2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第一次质量检测数学（文）试题含解析

2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第一次质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集 ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为  

A． B．或 C． D．

【答案】D

【详解】 ,所以阴影部分所表示的集合为 ,选D.

2．对于空间任意两个非零向量，，“”是“为钝角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分和必要条件的定义法，结合向量的数量积公式，进行推导即可得解.

【详解】根据向量的夹角范围，若，可以为钝角也可能为角，

故推不出为钝角，

若为钝角，则利用向量数量积公式可得，

故为钝角能推出，

所以“”是“为钝角”的必要不充分条件.

故选：B

3．下列函数f(x)中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是（    ）

A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|

C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)

【答案】C

【分析】由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以逐个分析判断即可

【详解】由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，D选项中，f(x)为增函数；

B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，

对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，

因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数.

故选：C

【点睛】此题考查函数的单调性的判断，解题的关键是掌握基本函数的单调性，属于基础题

4．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ）

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减

【答案】A

【分析】利用函数的平移变换，作出图象，根据图象确定单调区间即可.

【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到

,

作出图象如下：

由图象可知，函数在上单调递增，故A正确；

上单调递增，故B错误；

在区间上单调递减，故C错误；

在区间上先减后增，故D错误.

故选:A.

5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（    ）

A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里

【答案】B

【分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.

【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，

由题意和等比数列的求和公式可得，解得，

第此人第二天走里.

故选：B．

6．如图，在四面体ABCD中，已知那么D在面ABC内的射影H必在

A．直线AB上 B．直线BC上

C．直线AC上 D．内部

【答案】A

【详解】由可得，即平面内的射影必在平面与平面的交线上，故选A

7．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先判断出命题的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假.

【详解】解：命题，使成立，故命题为真命题；

当，时，成立，但不成立，故命题为假命题；

故命题，，均为假命题，命题为真命题．

故选：B．

8．已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

【答案】B

【解析】对于①；②都是奇函数，而椭圆图像关于原点成中心对称，①②满足要求；对于③是偶函数，图像关于轴对称，若要满足条件，当时函数的图像要把椭圆在轴右侧部分平分，分析其图像不满足要求，即可得出结论.

【详解】∵①为奇函数，作出其图象，

由图可知能等分该椭圆面积；

同理，②为奇函数，能等分该椭圆面积；

③为偶函数，其图象关于轴对称，

在轴右侧时，，

时，故不能等分该椭圆面积.

故选：B

【点睛】关键点点睛：根据椭圆的对称性，函数图象的对称性，结合数形结合的思想，判定能否平分椭圆的面积，考查了函数的奇偶性，属于中档题.

9．定义：（）为个正数，，…，的“均倒数”.若数列的前项的“均倒数”为，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用与的关系即可解决.

【详解】因为，

所以，

所以，

即，

当时

，

又因为，满足上式，

所以.

故选：C.

10．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，

∠=，则C的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，

        故离心率e＝选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

11．若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为

A．-3 B．1 C． D．3

【答案】B

【详解】如图，

，

由于不等式组,表示的平面区域为，且其面积等于，

再注意到直线与直线互相垂直，所以是直角三角形，

易知，,;从而=，

化简得：，解得,或，检验知当时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以;故选B.

【解析】线性规划与三角形的面积.

12．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可

详解：直线分别与轴，轴交于，两点

,则

点P在圆上

圆心为（2，0），则圆心到直线距离

故点P到直线的距离的范围为

则

故答案选A.

点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．

13．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得： ，设A、B ，则所求三角形的面积为= ，故选D.

【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.

14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

【答案】D

【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.

【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.

二、填空题

15．已知，，则的最小值为______．

【答案】3

【分析】由得到，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.

【详解】解：因为，

由得，

则，即；

所以，

；

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为：3．

故答案为：3

16．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽     米.

【答案】2米

【详解】

如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，

将A（2，-2）代入，

得m=-2，

∴，代入B得，

故水面宽为米，故答案为米．

【解析】抛物线的应用

17．如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_____

【答案】

【详解】设球半径为，则．故答案为．

点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

18．数列满足，则数列的第2022项为___________.

【答案】##0.2

【分析】根据递推关系可通过计算前面，发现数列是周期为4的周期数列，进而由周期性即可求解.

【详解】由，得，

，，，，，

故数列是周期为4的周期数列，故，

故答案为：

19．已知，，则______．

【答案】5.

【解析】直接利用两角和与差的正弦函数，展开已知表达式，求出，；然后得到结果.

【详解】∵，∴．①

∵，∴．②

①+②，得．③

①-②，得．④

③÷④,得．

故答案为：5

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．属于基础题.

20．在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即

故答案为：

三、解答题

21．已知在中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求的值；

（2）若，求面积的最大值.

【答案】(1);(2) .

【详解】分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得．（2）由经三角变换可得，然后运用余弦定理可得，从而得到，故得．

详解：(1)由题意及正、余弦定理得，

整理得，

∴

（2）由题意得，

∴，

∵，

∴，

∴.           

由余弦定理得，

∴，

 ，当且仅当时等号成立．

∴．

∴面积的最大值为．

点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．

（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．

22．已知数列的前项和为，，常数，且对一切正整数都成立.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，，当为何值时，数列的前项和最大？

【答案】(1)；

(2)6.

【分析】（1）利用与的关系求通项公式；

（2）利用单调递减的等差数列正数项和最大即可求解.

【详解】（1）取，得，，，则，

当时，，，

上述两个式子相减得：，所以数列是等比数列,

当，则.

（2）当，且时，令，所以，

所以，单调递减的等差数列（公差为）

则

当时，

故数列的前6项的和最大.

23．已知过点且斜率为k的直线与圆：交于M，N两点.

(1)求k的取值范围；

(2)，其中O为坐标原点，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求过点与圆的切线斜率，由题意，可得答案；

（2）将直线方程与圆的方程联立，整理一元二次方程，写出韦达定理，利用数量积的值，建立方程，解得斜率，可得答案.

【详解】（1）根据题意设方程为，即.

∵圆的半径，

∴圆心到切线的距离为，解得.

即k的取值范围为.

（2）将直线的方程代入圆的方程，得.

设，，则

，.

∴.

∴，解得或（舍去）.

∴直线的方程为.

故圆心在直线上，∴.

24．如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，．

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知的面积为，求a，b的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）直接利用，求椭圆的离心率；

（2）设，则，利用余弦定理以及已知的面积为，直接求， 的值．

【详解】解：（1）

；

（2）设；则，在中，                 ，

面积

．

【点睛】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．