初中数学6.2 立方根精品当堂检测题

这是一份初中数学6.2 立方根精品当堂检测题，共29页。试卷主要包含了2 立 方 根，1是0，289，若3z=0，51=1，72B．53，8=4等内容，欢迎下载使用。

七年级下册数学《第六章 实数》
6.2 立 方 根

题型一 立方根的概念和性质

【例题1】（2022春•合肥期末）下列说法错误的是（　　）
A．3的平方根是3
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【变式1-1】填空：
（1）64的立方根是 　 　 ；
（2）−1125的立方根是 ；
（3）26的立方根是 　 　；
【变式1-2】求下列各数的立方根．
（1）125； （2）0.027； （3）338


【变式1-3】（2021春•阳信县月考）3(−8)3的立方根是（　　）
A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2

【变式1-4】（2022春•仓山区校级月考）−21027的立方根是（　　）
A．−83 B．−43 C．±43 D．±83
【变式1-5】（2022春•临高县期末）若a2＝16，3b=−2，则a+b＝（　　）
A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12
【变式1-6】求下列各式的值：
（1）333； （2）30.008；
（3）（3−9）3； （4）3−343125．





【变式1-7】（1）求323，3(−2)3，3(−3)3，343，303的值．对于任意数a，3a3等于多少？
（2）求（38）3，（3−8）3，（327）3，（3−27）3，（30）3的值．对于任意数a，（3a）3等于多少？





【变式1-8】（2021秋•滕州市校级月考）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若31−4x与32x+3互为相反数，求2x−1的值．






题型二 开立方的运算


【例题2】求下列各式的值：
（1）3−216=　 ；
（2）31−0.973=　 　；
（3）−35−1027=　 ；
（4）364−81=　 　．

【变式2-1】（2022春•息县期末）下列算式中错误的是（　　）
A．−0.64=−0.8 B．±1.96=±1.4 C．925=±35 D．3−278=−32

【变式2-2】求下列各式的值：
（1）3216；（2）−3278；（3）−3343512．






【变式2-3】求下列各式的值：
（1）31−1927；
（2）33764−1；
（3）3−1−（38+4）÷(−6)2．






题型三 开立方运算中的小数点移动规律

【例题3】（2022春•曲阜市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
a
…
0.01
x
1
y
100
…
（1）表格中x＝　　 ；y＝　 　；
（2）从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知10≈3.16，则1000≈　 　；
②已知3.24=1.8，若a=180，则a＝　 　；
（1） 拓展：已知312≈2.289，若3z=0.2289，则z＝　 　．
（2）
【变式3-1】已知31.51=1.147，315.1=2.472，30.151=0.5325，则31510的值是（　　）
A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7

【变式3-2】（2022春•开州区期中）已知30.342≈0.6993，33.42≈1.507，则30.000342≈　 　．

【变式3-3】（2022春•雨花区期末）已知31.12≈1.038，则31120≈　 　．

【变式3-4】（2021春•梁子湖区期中）已知32.019≈1.2639，320.19≈2.7629，则3−0.002019≈　 　．

【变式3-5】如果368.8=4.098，3a=40.98，则a＝　 ．

【变式3-6】（2022秋•南岗区校级期中）若x=3135，y=30.135，则x与y的关系是 　 　．

【变式3-7】（2022春•汝南县月考）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1）2≈1.414，200≈14.14，20000≈141.4…
0.03≈0.1732，3≈1.732，300≈17.32…
由此可见，被开方数的小数点每向右移动 　 位，其算术平方根的小数点向 　 　移动 　 　位；
（2）已知5≈2.236，50≈7.071，则0.5≈　 　，500≈　 　；
（3）31=1，31000=10，31000000=100…
小数点变化的规律是：　 　；
（4）已知310=2.154，3100=4.642，则310000=　 　，−30.1=　 　．





题型四 利用开立方解方程

【例题4】求下列各式中的x的值．
（1）x3﹣216＝0； （2）（x+5）3＝64； （3）（12x+1）3＝8．






【变式4-1】（2022秋•沈阳月考）解方程：x3﹣3=38．





【变式4-2】（2021春•海城市月考）解方程：3（x﹣1）3＝24．




【变式4-3】（2022春•西城区校级期中）解方程：12(x−1)3=4．






【变式4-4】（2021春•汉滨区期中）求式子中x的值：13（x﹣1）3＝﹣9．




【变式4-5】解方程：64（x+1）3﹣125＝0．




【变式4-6】解方程：（5x﹣2）3+125＝0．




【变式4-7】（2022秋•锡山区期中）解方程：3+（x+1）3＝﹣5．






题型五 平方根与立方根的综合

【例题5】（2022春•盐池县期末）已知x2＝9，y3=−18，且xy＜0，求2x+4y的算术平方根．







【变式5-1】（2022秋•菏泽月考）若|x﹣1|+（y﹣2）2+z−3=0，则x+y+z的立方根是 　 ．

【变式5-2】（2022秋•峄城区校级月考）若a−3+（b﹣5）2＝0，则a+b的立方根为 　 　．

【变式5-3】（2021秋•雁塔区期末）已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值．





【变式5-4】（2022秋•平昌县期末）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b的算术平方根．





【变式5-5】（2022春•鹿邑县月考）已知2a﹣1的平方根是±5，3a+b﹣1的算术平方根是6，求﹣2a+12b的立方根．





【变式5-6】（2022春•金乡县期中）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是17的整数部分，求a+2b+c的值．







题型六 立方根的应用

【例题6】（2021秋•张家川县期末）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【变式6-1】老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是96cm2，
你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大665cm3，你能算出它的表面
积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？





【变式6-2】（2022春•韩城市期末）一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的小正
方体木块，其中一个小正方体木块的棱长是多少？




【变式6-3】（2022春•庐阳区校级期中）某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化，
铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的
棱长．





【变式6-4】（2022春•满洲里市校级期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3
厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．






【变式6-5】（2022春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的160，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？



七年级下册数学《第六章 实数》
6.2 立 方 根 答案


题型一 立方根的概念和性质

【例题1】（2022春•合肥期末）下列说法错误的是（　　）
A．3的平方根是3
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【分析】根据立方根的定义和求法，平方根的定义和求法，以及算术平方根的定义和求法，逐项判定即可．
【解答】解：A、3的平方根是±3，原说法错误，故此选项符合题意；
B、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了立方根、平方根、算术平方根．解题的关键是熟练掌握立方根的定义，平方根的定义，以及算术平方根的定义．

【变式1-1】填空：
（1）64的立方根是 　 　 ；
（2）−1125的立方根是 ；
（3）26的立方根是 　 　；
【分析】（1）利用43＝64得到64的立方根；
（2）利用（−15）3=−1125得到−1125的立方根；
（3）利用（22）3＝26得到26的立方根；
【解答】解：（1）64的立方根是4；
（2）−1125的立方根是−15；
（3）26的立方根是4；
故答案为：（1）4；（2）−15；（3）4；
【点评】本题考查了立方根：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
【变式1-2】求下列各数的立方根．
（1）125； （2）0.027； （3）338
【分析】根据立方根的定义可求解．
【解答】解：（1）∵53＝125，
∴3125=5；

（2）∵（0.3）3＝0.027，
∴30.027=0.3；
（3）∵338=278，
∴338的立方根是32．
【点评】本题考查了立方根，关键是熟记定义求解．
【变式1-3】（2021春•阳信县月考）3(−8)3的立方根是（　　）
A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2
【分析】根据立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2
故选：D．
【点评】本题考查立方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．
【变式1-4】（2022春•仓山区校级月考）−21027的立方根是（　　）
A．−83 B．−43 C．±43 D．±83
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵−43的立方等于−6427，
∴−6427的立方根等于−43．
故选：B．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
【变式1-5】（2022春•临高县期末）若a2＝16，3b=−2，则a+b＝（　　）
A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12
【分析】先依据平方根和立方根的性质求得a、b的值，然后代入计算即可．
【解答】解：∵a2＝16，3b=−2，
∴a＝±4，b＝﹣8．
∴当a＝4，b＝﹣8时，a+b＝﹣4；
当a＝﹣4，b＝﹣8时，a+b＝﹣12．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是立方根、平方根的定义，掌握立方根、平方根的性质是解题的关键．

【变式1-6】求下列各式的值：
（1）333； （2）30.008；
（3）（3−9）3； （4）3−343125．
【分析】根据立方根的定义计算．
【解答】解：（1）原式＝3；
（2）原式＝0.2；
（3）原式＝﹣9；
（4）原式=−75．
【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a．
【变式1-7】（1）求323，3(−2)3，3(−3)3，343，303的值．对于任意数a，3a3等于多少？
（2）求（38）3，（3−8）3，（327）3，（3−27）3，（30）3的值．对于任意数a，（3a）3等于多少？
【分析】（1）直接利用立方根的性质计算得出答案；
（2）直接利用立方运算法则得出答案．
【解答】解：（1）323=2，3(−2)3=−2，3(−3)3=−3，343=4，303=0，
故对于任意数a，3a3=a；

（2）（38）3＝8，（3−8）3＝﹣8，（327）3＝27，（3−27）3＝﹣27，（30）3＝0．
对于任意数a，（3a）3＝a．
【点评】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．
【变式1-8】（2021秋•滕州市校级月考）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若31−4x与32x+3互为相反数，求2x−1的值．
【分析】（1）根据题意可以列出一个例子来说明结论是否成立；
（2）根据结论成立可以得到1﹣4x+2x+3＝0，可以求得x的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）举例不唯一．
因为2+（﹣2）＝0，而且23＝8，（﹣2）3＝﹣8，有8+（﹣8）＝0，所以结论成立．
所以“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的．
（2）由（1）验证的结果知，1﹣4x+2x+3＝0，所以x＝2，所以2x−1=4−1＝1．
【点评】本题考查实数的运算、立方根，解答本题的关键是明确题意，利用相反数和立方根的知识解答．


题型二 开立方的运算


【例题2】求下列各式的值：
（1）3−216=　 ；
（2）31−0.973=　 　；
（3）−35−1027=　 ；
（4）364−81=　 　．
【分析】（1）原式利用立方根定义计算即可求出值；
（2）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值；
（3）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值；
（4）原式利用立方根、算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=3(−6)3=−6；
（2）原式=30.027=0.3；
（3）原式=−312527=−53；
（4）原式＝4﹣9＝﹣5．
故答案为：（1）﹣6；（2）0.3；（3）−53；（4）﹣5．
【点评】此题考查了实数的运算，立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

【变式2-1】（2022春•息县期末）下列算式中错误的是（　　）
A．−0.64=−0.8 B．±1.96=±1.4 C．925=±35 D．3−278=−32
【分析】根据平方根和立方根的定义求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、−0.64=−0.8，故本选项错误；
B、±1.96=±1.4，故本选项错误；
C、925=35，故本选项正确；
D、3−278=−32，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对平方根和立方根的应用，主要考查学生的计算能力．

【变式2-2】求下列各式的值：
（1）3216；（2）−3278；（3）−3343512．
【分析】（1）根据立方根定义求出即可；
（2）根据立方根定义求出即可；
（3）根据立方根定义求出即可．
【解答】解：（1）3216=6；
（2）−3278=−32；

（3）−3343512=−78．
【点评】本题考查了对立方根定义的应用，主要考查学生的计算能力．
【变式2-3】求下列各式的值：
（1）31−1927；
（2）33764−1；
（3）3−1−（38+4）÷(−6)2．
【分析】（1）直接利用立方根的性质化简得出答案；
（2）直接利用立方根的性质化简得出答案；
（3）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）31−1927=3827=23；
（2）33764−1=3−2764=−34；
（3）3−1−（38+4）÷(−6)2
＝﹣1﹣6÷6
＝﹣1﹣1
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了立方根的性质，正确化简各数是解题关键．
题型三 开立方运算中的小数点移动规律

【例题3】（2022春•曲阜市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
a
…
0.01
x
1
y
100
…
（1）表格中x＝　　 ；y＝　 　；
（2）从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知10≈3.16，则1000≈　 　；
②已知3.24=1.8，若a=180，则a＝　 　；
（3）拓展：已知312≈2.289，若3z=0.2289，则z＝　 　．
【分析】根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10；
（2）①1000≈31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400；
（4）z＝0.012，故答案为：0.012．
【点评】本题考查了算术平方根，注意被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．

【变式3-1】已知31.51=1.147，315.1=2.472，30.151=0.5325，则31510的值是（　　）
A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．
【解答】解：31510=31.510×1000=1.147×10＝11.47．
故选：C．
【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．

【变式3-2】（2022春•开州区期中）已知30.342≈0.6993，33.42≈1.507，则30.000342≈　 　．
【分析】根据当被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，立方根的小数点就向左（或向右）移动一位得出即可．
【解答】解：∵30.342≈0.6993，
∴30.000342≈0.06993，
故答案为：0.06993．
【点评】本题考查了立方根的定义和符号移动规律，能熟记立方根的符号移动规律的内容是解此题的关键．
【变式3-3】（2022春•雨花区期末）已知31.12≈1.038，则31120≈　 　．
【分析】1120是由1.12将小数点向右移动3位所得，所以开立方结果的小数点向右移动1位．
【解答】解：31120=31.12×1000=10×31.12≈10.38．
故答案为：10.38．
【点评】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍．
【变式3-4】（2021春•梁子湖区期中）已知32.019≈1.2639，320.19≈2.7629，则3−0.002019≈　 　．
【分析】直接利用立方根的性质结合已知数据得出答案．
【解答】解：∵32.019≈1.2639，
∴3−0.002019=3−11000×2.019
=3(−110)3×32.019
=−110×32.019
≈﹣0.12639．
故答案为：﹣0.12639．
【点评】此题主要考查了立方根，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式3-5】如果368.8=4.098，3a=40.98，则a＝　 ．
【分析】根据被开方数的小数点每移动三位，结果的小数点移动一位得出即可．
【解答】解：∵368.8=4.098，3a=40.98，
∴a＝68800．
故答案为：68800．
【点评】本题考查了立方根的应用，关键是能得出规律（被开方数的小数点每移动三位，结果的小数点移动一位）．
【变式3-6】（2022秋•南岗区校级期中）若x=3135，y=30.135，则x与y的关系是 　 　．
【分析】根据立方根的性质即可求解．
【解答】解：x=3135
=30.135×1000
=30.135×31000
＝10×30.135，
∴y=30.135，
∴x＝10y，
故答案为：x＝10y．
【点评】本题主要考查了立方根，掌握立方根的性质是解题的关键．
【变式3-7】（2022春•汝南县月考）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1）2≈1.414，200≈14.14，20000≈141.4…
0.03≈0.1732，3≈1.732，300≈17.32…
由此可见，被开方数的小数点每向右移动 　 位，其算术平方根的小数点向 　 　移动 　 　位；
（2）已知5≈2.236，50≈7.071，则0.5≈　 　，500≈　 　；
（3）31=1，31000=10，31000000=100…
小数点变化的规律是：　 　；
（4）已知310=2.154，3100=4.642，则310000=　 　，−30.1=　 　．
【分析】（1）根据被开方数的小数点、其算术平方根的小数点的移动规律得出答案；
（2）根据（1）的规律得出答案；
（3）类推出一个数的小数点与其立方根的小数点的移动规律得出结论；
（4）应用（3）的结论进行计算即可．
【解答】解：（1）由被开方数的小数点、其算术平方根的小数点的移动规律可知，
被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，
故答案为：2，右，1；
（2）由（1）的规律可得，0.5≈0.7071，500≈23.26，
故答案为：0.7071，23.26；
（3）由（1）的结论类推可得，一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位，
故答案为：一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位；
（4）由（3）的结论得，
310000=310×1000=310×10＝21.54，
−30.1=−31001000=−310010=−0.4642，
故答案为：21.54，﹣0.4642．
【点评】本题考查算术平方根、立方根，掌握一个数的小数点向右（或左）移动的位数与其算术平方根、立方根的小数点向右（或左）移动的位数的变化规律是正确解答的关键．

题型四 利用开立方解方程

【例题4】求下列各式中的x的值．
（1）x3﹣216＝0； （2）（x+5）3＝64； （3）（12x+1）3＝8．
【分析】根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答各个方程．
【解答】解：（1）x3﹣216＝0
x3＝216
x=3216
x＝6；
（2）（x+5）3＝64
x+5=364
x+5＝4
x＝﹣1；
（3）（12x+1）3＝8
12x+1=38
12x+1＝2
12x=1
x＝2．
【点评】本题考查立方根，解题的关键是明确立方根的计算方法和解方程的方法．

【变式4-1】（2022秋•沈阳月考）解方程：x3﹣3=38．
【分析】根据立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：x3﹣3=38，
x3=278，
x=32．
【点评】本题考查立方根的的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义．
【变式4-2】（2021春•海城市月考）解方程：3（x﹣1）3＝24．
【分析】先整理成x3＝a的形式，再直接开立方解方程即可．
【解答】解：3（x﹣1）3＝24，
（x﹣1）3＝8，
x﹣1＝2，
x＝3．
【点评】此题主要考查了利用立方根的性质解方程．要灵活运用使计算简便．
【变式4-3】（2022春•西城区校级期中）解方程：12(x−1)3=4．
【分析】根据立方根的定义解决此题．
【解答】解：∵12（x﹣1）3＝4，
∴（x﹣1）3＝8．
∴x﹣1＝2．
∴x＝3．
【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键．

【变式4-4】（2021春•汉滨区期中）求式子中x的值：13（x﹣1）3＝﹣9．
【分析】根据立方根的定义进行解答便可．
【解答】解：（x﹣1）3＝﹣27，
x﹣1＝﹣3，
x＝﹣2．
【点评】本题主要考查了立方根的定义，运用立方根的定义求值是解题的关键．
【变式4-5】解方程：64（x+1）3﹣125＝0．
【分析】直接利用立方根的定义计算得出答案．
【解答】解：方程整理得：（x+1）3=12564，
开立方得：x+1=54，
解得：x=14．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
【变式4-6】解方程：（5x﹣2）3+125＝0．
【分析】利用立方根的定义得到5x﹣2＝﹣5，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：∵（5x﹣2）3+125＝0，
∴（5x﹣2）3＝﹣125，
∴5x﹣2＝﹣5，
∴5x＝﹣3，
∴x=−35．
【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a．
【变式4-7】（2022秋•锡山区期中）解方程：3+（x+1）3＝﹣5．
【分析】根据立方根的定义解决此题．
【解答】解：∵3+（x+1）3＝﹣5，
∴（x+1）3＝﹣8．
∴x+1＝﹣2．
∴x＝﹣3．
【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键．


题型五 平方根与立方根的综合

【例题5】（2022春•盐池县期末）已知x2＝9，y3=−18，且xy＜0，求2x+4y的算术平方根．
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵x2＝9，y3=−18，
∴x＝±3，y=−12，
∵xy＜0，
∴x＝3，y=−12，
∴2x+4y＝2×3+4×（−12）＝6﹣2＝4，
∴2x+4y的算术平方根是：2．
【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根，能够正确得出x，y的值是解题的关键．
【变式5-1】（2022秋•菏泽月考）若|x﹣1|+（y﹣2）2+z−3=0，则x+y+z的立方根是 　 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算后根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：∵|x﹣1|+（y﹣2）2+z−3=0，
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，z﹣3＝0，
解得x＝1，y＝2，z＝3，
∴x+y+z＝1+2+3＝6，
∴x+y+z的立方根是36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了立方根和非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

【变式5-2】（2022秋•峄城区校级月考）若a−3+（b﹣5）2＝0，则a+b的立方根为 　 　．
【分析】根据算术平方根、偶次幂的非负性，求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵a−3+（b﹣5）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，
即a＝3，b＝5，
∴a+b＝3+5＝8，
∴a+b的立方根为38=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查非负数的性质以及立方根，理解算术平方根、偶次幂的非负性以及立方根的定义是正确解答的前提．
【变式5-3】（2021秋•雁塔区期末）已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值．
【分析】根据题意可求出a＝16，根据题意得2a﹣b+2＝27，再将a＝16代入可求出b＝7，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：根据题意，可得1+3a＝49，
解得，a＝16，
∵2a﹣b+2的立方根是3，
∴2a﹣b+2＝27，
将a＝16代入，得2×16﹣b+2＝27，
解得b＝7，
∴a﹣b＝9．
【点评】本题考查了平方根，立方根，代数式求值，解题的关键是掌握平方根，立方根的概念．

【变式5-4】（2022秋•平昌县期末）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b的算术平方根．
【分析】根据平方根、立方根以及算术平方根的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，a+9＝25，2b﹣a＝﹣8．
∴b＝4，a＝16．
∴2a+b＝32+4＝36．
∴2a+b的算术平方根是36=6．
【点评】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握平方根、立方根以及算术平方根的定义是解决本题的关键．
【变式5-5】（2022春•鹿邑县月考）已知2a﹣1的平方根是±5，3a+b﹣1的算术平方根是6，求﹣2a+12b的立方根．
【分析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出a、b的值，然后代入代数式求出a+4b的值，再根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：根据题意，得2a﹣1＝25，3a+b﹣1＝36，
解得a＝13，b＝﹣2，
所以﹣2a+12b＝﹣2×13+12×（﹣2）＝﹣27，
∴﹣2a+12b的立方根是﹣3．
【点评】本题考查了立方根、算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a、b的值是解题的关键．
【变式5-6】（2022春•金乡县期中）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是17的整数部分，求a+2b+c的值．
【分析】根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定a、b、c的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵2a﹣1的算术平方根是3，
∴2a﹣1＝9，即a＝5；
∵3a+b﹣9的立方根是2，
∴3a+b﹣9＝8，
即b＝2，
∵c是17的整数部分，而4＜17＜5，
∴c＝4，
∴a+2b+c＝13，
答：a+2b+c的值为13．
【点评】本题考查估算算术平方根，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算算术平方根的方法是正确解答的前提．


题型六 立方根的应用

【例题6】（2021秋•张家川县期末）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】利用立方根定义求出棱长即可．
【解答】解：根据题意知，每个小正方体木块的棱长为3648=38=2（cm），
故选：A．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．

【变式6-1】老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是96cm2，
你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大665cm3，你能算出它的表面
积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？
【分析】根据正方体的表面积，列出算式可求正方体的棱长，进一步得到小强的盒子体积，根据正方体的体积公式得到棱长，再根据长方体的表面积公式即求解．
【解答】解：96÷6＝16（cm2），
16=4（cm），
4×4×4＝64（cm3），
64+665＝729（cm3），
3729=9（cm），
9×9×6＝486（cm2）．
答：它的表面积是486cm2．
【点评】此题考查了算术平方根，立方根，用到的知识点是算术平方根的求法，关键是根据正方体的面积和体积公式解答．
【变式6-2】（2022春•韩城市期末）一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的小正
方体木块，其中一个小正方体木块的棱长是多少？
【分析】设小正方体的棱长为xcm，根据题意得8x3＝125，解方程可求正方体小木块的棱长．
【解答】解：设小正方体的棱长为xcm，
根据题意得，8x3＝125，
x3=1258，
x=52．
答：正方体小木块的棱长为52cm．
【点评】本题考查了立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
【变式6-3】（2022春•庐阳区校级期中）某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化，
铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的
棱长．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：3160×80×4027=351200027=803（cm），
则原来正方体钢铁的棱长为 803cm．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
【变式6-4】（2022春•满洲里市校级期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3
厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
【分析】根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解．
【解答】解：设第二个纸盒的棱长为acm，
∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大189cm3，
∴a3﹣33＝189，
∴a3＝189+27＝216，
a3＝216＝63
∴a＝6cm．
【点评】此题考查立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a要注意平方根的定义：某个自乘结果等于的实数，其中属于非负实数的平方根称算术平方根．一个正数两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根．


【变式6-5】（2022春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的160，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？

【分析】（1）直接利用已知假设出长方体的水池长、宽、高，进而利用长方体体积求出即可；
（2）利用球的体积公式，进而开立方求出即可．
【解答】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3，
∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，
∴2x•2x•4x＝16000，
∴16x3＝16000，
∴x3＝1000，
解得：x＝10，
∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；
（2）设该小球的半径为rcm，则：
43πr3=160×16 000，
∴r3=160×16 000×14，
∴r≈4.05，
答：该小球的半径为4.05cm．
【点评】此题主要考查了立方根的计算以及立方体体积公式，熟练记忆球体以及立方体体积公式是解题关键．