8．已知的三边所在的方程分别是，则的平分线所在的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先设为的平分线上任意一点，根据题意得到，即可得到答案.

【详解】设为的平分线上任意一点，则到直线的距离相等.

所以，

所以或，

即所在直线为或.

又因为，，

即的平分线所在的直线方程的斜率在和之间，

所以所在直线为.

故选：B

二、多选题

9．已知是非零的空间向量，则下列说法中错误的的是（    ）

A．

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ACD

【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】对于A，，，与未必共线，A错误；

对于B，若，则与方向相反，故，B正确；

对于C，由得：，即，不能推出，C错误；

对于D，由得：，但与方向未必相同，不能得到，D错误.

故选：ACD.

10．下列说法不正确的是（    ）

A．截距相等的直线都可以用方程表示

B．方程能表示平行于x轴的直线

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．经过两点，的直线方程为

【答案】ABC

【分析】当截距为零时不能用方程表示，A错误，方程不能表示平行于x轴的直线，B错误，倾斜角为时不成立，C错误，计算得到D正确，得到答案.

【详解】当截距为零时不能用方程表示，A错误；

方程不能表示平行于x轴的直线，B错误；

倾斜角为时不成立，C错误；

当直线斜率存在时，直线方程为，即，验证斜率不存在时也成立，故D正确.

故选：ABC.

11．点到直线的距离可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】求出直线的必过点，利用两点间距离公式求出的最大值，进而得到的范围.

【详解】对于直线，令，解得，故直线的必过点为，设点到直线的距离为，则，所以，，而，所以，ABC正确，D错误.

故选：ABC

12．下列说法正确的是（    ）

A．已知是两个不共线的向量，若则共面；

B．若向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底；

C．若，则与向量共线的一个单位向量为；

D．在三棱锥中，若侧棱两两垂直，则是钝角三角形．

【答案】ABC

【分析】利用空间向量共面的意义判断A；利用空间向量基底的定义判断B；利用共线向量与单位向量的定义判断C；利用线面垂直的判断、性质推理判断D作答.

【详解】不共线，由知，，

则有共面，A正确；

因空间任意两个向量共面，而，因此空间任何向量与共面，即与任何向量都不能构成空间的一个基底，B正确；

因，则，与共线的单位向量为或，C正确；

在三棱锥中，过O作于点D，连AD，如图，

因，则点D在斜边BC上（除端点B，C外），又，

平面，则平面，而平面，

于是得，平面，因此平面，平面，

从而得，则有都是锐角，同理可证是锐角，

所以是锐角三角形，D不正确.

故选：ABC

三、填空题

13．已知向量，则__________．

【答案】21

【分析】根据空间向量坐标运算求解即可.

【详解】因为，则.

故答案为：21

14．在平面直角坐标系中，已知直线和直线，，若与平行，则与之间的距离为_________.

【答案】

【解析】利用两直线平行求出参数的值，然后利用平行线间的距离公式可求得直线与之间的距离.

【详解】由于直线与平行，则，解得，

所以，直线的方程为，直线的方程为，

因此，直线与之间的距离为.

故答案为：.

15．直线经过点且两点到该直线的距离相等，则直线的方程为__________．

【答案】或

【分析】由题意可得过点的直线的斜率存在，设直线方程为，再由两点到该直线的距离相等，列方程可求出，从而可求出直线方程.

【详解】由题意可得过点的直线的斜率存在，设直线方程为，

因为两点到该直线的距离相等，

所以

，化简得，

解得或，

所以直线方程为或，

故答案为：或.

16．已知棱长为1的正方体为的中点，点为四边形及其内部任意一点，若，则三棱锥体积的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据给定的正方体，建立空间直角坐标系，求出点N的坐标满足的关系式，结合锥体体积计算作答.

【详解】在棱长为1的正方体中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，设点，

于是得，因，

则，因此有，点N到平面的距离，

三棱锥体积，

所以三棱锥体积的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且.

(1)求直线和直线的交点坐标；

(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）首先根据题意得到直线，再联立方程组求解即可.

（2）分类讨论直线过原点时和当直线不过原点时求解即可.

【详解】(1)因为直线的方程为，所以，

因为，所以，

又直线在轴上的截距为，所以过，

即直线，即：直线.

联立，即交点为

(2)当直线过原点时，设直线，

因为直线过，所以，即，直线.

当直线不过原点时，设直线在轴截距为.

直线，因为直线过，所以，解得，

综上或.

18．已知空间三点，，

（1）求以为边的平行四边形的面积;

（2）若向量分别与垂直，且||=，求的坐标.

【答案】（1）；（2）或

【详解】(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),

∴||=,||=,cos∠BAC==,∴∠BAC=60°,

∴S=||·||sin∠BAC=7.

(2)设向量=(x,y,z),则由·=0, ·=0,| |=,得

∴或

∴=(1,1,1)或(-1,-1,-1).

【点睛】本题主要考查向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示以及向量夹交余弦公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行;（2）两向量垂直.

19．如图在四棱锥中，平面为的中点，底面是边长为2的正方形，且平面与平面夹角的余弦值为．

(1)求棱的长；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，由平面与平面夹角的余弦值为，利用平面法向量求解.

（2）已知平面法向量，用点到平面距离公式求解.

【详解】(1)依题意，两两互相垂直，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，

由题意得，所以．

设平面的法向量为，则，

令，则，得

因为平面，所以平面的一个法向量为，

依题意，有，可得，所以棱的长为2．

(2)由（1）得，平面的一个法向量为．

又，所以，所以点到平面的距离为

20．在平行六面体中，，，点为与的交点，点在线段上，且.

（1）求的长；

（2）设，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1），利用数量积的运算性质即可得解；

（2），再利用空间向量基本定理即可得出答案.

【详解】接：（1） 因为，

，

，即；

（2）

.

21．在平行四边形中，，沿将折起，使二面角的大小为，设点在平面上的射影为点．

(1)当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？

(2)当时，求的大小．

【答案】(1)当时，三棱锥的体积最大，最大为；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，确定二面角的平面角，用的函数表示出体积即可求解作答.

（2）在平面内过点O作，以O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量及已知求解作答.

【详解】(1)因点在平面上的射影为点，则平面，而平面，有，

中，，有，平面，则平面，

平面，即有，因此是二面角的平面角，，

显然有，

，当且仅当，即时取等号,

所以当时，三棱锥的体积最大，最大为．

(2)由（1）知，，在平面内过点O作，交AB于E，

以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，

显然为矩形，，

，由，得，即，解得，

所以的大小为.

22．如图，三棱柱所有的棱长为，．

(1)求证：平面平面

(2)在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在；

【分析】（1）取的中点，连接，依题意可得、，即可证明平面，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，令，利用空间向量法得到方程，解得即可.

【详解】(1)证明：取的中点，连接，

因为，，是的中点，

，，

又，，

，

，，平面，

平面，

又平面，

平面平面.

(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

由（1）知平面的法向量为，

，

令

则，

设直线与平面所成角为，则，

解得或（舍），

所以当时，满足厦意，此时．