2022-2023学年重庆市巴蜀中学高二下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年重庆市巴蜀中学高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据排列数公式即可得答案.

【详解】根据排列数公式可得，

故选：C

2．的展开式的第3项的系数为（    ）

A．－40 B．40 C．－80 D．80

【答案】B

【分析】根据二项展开式的通项即可求解.

【详解】由二项式展开式的通项得：，

所以第3项的系数为40.

故选：B．

3．以“课程涵养人生，教育向美而行”为主题的第4届课程博览会开幕了，4名同学从餐桌上的科学､重庆古迹遗址寻踪､高中生职业生涯规划三门选修课程中选择一门课程学习，每人限选其中的一门课程，有（    ）种不同的选法.

A．9 B．24 C．64 D．81

【答案】D

【分析】根据题意可知每一个同学都有3种选择，利用分步乘法计数原理即可求得结果.

【详解】因为每人限报一门课程，所以每人有3种选择，

按照分步计数原理可得，共有种.

故选：D

4．已知为递减等比数列，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意求得公比和首项，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案.

【详解】设递减等比数列的公比为，因为，故，

由，可得，结合，故，

则公比，故，

故，

故选：A

5．央视评价重庆是“最宠游客的城市.”现有甲､乙两位游客慕名来到重庆旅游，准备从洪崖洞､磁器口､长江三峡､大足石刻和天生三桥五个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件A为“甲和乙至少一人选择洪崖洞”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件概率的计算公式即可求得答案.

【详解】由题意知事件A：“甲和乙至少一人选择洪崖洞”包含种情况，

事件：“甲和乙选择的景点不同，且恰有一人选择洪崖洞”包含种，

所以，

故选：C

6．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行.现要安排甲､乙等6名志愿者去四个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲､乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（    ）

A．120 B．240 C．360 D．480

【答案】B

【分析】先确定6人分为4组的分组方法，再将四个组全排列，分到四个足球场，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.

【详解】由题意可知这6人去四个足球场服务，

情况为：有3人一组包含甲､乙，其余人各一组，分到四个足球场，

或者是甲、乙两人一组，另有2人一组，其余两人各一组，分到四个足球场，

故将6人按分成四组，且甲､乙在同一组的分组方法有种，

将6人按分成四组，且甲､乙在同一组的分组方法有种，

则甲､乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为，

故选：B

7．已知为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且的延长线与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可知，利用椭圆定义以及勾股定理可解得，在中利用勾股定理可知，即可得.

【详解】如图所示：

由题意可知，又，

设，则，

由椭圆定义可得，

，又，解得；

所以，

在中，由勾股定理有，

即，即

即离心率.

故选：D

8．不等式对任意都成立，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．-1

【答案】A

【分析】由不等式对任意都成立可知，将实数分离开来，构造函数利用函数单调性求出的最小值即可求得结果.

【详解】由不等式，可得，

设，即使得的最小值满足条件即可，

又，

令，则，

当时，，即函数在上单调递减，

当时，，即函数在上单调递增，

所以，即恒成立.

因此当时，；

当时，，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，即实数的最大值为.

故选：.

二、多选题

9．已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ）

A．是递增数列 B．数列中的最小项为

C．数列是等差数列 D．成等差数列

【答案】AC

【分析】利用等差数列的定义与性质可判断A；利用等差数列的前项和公式，结合二次函数的性质可判断B；利用等差数列的定义可判断C；计算可判断D.

【详解】是公差为2的等差数列，，所以是递增数列，故A正确；

时，最小，故B错误；

，，是等差数列，故C正确；

，故D错误.

故选：AC．

10．袋中有6个大小相同的小球，4个红球，2个黑球，则（    ）

A．从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为；

B．从袋中随机一次摸出2个球，则2个球都是黑球的概率为；

C．从袋中随机一次摸出2个球，则2个球是1红1黑的概率为；

D．从袋中随机依次一个一个不放回的取球，则前两次都是黑球的概率为

【答案】BCD

【分析】根据古典概型的概率公式，一一计算每个选项的概率，可得答案.

【详解】对于A：概率为，A错误；

对于B：概率为，B正确；

对于C：概率为，C正确；

对于D：概率为，D正确,

故选：BCD

11．已知函数且，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，函数在处的切线方程是；

B．当时，恒成立；

C．当有1个零点时，的取值范围为；

D．当时，有2个零点.

【答案】ABD

【分析】由导数的几何意义求解可判断A；利用导数求出的最小值可判断B；由得，构造函数，零点个数问题转化为直线与图象交点个数问题，结合的性质作出大致图象，由图求解可判断C，D.

【详解】对于A：当时，，

又，所以在处的切线方程是，故A正确；

对于B：，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

，故B正确；

对于C，D：，

零点个数问题转化为直线与图象交点个数问题，

设，则，

令，当时，；当时，，

在单调递增，在单调递减，，

；当时，；当时，，

的大致图象如下：

当或或时，有1个零点，故错误；

当时，有2个零点，故正确.

故选：ABD.

12．已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为.若双曲线的离心率，则下列说法正确的是（    ）

A．以为直径的圆与直线相切

B．

C．在直线上

D．的范围是

【答案】ABC

【分析】对于C，结合三角形内球圆以及圆的切线性质推得，，即可判断；对于A，结合梯形的几何性质推出到距离为，进行判断；对于B，利用直角三角形相似，推出，结合离心率，可得的关系，化简即可判断；对于D，设直线方程为，联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合题意求得m的范围，设直线的倾斜角为，推出，结合函数的单调性，求得其范围，即可判断.

【详解】设，其中,

设.

对于C，过分别作的垂线，垂足分别为，

由切线长定理有，

则，

又因为，所以，

又，所以，同理可得，则在直线上，故C正确；

对于A，过作的垂线，垂足为，因为，则，

设的中点分别为，则，且，

所以，到距离为，

则以为直径的圆与直线相切，故正确.

对于B，由过圆外一点的切线性质知平分平分，则，

在中，.

则∽,则，可得，

，故B正确；

对于D，设直线方程为，

将其与双曲线联立有：，消去得：，

则，

,

又两点在双曲线右支，

则,

设，又由对称性设直线的倾斜角为，其中,

则，

又当时，，则，

则结合，可得，所以，得，

则，，

所以，

又在上单调递增，

则，故D错误,

【点睛】难点点睛：本题综合考查双曲线和直线的位置关系问题，涉及到三角形内切圆，双曲线离心率以及求参数范围，综合性强，难点在于D项的判断，要结合图形的几何性质以及双曲线的相关性质求出，结合函数的单调性，求得其范围.

三、填空题

13．已知函数为的导函数，则__________.

【答案】

【分析】根据复合函数的求导法则，求出函数的导数，代入，即得答案.

【详解】，

故答案为：1

14．的展开式各项系数的和是，则__________.

【答案】

【分析】采用赋值法，令，根据展开式各项系数的和即可求得答案.

【详解】由题意令，则的展开式各项系数的和是，

故答案为：

15．六名同学站成一排照相，其中甲､乙相邻，丙与甲乙都不相邻，则不同站法的种数是__________（结果用数字表示）

【答案】144

【分析】根据题意可知利用捆绑法将甲､乙看成整体，再利用插空法使丙与甲乙都不相邻，按照分步乘法计数原理即可求得结果.

【详解】由题可知，将问题分成三步：

第一步：将甲乙看作一个整体，内部排列有种，

第二步：将除甲乙丙之外的其余三人全排列有种，

第三步：丙与甲乙的整体去插空，共有种，

所以共有种不同的站法.

故答案为：144

16．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴的交点为，则__________.

【答案】##

【分析】设，结合抛物线方程推出，结合抛物线定义得，求出的垂直平分线方程，继而求出点坐标，即可求得，即得答案.

【详解】由题意可知，，直线的斜率一定存在，否则的垂直平分线为x轴，不合题意，

故设，两点不关于x轴对称，则，，

则，两式相减可得，

即，而，

则的垂直平分线方程为，

令，可得，则点M坐标为，

则，

故，

故答案为：

四、解答题

17．设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.

(1)求的单调区间；

(2)若在闭区间上的最大值为10，求的值.

【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是

(2)4

【分析】（1）求导后，根据求出，再利用导数可求出单调区间；

（2）根据（1）中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果.

【详解】（1），由已知得，

得，解得．

于是，

由，得或，由，得，

可知是函数的极大值点，符合题意，

所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（2）由（1）知，

因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，

又，

所以的最大值为，解得.

18．等差数列的前项和为，其中成等比数列，且数列为非常数数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和记为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意列出方程，求得公差和首项，即可得答案.

（2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法即可求得答案.

【详解】（1）设等差数列的公差为，因为成等比数列，

所以，即，

又，解得或（舍去），

所以.

（2）由（1）可得，

.

19．如图，在圆柱中，是圆柱的一条母线，是底面圆的内接四边形，是圆的直径，为上一点.

(1)求证：；

(2)若是的中点，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明平面，根据线面垂直的性质即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法即可求得答案.

【详解】（1）证明：因为是圆柱的一条母线，故平面，

因为平面，所以，

因为是圆的直径，所以，

又平面，所以平面，

因为平面，所以.

（2）因为底面，

以点为原点，分别为轴､轴､轴正方向，

建立如下图所示空间直角坐标系，

连接,因为，所以.

因为，所以，

所以是等边三角形，所以，

是圆的直径，则，，

则，

因为是的中点，则，

底面平面，故,又，

平面，

所以底面，所以平面的一个法向量可取为，

设平面的法向量为，

则，取，可得，

因为，

由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为

20．袋中装有4个大小相同的小球，编号为，现从袋中有放回地取球2次.

(1)求2次都取得3号球的概率；

(2)记这两次取得球的号码的最大值为，求的分布列.

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求得答案；

（2）确定X的取值，求出每个值对应的概率，即可求得分布列.

【详解】（1）由题意从袋中有放回地取球2次，每次取到3号球概率为，

故2次都取得3号球的概率.

（2）随机变量的取值为，则，

，

，

所以的分布列为：

21．如图所示，已知分别为双曲线的左､右顶点，为直线上的动点，若直线与的另一交点为，直线与的另一交点为点.

(1)设直线的斜率分别是，求证：为定值；

(2)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析，定点.

【分析】（1）设，代入双曲线方程结合化简，可得结论；

（2）设，结合（1）的结论可推出，继而设直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，代入中化简可得的关系，即可证明结论，求得定点坐标.

【详解】（1）证明：由题意知，设，

则，

为定值.

（2）证明：设，则，由（1）得：，

又，所以

由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线，

联立，整理得，

需满足，

则，

则，

即，

将代入上式，

化简得：或，

当时，此时直线为，经过的定点与点重合，不合题意，舍去；

当时，此时直线为，所以直线过定点，

故直线过定点.

【点睛】关键点睛：第二问为直线和双曲线的位置关系中的直线过定点问题，解答的思路不难分析得出，即利用联立直线方程可得根与系数的关系式，然后化简，但关键在于要结合（1）的结论推出，才可以将根与系数的关系式代入化简，证明结论.

22．已知函数.

(1)若，

（i）求的极值.

（ii）设，证明：.

(2)证明：当时，有唯一的极小值点，且.

【答案】(1)（i）的极小值为无极大值；（ii）证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）（i）求导，结合函数的单调性求得极值；（ii）由题分析得，设，结合的单调性可得，进而得即，利用单调性即可证得结论；

（2）利用导数可得在单调递增，，则使，从而当，，可证得当时，有唯一的极小值点，且；由得，从而得，令，利用单调性可证得.

【详解】（1）（i）若，则，

由，得.

当时，；当时，.

的单调递减区间为，单调递增区间为.

故的极小值为无极大值.

（ii）由（i）可知，的极值点为在上单调递减，在上单调递增，当时，，又，

不妨设，则若，则，

设，则.

设，则为增函数，则.

，则在上为增函数，，

即.

，又在上单调递减，

，即.

（2），记，，

记，当时，，

当在单调递减，

当在单调递增，

，

在单调递增，即在单调递增，

，

使，

当在单调递减，

当在单调递增，

所以当时，有唯一的极小值点，且

令，

在单调递减，

即.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．