2023年湖南省湘西州凤凰县中考数学诊断试卷（3月份）（含解析）

2023年湖南省湘西州凤凰县中考数学诊断试卷（3月份）

一、选择题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  据统计数据显示，年春节，凤凰古城接待游客人次，其中用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  初中生骑电动车上学存在安全隐患，为了解某初中个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查个家长，结果有个家长持反对态度，则下列说法正确的是(    )

A. 调查方式是普查 B. 该校只有个家长持反对态度
C. 样本是个家长 D. 该校约有的家长持反对态度

4.  若一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是由个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列图象中，表示正比例函数图象的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  不等式组的解集在数轴，上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知二次函数的图象如图所示，下列结论；；；，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

10.  若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．

11.  分解因式：        ．

12.  已知方程，则 ______ ．

13.  如图，直线，，，则______．

14.  一个不透明口袋里装有个小球，其中黑球个、白球个，除颜色外均相同，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黑球的概率是______．

15.  人数相同的甲乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，，，则成绩较为稳定的班级是        ．

16.  我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积这个公式也被称为海伦秦九韶公式若，，则此三角形面积的最大值为        ．

17.  如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
先化简再求值：，其中．

20.  本小题分
初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整．
如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人．
此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．

21.  本小题分
图是一台手机支架，图是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测得，，，．
在图中，过点作，垂足为填空：        ；
求点到的距离结果保留小数点后一位，参考数据：，，，

22.  本小题分
某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为：：，且其单价和为元．
请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？
若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是个副，羽毛球拍的数量是篮球数量的倍，且购买乒乓球拍的数量不超过副，请问有几种购买方案？

23.  本小题分
如图，为的直径，，为上的两点，，过点做直线，交的延长线于点，连接．
求证：是的切线．
若，，求劣弧的长．

24.  本小题分
综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接若在第四象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交直线于点．
求抛物线的表达式；
试探究抛物线上是否存在点，使有最大值？若存在，求出点的坐标和的最大值；若不存在，请说明理由；
连接，试探究是否存在点，使得以，，为顶点的三角形和相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式，故A错误．
原式，故C错误．
原式，故D错误．
故选：．
根据二次根式、整式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用二次根式以及整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：、调查方式是抽样调查，故A不合题意；
B、该校调查样本中有个家长持反对态度，故B不合题意；
C、样本是个家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故C不合题意；
D、该校约有的家长持反对态度，故D符合题意；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

4.【答案】 

【解析】解：设这个多边形是边形，
根据题意得，
解得，
这个多边形是边形．
故选：．
边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是，得到方程，从而求出边数．
此题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和为是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从正面看有三列，从左到右依次有、、个正方形，图形如下：

故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：、不是正比例函数图象，故此选项错误；
B、是正比例函数图象，故此选项正确；
C、不是正比例函数图象，故此选项错误；
D、不是正比例函数图象，故此选项错误；
故选：．
根据正比例函数的图象是经过原点的直线解答即可．
此题主要考查了正比例函数的图象，关键是掌握正比例函数的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：由得，
由得，
则不等式组的解集为．
故选：．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，，
，，
，
故选：．
由菱形的性质可得，，，再由直角三角形的性质得，则，然后由直角三角形斜边上的中线性质可求解．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴是直线，
，即，
，
抛物线与轴交点在正半轴，
，
，
故正确；
由图象可知，抛物线与轴左侧的交点在的右侧，
抛物线的对称轴为，
抛物线与轴右侧的交点在的左侧，
当时，，
，
，
故错误；
，，
，
，
故正确；
当时，是函数的最大值，
，
，
，
故正确；
正确的有，
故选：．
根据二次函数图象与性质，先判断，，即，，即可判断正确；根据图象得出时，即可得出，通过变形可判断错误；根据结合可以判断正确；根据时，是函数的最大值，可以判断正确．
本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据二次根式，可得，然后解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点评】
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．  

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
直接利用提取公因式法进行因式分解即可．
本题主要考查了运用提公因式法因式分解，正确确定公因式是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
直接移项、系数化为即可．
本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：延长交于点，如图所示：

因为，，
所以，
因为，
所以，
所以．
故答案为：．
根据平行线的性质，可以得到的度数，再根据三角形的外角和内角的关系，即可得到的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，运用平行线的性质，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：透明的袋子里装有将个球，其中个白色的，
任意摸出个，摸到白球的概率是．
故答案为：．
根据概率公式即可得出答案．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】乙 

【解析】解：，，，
，
成绩较为稳定的班级是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，．
．
．
由，得，代入上式，得：．
设，当取得最大值时，也取得最大值．
．
当时，取得最大值．
的最大值为．
故答案为：．
由已知可得，，把代入的表达式中得：，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得的最大值．
本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，，
平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
平移后阴影部分的面积等于如图矩形的面积，．
故答案为：．
确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于矩形的面积，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的矩形是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】先化简并求出特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则进行计算即可．
本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握零次幂以及特殊的三角函数值是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

20.【答案】   

【解析】解：抽取的学生人数为：人，
扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为：，
“良好”等级的人数为人，
故答案为：，
把条形统计图补充完整如下：

人，
参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人；
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有种，
选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
由“较差”等级的人数除以所占的百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由学校初三年级共有学生人数乘以样本中“良好”等级的人数所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有种，然后利用概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
，
，
，
，
故答案为：；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，
，
，
在中，，，
，
在中，，
，
，
点到的距离约为．
根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设篮球的单价为，则羽毛球拍的单价为，乒乓球拍的单价为．
，
解得，
；；，
答：篮球的单价为元，羽毛球拍的单价为元，乒乓球拍的单价为元；

设篮球的数量为，则羽毛球拍的个数为，乒乓球拍的数量为．，
解得，
或，
答：有种购买方案，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的数量分别为：，，或，，． 

【解析】设单价比中的每一份为，表示出其单价，根据单价和可求得，进而求得相应单价即可；
关系式为：乒乓球拍的数量，总价，把相关数值代入求得合适的整数解的个数即可．
考查一元一次方程及二元一次不等式组的应用；得到所需关系式是解决本题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：为的直径，
，
，，
，，
，
的长 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，得到，于是得到结论；
根据圆周角定理和弧长公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
则，
即，
解得：，
则抛物线的表达式为：；

存在，理由：
设的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
，故有最大值，
当时，的最大值为，此时，点；

存在，理由：
，，，为顶点的三角形和相似，
则
当为直角时，
则点、关于抛物线对称轴对称，
而抛物线的对称轴为，
则点；
当时，如下图：

过点作轴于点，
，
，
，
，
，
故直线的表达式为：，
联立抛物线表达式和上式得：，
解得：舍去或，
即点；
综上，点的坐标为：或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
求出直线的表达式为：，则设点，则点，得到，即可求解；
，，，为顶点的三角形和相似，则，再利用函数的对称性和一次函数的知识，分别求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象及性质，三角形相似和解直角三角形等知识，其中，要注意分类求解，避免遗漏．