2023年湖北省十堰市房县中考数学一诊试卷（含解析）

2023年湖北省十堰市房县中考数学一诊试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数：，，，，其中比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是(    )

A. 垂线段最短 B. 线段有两个端点 C. 两点之间线段最短 D. 两点确定一条直线

5.  一组数据：，，，，若添加一个数据，则不发生变化的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

6.  九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为，则可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，为了测得电视塔的高度，在处用高为米的测角仪，测得电视塔顶端的仰角为，再向电视塔方向前进米到达处，又测得电视塔顶端的仰角为，则这个电视塔的高度单位：米为．(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点是矩形的边上一点，把沿对折，点的对称点恰好落在上，已知折痕，且，那么该矩形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，的半径弦于点，连结并延长交于点连结，若，，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四边形是矩形，是正方形，点、在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点、在反比例函数的图象上，，，则正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  国家统计局月日发布年国民经济和社会发展统计公报数据显示，年，中国经济保持增长，发展质量稳步提升从总量上看，年全年国内生产总值万亿元，将数字“万亿”用科学记数法表示出来是        ．

12.  不等式组的解集为______ ．

13.  一张小凳子的结构如图所示，，，则       

14.  如图，每张小纸带的长为，用胶水把它们粘贴成一张长纸带，接头粘贴重叠部分的长为则用张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为        ．
 

15.  如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点，若的半径为，，则阴影部分的面积为______．

16.  阅读理解：在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”设小正方形的边长均为，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”如图所示的的正方形网格：
，，
图中格点多边形的面积是．
问题解决：已知一个格点多边形的面积为，且边界上的点数是内部点数的倍，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
化简：．

19.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；
若方程两个根均为正整数，求负整数的值．

20.  本小题分
目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：实时关注、关注较多、关注较少、不关注四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
本次抽样问卷调查的人数是______；
图中类职工所对应扇形的圆心角度数是______，并把图条形统计图补充完整；
若该单位共有职工人，估计对新冠疫苗接种工作不关注的人数为______；
若类职工中有名女士和名男士，现从中任意抽取人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．

21.  本小题分
如图，中，是斜边上的中线，过点作，过点作，与，分别交于点、点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，求的值．

22.  本小题分
如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点．
求证：是半圆的切线；
若，，求的长．

23.  本小题分
某种农产品在某月按天计的第天为正整数的销售价格元千克关于的函数关系式为，销售量千克与之间的关系如图所示．
求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？销售额销售量销售价格
为了保证每日的销售额超过元，请直接写出的取值范围．

24.  本小题分
如图，和均为等边三角形，连接，．

直接写出与的数量关系为        ；直线与所夹锐角为        度；
将绕点逆时针旋转至如图，取，的中点，，连接，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由；
若，，当图形旋转至，，三点在一条直线上时，请画出图形，并直接写出的值为        ．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．
求抛物线的解析式；
连接，点是直线上不与、重合的点，若，请求出点的坐标；
在轴上有一动点，平面内是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
先化简绝对值，再把每个数和比较得结论．
本题考查了实数的大小比较，掌握实数比较大小的方法是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．
故选：．
结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够正确的确定各个图形的位置，难度不大．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B符合题意；
，
故C不符合题意；
与不能合并同类项，
故D不符合题意，
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算法则分别计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：经过两点有且只有一条直线，
经过木板上的、两个点，只能弹出一条笔直的墨线．
故选：．
根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论．
本题考查了直线的性质，牢记“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原来数据的平均数是，添加数字后平均数为，故不符合题意；
B、原来数据的中位数是，添加数字后中位数仍为，故符合题意；
C、原来数据的众数是，添加数字后众数为和，故不符合题意；
D、原来数据的方差，
添加数字后的方差，故方差发生了变化，故不符合题意；
故选：．
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设合伙人数为，则可列方程：
．
故选：．
根据购买羊的总钱数不变得出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，

在中，
，
，
在中，
，
，
，
解得：．
则米．
故选C．
设，分别在和中，表示出和的长度，然后根据，求出的值，继而可求出电视塔的高度．
本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．

8.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，，
沿对折，点的对称点恰好落在上，
，，
，
，
，
，
设、，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
整理得，，
解得，
，，
矩形的周长．
故选：．
根据矩形的性质可得，，，再根据翻折变换的性质可得，，然后根据同角的余角相等求出，然后根据，设、，利用勾股定理列式求出，再求出，根据表示出并求出，最后在中，利用勾股定理列式求出，即可得解．
本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，锐角三角函数，勾股定理的应用，根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是解题的关键，也是本题的难点．
 

9.【答案】 

【解析】解：的半径弦于点，，
，
设的半径为，则，
在中，
，，
，即，解得，
，
连接，

是的直径，
，
在中，
，，
，
在中，
，，
．
故选：．
先根据垂径定理求出的长，设的半径为，则，由勾股定理即可得出的值，故可得出的长，连接，由圆周角定理可知，在中，根据勾股定理即可求出的长．
本题考查的是垂径定理以及圆周角定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
点坐标为，
，
反比例函数解析式为，
设，则，
点坐标为，
，
整理为，
解得舍去，，
正方形的边长为．
故选：．
先确定点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，则反比例函数解析式为，设，则，所以点坐标为，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得，利用因式分解法可求出的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

11.【答案】 

【解析】解：万亿．
故答案为：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握科学记数法表示数的方法．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
由得，，
由得，
故此不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：有张小纸条的长度为：，
当时，，
故答案为：．
先根据图形找到规律，再代入求解．
本题考查了图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
作于，
在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，，先通过直径所对是圆周角是直角，证出，从而得出，再通过计算即可．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及扇形的面积计算等知识，求出扇形的圆心角度数是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
，
故答案为：．
根据格点多边形的面积为，且边界上的点数是内部点数的倍，可列出方程组，即可得到答案．
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，能列出方程组．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．
本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】证明：，
无论实数取何值，方程总有两个实数根；
解：，
，
，，
，，
是负整数，
． 

【解析】先根据方程有两个相等的实数根列出关于的一元二次方程，求出的值即可；
根据题意得到和是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求负整数的值．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答时得到方程的两个根是解题的关键．
 

20.【答案】人    人 

【解析】解：本次抽样问卷调查的人数是人，
故答案为：人；
类职工所对应扇形的圆心角度数为：，
类的人数为人，
补全条形统计图如下：

故答案为：；
估计对新冠疫苗接种工作不关注的人数为人；
故答案为：人；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有种，
恰好抽到一名女士和一名男士的概率为．
由类的人数和所占百分比求出调查的总人数，即可解决问题；
用乘以类型人数所占比例可得其圆心角度数，用总人数减去、、类型人数求得类型人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中类型人数所占比例；
画树状图，共有种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
且，
是边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
，是斜边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，，
，
是的中位线，
则，
，
，
在中，． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再证四边形是平行四边形，即得；再由，上斜边上的中线，即得，证得四边形是平行四边形，即证；
利用的结论和三角形中位线的性质即可求出的值．
本题考查了平行四边形和菱形的判定和性质，掌握平行四边形和菱形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，
于，，
，
，
，
又为的中点，
，
，
是直径，
，
，
又，
，
，
，
又是直径，
是半圆的切线；
解：，，
由知，，
，
在中，于，平分，
，
，
，为公共角，
∽，得，
，在中，，
即，
解得． 

【解析】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理的运用．关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出切线，利用相等角推出相似三角形，由相似比得出边长的关系，由勾股定理求解．
连接，为的角平分线，得，又，可证，由对顶角相等得，即，由为的中点，得，由为直径得，即，由可证，从而有，证明结论；
在中，由勾股定理可求，由得，则，由可证∽，利用相似比可得，在中，根据，得，可求．
 

23.【答案】解：当时，设与的函数关系式为，
把，分别代入解析式，得，
，
解得，
即当时，与的函数关系式为，
当时，设与的函数关系式为，
把，分别代入解析式，得：
，
解得，
即当时，与的函数关系式为，
由上可得，与的函数关系式为；
设当月第天的销售额为元，
当时，，
当时，取得最大值，此时，
当时，，
当时，取得最大值，此时，
由上可得，当时，取得最大值，此时，
答：当月第天，该农产品的销售额最大，最大销售额是元．
解：当时，
得
解得
故此时的取值范围为
当时，由知：当时，取得最大值，此时最大值为元
综上，的取值范围为为正整数 

【解析】根据函数图象中的数据，可以得到与之间的函数关系式，并写出的取值范围．
根据题意和中的结果，可以得到利润与之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．
根据题意和中的结果，即可列出一元二次不等式，解不等式即可求得．
本题考查二次函数的应用，利用待定系数法求二次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

24.【答案】相等    或 

【解析】解：如图，

设直线与相较于，
和均为等边三角形，
，，，
，
≌，
，，
字型，
，
故答案为：相等，；
不发生变化，理由如下：
如图中，连接、，

，都是等边三角形，，，
，，，
，，，
，，
∽，
；

如图，连接，，

和均为等边三角形，点，是，的中点，
，，
，
同理
，
，
由知，
，
当，在外部时，同理可得，
．
故答案为：或．
根据等边三角形的性质，由可证≌，由全等三角形的性质可得，，再利用三角形外角的性质可求解；
如图中，连接、只要证明∽，利用相似比为即可解决问题；
如图，连接，，根据等边三角形的性质得到，，，，同理根据勾股定理得到，于是得到，由知，即可得到结论．
此题是几何变换综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
 

25.【答案】解：把，代入，
得：，
解得，
抛物线的解析式为；
、，
，
，
设直线的表达式为，
将点、代入得：，
解得，
的表达式为．
设点的坐标为，
，
解得或，
当时，，
当时，．
点的坐标为或；
存在一点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当为菱形的对角线时，如图所示，
由可知，，
，
，
菱形为正方形，
点的坐标为，

如图所示，当为菱形对角线时，、关于轴对称，
点坐标为；

，当为对角线时，如图所示，，
，
点的坐标为或．


综上所示，点的坐标为：或或或． 

【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式；
先计算出，再求出解析式，设出点坐标，根据三角形面积公式即可求解；
分类讨论，分别当、、为对角线时，画出图形即可求解．
本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数表达式，自变量取值范围内的函数值，三角形面积，菱形等知识，解题的关键是添加辅助线，构造出相应图形解决问题．