2022-2023学年浙江省杭州市西湖高级中学高一下学期3月月考试题数学试卷含答案

  杭州市西湖高级中学2023年3月学业水平测试高一数学试卷

命题人:曾辉审核人：陈燕

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至4页．满分120分，考试时间120分钟.

考生注意：

1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.

选择题部分（共44分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则；④若，则．其中，正确的命题个数为（）

A．0              B．1             C．2                 D．3

2．如图，向量，，，则向量可以表示为（）

A.  B.

C.  D.

3．已知，，，则（　　）

A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线

C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线

4．将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ）

A． B． C． D．

5. 在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（    ）

A．30° B．45°

C．135° D．45°或135°

6. 设的内角A，，所对的边分别为，，，若，则等于（）

A.  B.

C.  D.

7. 在中，角的对边分别是向量向量，且满足则角（    ）

A． B． C． D．

8．已知在中，，，点沿运动，则的最小值是（    ）

A． B． C．1 D．3

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知a，b∈R ，且a >b ，则下列结论中正确的有（）

A. 3a> 3b B. a3 >b3 C. a2>b2  D.

10．下列在解三角形过程中，只能有1个解的是（）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

11．已知向量，，则（）

A. B. 向量在向量上的投影向量为

C. 与的夹角余弦值为D. 若，则

12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有△满足，且，请判断下列命题正确的是（）

A. △周长为 B.

C. △的外接圆半径为 D. △中线的长为

非选择题部分（共76分）

二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.

13．已知向量, 则_________.

14．已知，，，，则的值为______.

15.已知为单位向量，且，若，则_________.

16.△ABC的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的最大值为_________.

三、解答题:本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（8分）如图，在平行四边形中， ，， ，， 分别为， 上的点，且， ．

（1）若，求x，y的值；

（2）求的值；

18．（10分）已知，，．

（1）求的值；

（2）求|

19．（10分）已知在中，，分别是角所对的边.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

20.（10分）已知函数．

（1）求的最小正周期及单调递增区间；

（2）求在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值．

21.（10分）某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益．通过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产x台该设备另需投入成本C（x）元，且C（x），若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完．

（1）求厂商由该设备所获的月利润L（x）关于月产量x台的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）

（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润．

22.（12分）已知函数，

恒成立，求实数a的取值范围；

当时，求不等式的解集；

若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围．

杭州市西湖高级中学2023年3月学业水平测试高一数学答案

一．   单选题

二．   多选题

三．   填空题

13. 5

14．

15.

16.

四．解答题

17．如图，在平行四边形中， ，， ，， 分别为， 上的点，且， ．

（1）若，求x，y的值；

（2）求的值；

【答案】（1）；（2）；

【解析】（1）

（2）=

18. 已知，，．

（1）求的值；

（2）若在方向上的投影向量为，求的值．

19．已知在中，，分别是角所对的边.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为且，

∴

∴

（2）由，得，

由，所以，

则，

由正弦定理，得，

∴的面积为.

20已知函数．

(1)求的最小正周期及单调递增区间；

(2)求在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值．

【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间是，

(2)的最小值为，此时；的最大值为2，此时．

【详解】（1）因为，

所以的最小正周期，

令，，

得，，

所以的单调递增区间是，．

（2）由（1）知，因为，

所以，所以，，

所以当，即时，取得最小值；

当，即时，取得最大值2．

21.某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益．通过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产x台该设备另需投入成本C（x）元，且C（x），若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完．

（1）求厂商由该设备所获的月利润L（x）关于月产量x台的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）

（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润．

【解答】解：（Ⅰ）当0＜x≤30时，L（x）＝1000x﹣10x2﹣400x﹣5000＝﹣10x2+600x﹣5000；当x＞30时，L（x）＝1000x﹣1004x9000﹣5000＝4000﹣（4x），所以L（x）；

（Ⅱ）当0＜x≤30时，L（x）＝﹣10x2+600x﹣5000＝﹣10（x﹣30）2+4000，

所以当x＝30时，L（x）取得最大值4000；

当x＞30时，L（x）＝4000﹣（4x）≤40003600．

当且仅当，即x＝50时取等号，

综上所述，当月产量为30台时，制造商由该设备所获得的月利润最大为4000元．

22.已知函数，

恒成立，求实数a的取值范围；

当时，求不等式的解集；

若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围．

【答案】解：，
即，
当时成立
当时，则解得，
综上，a的取值范围为．
由题意，，即，         

因为，所以解方程得，

当时，即当时，解不等式，
得或，

此时不等式的解集为或；

当时，即时，解不等式，得，

此时不等式的解集为R；         
当时，即当时，解不等式，得或，

此时不等式的解集为或；   

综上，当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为R；

当时，不等式的解集为或

当时，令， 
当且仅当时取等号，                             

则关于x的方程可化为，

关于x的方程有四个不等实根，                      

即有两个不同正根，                                 

则，                                   

由知：存在使不等式成立，
故，

即，解得或，

由式可得，  

故实数a的取值范围是  

【解析】本题考查 二次不等式的求解、不等式的恒成立问题及二次方程根的分布问题，同时考查基本不等式的应用．
由题意得恒成立，分和两种情况求解即可；
分类讨论与1的大小，然后由二次不等式的解法求解即可
令，将问题转化为有两个不同正根，然后得a与t的不等式组求解即可．