中考培优竞赛专题经典讲义 第12讲 四边形与面积

第14讲 四边形与面积

模拟讲解

【例题讲解】

例题1、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是（    ）

A.4   B.5   C.6  D.7

【解析】

可知S△BEC=S△DFC=S平行四边形ABCD∴S△AFD+S△BFC=S平行四边形=S△EBC∴S3+S4+①+S1+②=①+S2+②

∴S4=S2-S1-S3=12-2-3=7  故选D

【巩固练习】

1、已知△ABC，面积为12，点D在边BC上，满足CD:BD=1：2，点E为AC的中点，连接BE、AD相交于点P，设△APE的面积为S1，△BPD的面积为S₂，求S2-S1=          .

2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（）

A.60  B.90  C.144   D.169

例题2、如图，在面积为24的平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，连接FH、EG，且GH=DC.则图中阴影部分面积为         .

【解析】如右图，连接EF、EH、GF，则四边形EFCD为平行四边形，且SEFCD=12由题意得，,设△HOG的底HG=a，高为h，则△OEF的底EF为2a，高为2h，平行四边形DEFC的底EF为2a，高为3h，则2a·3h=12，即ah=2

所以S△HOG=ah=1，S△OEF=·2a·2h=4，所以S阴影=SEFCD-S△HOG-S△EOF=12-1-4=7

例题3、如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点，AF与DE相交于G，BD和AF相交于H，那么四边形BEGH的面积是             .

【解析】

∵BC//AD，∴△BFH∽△DAH，且相似比为1：2，S△ADH=×2×=，S△FBH=×2×=，易证△ABF≌△DAE，∴∠BAF=∠ADF，∠BAF+∠AEG=90°∴∠AEG=90°，∴△AEG∽△EDA

∴，，解得AG=，EG=，∴S△AEG=，

S四边形BEGH=2--=

【巩固练习】

1、如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是              

2、如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积为                 

3、如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，点P、Q在DC边上，且PQ=DC.若AB=16，BC=20，则图中阴影部分的面积是           

4、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以斜边BC上的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°成图中的△DEF位置，当BP=3时，求旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是          

5、如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为              

例题4、如图，以△ABC的两条边AB、AC为一边向上作正方形ABED和正方形ACGF，连接FD。

（1）求证：S△ABC=S△AFD.

（2）过点A作AN⊥BC，反向延长NA交DF于点M，求证：DM=MF.

【解析】

（1）如图3，过点F作FP⊥AD，点C作CQ⊥AB，∴∠FPA=∠AQC=90°

∵四边形ACGF为正方形，∴AC=AF，∠FAC=90°

∵∠PAF+∠QAF=∠QAC+∠QAF=90°∴∠PAF=∠QAC∴△QAC≌△PAF（AAS）∴QC=PF

∵S△ADF=AD·PF，S△ABC=AB·CQ∵ AD=AB，∴S△ADF=S△ABC

（2）如图4，过点D和点F作NM垂线，垂足分别为点H和点K，利用三次全等，先证△DHA≌△BNA，得 GH=NA，再证△FKA≌△CNA，得FK=NA，所以GH=FK，最后再证△DHM≌△FKM，所以DM=MF

【巩固练习】

1、如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7和11，则△CDE的面积等于          .

2、以□ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连结EF、GH、IJ、KL.若□ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为          .

例题5、如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°，当AC+BD=18时，四边形ABCD的面积最大值是         .

【分析】以前我们做的都是求对角线成直角的四边形面积，面积公式为对角线乘积的一半，那么我们回忆一下，你知道公式是怎么推倒出来的吗？当角度为45°时，是否可以用同样的方法去解决呢？

【解答】如图，过点B作BF⊥AC，过点D作DE⊥AC，过点D作DG⊥BG，交BF延长线于点G.

∵S四边形ABCD=S△ACB+S△ACD

∴S四边形ABCD=AC·BF+AC·DE=AC·(BF+DE)= AC·BG

根据题意，易得BG=BD

【巩固练习】

1、如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为α，AC+BD=10，当AC、BD的长等于      时，则四边形ABCD的面积最大是          .

2、已知四边形ABCD中，AD+BD+BC=16，则四边形ABCD的面积最大值是（    ）

A.16  B.32  C.   D.

【巩固练习】

1、如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为100cm2，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形ABDC的面积是（      ）

A.40 cm2   B.60 cm2   C.70 cm2   D.80 cm2

2、如图，已知点P为平行四边形ABCD内任意一点，△PAB的面积为3，△PBC的面积为7，则△PBD的面积为           。

3、如图，在□ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是            .

4、如图，边长为6的正方形ABCD和边长为8的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的对称中心，则阴影部分的面积为          .

5、如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于              .

6、如图，矩形ABCD长为a，宽为b，若S1=S₂=(S3+S4)，则S4=         （用含a、b字母的代数表示）

7、如图，设F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF，交AB的延长线于E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为            。

8、如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，E、F分别是AB、BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为          。

9、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（x>0）上，BC与x轴交于点D.若点A的坐标为（1，2），则四边形OABD的面积为                .

10、如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为        .（用含n的代数式表示，n为正整数）

11、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF、四边形DHOG的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4.

12、已知平行四边形ABCD，点F为线段BC上一点（端点B、C除外），连接AF、AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE.

（1）当F为BC的中点时，求证△EFC与△ABF的面积相等；

（2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相等吗？说明理由.

13、如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论.

14、如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12，在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决。

（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；

（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红.

参考答案

1.答案：4

2.答案：90

参考答案

1. 答案：
2. 答案：
3. 答案：92
4. 答案：1.44
5. 答案：2：5

参考答案

1. 答案：
2. 答案：10

参考答案

1. 答案：5，
2. 答案：B

参考答案

1. 答案：B
2. 答案：4
3. 答案：
4. 答案：12
5. 答案：7
6. 答案：
7. 答案：24
8. 答案：
9. 答案：
10. 答案：

11. 答案：连接OC，OB，OA，OD，∵E、F. G、H依次是各边中点，∴△AOE和△BOE等底等高,所以S△OAE=S△OBE，同理可证,S△OBF=S△OCF,S△ODG=S△OCG,S△ODH=S△OAH，∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，∴：S1+S2=S3+S4

12. 答案：(1)证明：∵点F为BC的中点，∴BF=CF=BC=，又∵BF∥AD，∴BE=AB=b，∴A,E两点到BC的距离相等,都为bsinα,则S△ABF=⋅⋅bsinα=absinα，S△EFC=⋅a⋅bsinα=absinα，∴S△ABF=S△EFC;

(2)法一：当F为BC上任意一点时，设BF=x，则FC=a−x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BF：AD=BE：(BE+AB),∴x:a=BE(BE+b)，∴BE= x,在△EFC中,FC边上的高h1=BEsinα，∴h1=bx:sinα:(a−x)，∴S△EFC=12FC⋅h1= (a−x)⋅bxsinαa−x=bxsinα,又在△ABF中,BF边上的高h2=bsinα，∴S△ABF=12bxsinα，∴S△ABF=S△EFC;

法二：∵ABCD为平行四边形，∴S△ABC=S△CDE=absinα，又∵S△AFC=S△CDF，∴S△ABC−S△AFC=S△CDE−S△CDF，即S△ABF=S△EFC

13. 答案：如图，连结FH，延长CB到M，使BM=DH，连结AM，∵Rt△ABM≌Rt△ADH，∴AM=AH，∠MAB=∠HAD，∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90∘，如图，设正方形ABCD边长为a，AG=m，GP=n，则FC=a−n，CH=a−m，∵矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，∴a2−(m+n)a+mn=2mn，①在Rt△FCH中,FH2=(a−n) 2+(a−m) 2，②联立①②,得FH2=MF2=(m+n) 2，∴FH=MF.∵AF=AF,AH=AM,∴△AMF≌△HAF，∴∠HAF=∠MAF=45∘.

答案：(1)∵BE=AB=15，在直角△BCE中, CE= =9∴DE=6，∵∠EAD+∠BAE=90∘，∠BAE=∠BEF，

∴∠EAD+∠BEF=90∘，∵∠BEF+∠F=90∘，∴∠EAD=∠F∵∠ADE=∠FBE∴△ADE∽△FBE， ∴AD：BF=DE：BE，12：BF=6：15，∴BF=30；

(2)①如图1，将矩形ABCD和直角△FBE以CD为轴翻折，则△AMH即为未包裹住的面积，∵Rt△F′HN∽Rt△F′EG，∴F′N：F′G=HN：EG,即6：30=HN：15,

解得：HN=3，∴S△AMH=⋅AM⋅MH=×12×24=144；

②如图2，将矩形ABCD和Rt△ECF以AD为轴翻折，∵Rt△GBE∽Rt△GB′C′，∴GB：GB′=EB：B′C′,即（30−GB′）：GB′=3：12,解得：GB′=24，

∴S△B′C′G=⋅B′C′⋅B′G=×12×24=144，

∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等。