中考培优竞赛专题经典讲义 第24讲 轨迹问题之圆弧轨迹

第24讲 轨迹问题之圆弧轨迹

上一节讲的是直线轨迹问题，本章节将讲解轨迹为圆弧的情况。

模型讲解

动点P到定点O的距离为                ∠P保持不变，∠P所对的边长为d保

d保持不变，则点P的轨迹               持不变，则∠P的顶点P的轨迹

为以点O为圆心，d为半径的圆上.        为圆弧.（简称：定边定角）

【例题讲解】

例题1、在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为       cm2.

【分析】我们发现在EF的运动过程中，EF始终与矩形四个顶点组成一个直角三角形，EF作为斜边不变，所以根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可知斜边中线也不变.

【解析】连接BP

∴BP＝－EF＝1

∴此时图中点P的运动轨迹为以点B为圆心，1cm为半径的圆弧上

同理，∴点P在各个角上均作弧线运动

∴轨迹围成的图形为一个矩形减去四个四分之一圆

易求的围成面积为6－π

例题2、在正方形ABCD中，AD＝2，E，F分别为边DC，CB上的点，且始终保持DE＝CF，连接AE和DF交于点P，则线段CP的最小值为         .

【解析】解：如图，在△ADE和△DCF中，

∴△ADE2△DCF（SAS）

∴∠DAE＝∠CDF

∵∠DAE＋∠AED＝90°

∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠DPE＝∠APD＝90°

.∠APD＝90°保持不变

∴点P的轨迹为以AD为直径的一段弧上

∴取AD中点Q，连接CQ，与该圆弧交点即为点P，此时CP值最小在Rt△CQD中，CQ＝

∴CP＝CQ－PQ＝－1

【巩固训练】

1、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2.当∠B最大时，BC的长是          .

2.如图，一根木棒AB的长为2m斜靠在与地面垂直的墙上，与地面的倾斜角∠ABO为60°，当木棒沿墙壁向下滑动至A'，AA'=，B端沿地面向右滑动至点B'.

(1)木棒中点P运动的轨迹是        （填“线段”或者“圆弧”）.

(2)木棒中点从P随之运动至P'所经过的路径长为             .

3、如图，O的半径为2，弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是           .

4、如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△AMN，连接A'C，则A'C长度的最小值是           .

5、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B

时，内心I所经过的路径长为           .

6、如图,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为OG上一动点,CF⊥AE于F,当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为           .

7、如图,以正方形ABCD的边BC为一边向内部做一等腰△BCE，CE=CB，过E做EH⊥BC，点P是△BEC的内心，连接AP，若AB=2，则AP的最小值为           .

8、如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为           .

9、如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7,3），点E在边

AB上，且AE=1，已知点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F（0, ）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为           .

10.如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足

∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为           .

11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=12，点D为线段BC上一动点.以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为           .

12.如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=,点D是AC边上一动点,连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为           .

13.如图,等边三角形ABC中，AB=6，动点E从点B出发向点C运动，同时动点F从点C出发向点A运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AE、BF相交于点P，点H是线段BC上的中点，则线段PH的最小值为           .

14.等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为           .

15.如图,△ABC、△EFG均是边长为4的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M,当△EFG绕点D旋转时,则线段BM长的最大值是           .

16、直线y=x+4分别与x轴、y轴相交与点M、N,边长为2的正方形OABC一个顶点O,在坐标系的原点,直线AN与MC相交与点P,若正方形绕着点O旋转一周,则点P到点（0,2）长度的最小值是           .

参考答案

1. 【解答】解：以A为圆心，AC为半径作⊙O，当BC为⊙O的切线时，即BC⊥AC时，∠B最大，

此时BC＝＝＝．

故答案是．

2. 解: (1)圆弧.

(2)

3. 答案：
4. 答案：5
5. 答案：cm
6. 答案：
7. 答案：
8. 答案：4
9. 答案：
10. 答案：
11. 答案：2
12. 答案：8
13. 答案：
14. 答案：
15. 答案：
16. 答案：
17. 答案：