中考培优竞赛专题经典讲义 第8讲 最值问题之垂线段最短

第8讲 最值问题之垂线段最短

模型讲解

如图，直线l外一点P与直线上的点的所有连线段中，PB线段长度最短．

【例题讲解】

例题1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，

PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是　　　　．

解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，

∵∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，

∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝EF＝AP，

∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，

当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC＝×3×4＝×5×AP，

∴AP＝，即AP的范围是AP≥，∴2AM≥，∴AM的范围是AM≥，

∵AP＜AC，∴AP＜4，∴AM＜2，∴≤AM＜2．

例题2、已知点D与点A(8，0)，B(0，6)，C(a，－a)是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为　　　　．

解：有两种情况：

①CD是平行四边形的一条边，那么有AB＝CD＝10

②CD是平行四边形的一条对角线，

过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，

则∠BND＝∠DFA═∠CMA＝∠QFA＝90°，∠CAM＋∠FQA＝90°，∠BDN＋∠DBN＝90°，

∵四边形ACBD是平行四边形，∴BD＝AC，∠C＝∠D，BD∥AC，∴∠BDF＝∠FQA，

∴∠DBN＝∠CAM，在△DBN和△CAM中，，∴△DBN≌△CAM(AAS)，

∴DN＝CM＝a，BN＝AM＝8﹣a，D(8﹣a，6＋a)，

由勾股定理得：CD2＝(8﹣a﹣a)2＋(6＋a＋a)2＝8a2﹣8a＋100＝8(a﹣)2＋98，

当a＝时，CD有最小值，是，

∵＜10，∴CD的最小值是＝7．

例题3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，经过点C且与边AB相切的动圆与CA．、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是　　　　　．

解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，

∴AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，∴PQ是⊙F的直径，

设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB．

∴FC＋FD＝PQ，∴CF＋FD＞CD，

∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值

∴CD＝BC•AC÷AB＝4.8．

【巩固练习】

1、已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P是AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连结EF，M为EF的中点，则CM的最小值为　　　　．

2、如图，线段AB的长为10，C为AB上的一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　　　　．

3、如图，已知平行四边形OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为　　　　．

4、在平面直角坐标系中，己知平行四边形ABCD的点A(0，－2)、点B(3m，4m＋1)(m≠－1)，点C(6，2)，则对角线BD的最小值是　　　　．

5、如图，等边△ABC的边长是2cm，将边AC沿射线BC的方向平移2cm，得到线段DE，连接AD、CE．

(1)求证：四边形ACED是菱形；

(2)将△ABC绕点C旋转，当CA′与DE交于一点M，CB′与AD交于一点N时，点M、N和点D构成△DMN，试探究△DMN的周长是否存在最小值？如果存在，求出该最小值；如果不存在，请说明理由．

参考答案

1.解：如图，连接CP．

∵AC＝3，BC＝4，AB＝5∴∠ACB＝90°，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF＝CP，

由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，则CM最小，

此时，S△ABC＝BCAC＝ABCP，即×4×3＝×5CP，解得CP＝2.4．

∴EF＝2.4，∵M为EF中点，∴CM＝1.2

2.解：设AC＝x，BC＝10﹣x，

∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD＝x，CD′＝(10﹣x)，

∵∠ACD＝45°，∠BCD′＝45°，∴∠DCE＝90°，

∴DE2＝CD2＋CE2＝x2＋(10﹣x)2＝x2﹣10x＋50＝(x﹣5)2＋25，

∴当x取5时，DE取最小值，最小值为：5，

3.解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：

∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，

∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，

∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD，∵∠OFA＝∠BDC＝90°，∴∠FOA＝∠DBC，

在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD．

∴BD＝OF＝1，∴OE＝4＋1＝5，∴OB＝．

由于OE的长不变，所以当BE最小时(即B点在x轴上)，OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．

4.解：如图，∵点B(3m，4m＋1)，

∴令，∴y＝x＋1，∴B在直线y＝x＋1上，∴当BD⊥直线y＝x＋1时，BD最小，

∵平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上，∴F是AC的中点，

∵A(0，﹣2)，点C(6，2)，∴F(3，0)．

设直线BF的解析式为y＝﹣x＋b，则﹣×3＋b＝0，解得b＝，

则直线BF的解析式为y＝﹣x＋，

∴4m＋1＝﹣×3m＋，解得m＝，∴B(，)，

∴BF＝＝3，∴BD＝2BF＝6，则对角线BD的最小值是6．

5.证明：(1)由平移可得：AD∥CE，AD＝CE，

∴四边形ACED是平行四边形，又∵AD＝2cm＝AC，∴□ACED是菱形；

(2)连接CD，

∵∠ACD＝∠B'CA'＝60°即∠ACN＋∠NCD＝∠NCD＋∠DCA'＝60°，∴∠ACN＝∠DCM，

在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM(ASA)，

∴AN＝DM，同理，CN＝CM，

∵∠NCD＋∠DCM＝60°，∴△CMN是等边三角形，∴MN＝CN＝CM，则AN＋DN＝AD＝2．

∴△DMN的周长即为DN＋DM＋MN＝AD＋CN，

当CB′⊥AD时，(CN)最小＝，即△DMN的周长的最小值是2＋．