中考培优竞赛专题经典讲义 第26讲 存在性问题之相似三角形

第26讲 存在性问题之相似三角形

相似存在性问题常涉及的思想方法为反证法，即将问题“何种情况下相似？”转化为“相似时能得到何种情况”

【例题讲解】

例题1、如图，在直角坐标系中有两点，，如果点在轴上与不重合），当和相似时，点坐标为　　．

解：点在轴上，

两个三角形相似时，应该与对应，

若与对应，则，；

若与对应，则，或者．

点坐标为：，或．

故答案为：，或．

②如图，在中，，，动点从点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿边运动，速度为；如果、两动点同时运动，那么何时与相似？

解：当时，有即所以

当时，有即所以所以

例题2.将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已

知，，若以点、、为顶点的三角形与相似，那么的长度是　　．

解：根据△与相似时的对应情况，有两种情况：

①△时，，

又因为，，，

所以，

解得；

②△时，，

又因为，，，，

所以，

解得．

故的长度是或2．

故答案为：或2．

例题3.如图，已知是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、

匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两

点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题：

（1）当时，判断的形状，并说明理由；

（2）作交于点，连接，当为何值时，．

解：（1）是等边三角形

当时

，

又

是等边三角形；

（2）

，

是等边三角形

，

四边形是平行四边形

又，

，

，

解得

当时，．

例题4.如图，已知的三个顶点坐标分别为、、．

（1）求经过、、三点的抛物线解析式；

（2）设直线交轴于点，连接，求证：；

（3）设抛物线与轴交于点，连接交于点，试问以、、为顶点的三角形与相似吗？

解析：（1）设函数解析式为：，由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），
可得，解得：，故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：
（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：，即直线BC的解析式为．故可得点E的坐标为（0，2），从而可得： ，CE=

，故可得出AE=CE；
 

（3）相似．理由如下：设直线AD的解析式为y=kx+b，则，解得：，即直线AD的解析式为．联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：，即点F的坐标为，则，又∵AB=5，，∴，∴，又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA．故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似

例题5.如图，抛物线与直线交于，两点，交轴与，两点，连接，，已知，．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）把，代入，得

，

解得：．

抛物线的解析式为．

联立，

解得：或，

点的坐标为．

过点作轴于，如图1．，，

，，，，．

，，．

同理：，，

，

；

（Ⅱ）（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．

过点作轴于，则．

设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．

，，．

若点在点的下方，

①如图2①，当时，则．

，，，

．

．

则．把代入，得：，

整理得：，解得：（舍去），（舍去）．

②如图2②，当时，则．

同理可得：，则，

把代入，得：，

整理得：，解得：（舍去），，，；

若点在点的上方，

①当时，则，

同理可得：点的坐标为．

②当时，则．

同理可得：点的坐标为，．

综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，．

【巩固练习】

1、如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，点D、E分别为AB、AC边上一动点，AD=1，当AE的长为多少时，A、D、E三点组成的三角形和△ABC相似？；

2.如图，直线与轴、轴分别交于点、，点、是直线与双曲线的两

个交点，过点作轴于点，且的面积为1．

（1）求双曲线的函数解析式；

（2）若在轴上有一动点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

3.如图，矩形中，，，动点在边上，与点、不重合，过点作的垂线，交直线于点．设，．

（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围．

（2）当时，求的长．

（3）若直线与线段延长线交于点，当与相似时，求的长．

4.阅读理解：

如图1，在四边形的边上任取一点（点不与点、点重合），分别连接，，可以

把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上

的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的强相似点．

解决问题：

（1）如图1，，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形中，，，且，，，四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形的边上的一个强相似点；

拓展探究：

（3）如图3，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究和的数量关系．

5.如图，已知二次函数的图象过点，．

（1）求二次函数的解析式：

（2）求证：是直角三角形；

（3）若点在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点作垂直轴于点，是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6.如图，某抛物线顶点坐标为与轴交于点，与轴交于、两点

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线的对称轴与直线交于点，连接、，求的面积．

（3）点为直线上一动点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

7.如图，直线与轴、轴分别交于点、，经过、两点的抛物线

与轴的负半轴上另一交点为，且．

（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点的坐标；

（2）若点是射线上一点，且以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

8.如图，已知二次函数，为常数）的图象经过点，点，顶

点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，连结．

（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；

（2）若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点

落在的内部（不包括的边界），求的取值范围；

（3）点是直线上的动点，若点，点，点所构成的三角形与相似，请直接写出所有点的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

9.如图所示，已知抛物线，与轴从左至右依次相交于、两点，与轴相交于点，经过点的直线与抛物线的另一个交点为．

（1）若点的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

（2）若在第三象限内的抛物线上有点，使得以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；

10.如图，已知抛物线的方程与轴相交于点、，与轴相交于点，且点在点的左侧．

（1）若抛物线过点，求实数的值；

（2）在第四象限内，抛物线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

11、如图，已知抛物线是实数且与轴的正半轴分别交于点、（点位于点的左侧），与轴的正半轴交于点．

（1）点的坐标为　　，点的坐标为　 　（用含的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点，使得四边形的面积等于，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点，使得，和中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案

1.解：①如图1，∵∠A=∠A，∴当 时，△ADE和△ABC相似，

∴ ，解得：AE= ；

②如图2，∵∠A=∠A，∴当 时，△ADE和△ACB相似，

∴ ，解得：AE= ，综合上述：AE的长为 或 ；

2.解：（1）当时，，

．

点，

，

解得：或（舍去），

．

点在双曲线上，

，

双曲线的函数解析式为．

（2）为直角三角形，点在轴上，

点在点的下方，，

有存在两种情况（如图所示）

①当时，点与点重合，

此时点的坐标为；

②当时，设点的坐标为．

点在直线上，

，，

直线．

当时，，

．

，，

，，，，．

，

，即，

解得：，

此时点的坐标为．

综上可知：点的坐标为或．

3.解（1）∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=2，∠ADC=∠BCD=90°．
又∵AF⊥DE，∴∠ADF=∠DCE=90°，∠DAF=∠EDC=90°-∠DFA，
∴△ADF∽△DCE，∴∴，即

∵点E在线段BC上，与点B、C不重合，
∴0<y<4，∴0<即0<x<8，∴（0<x<8）；
（2）①当点F线段DC上时，
∵CF=1，∴DF=x=2-1=1，此时；
②当点F线段DC延长线上时，
∵CF=1，∴DF=x=2+1=3，此时

∴当CF=1时，EC的长为．

（3）在中，

在中，

∵AD//BC∴△ADF∽△GCF∴∴

∵∴∴当△DBE与△DFG相似时,可分以下两种情况：

①△DEB∽△GFD，如图，有∴

∴解得

②△DEB∽△DFG, 如图，有∴∴解得

综上所述：DF的长为或

4.解析：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．

∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°∴∠ADE=∠BEC．∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

（2）作图如下：

（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．

由折叠可知：△ECM≌△DCM∴∠ECM=∠DCM，CE=CD∴∠BCE=∠BCD=30°∴BE=CE=AB

在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°∴，∴

5.解：（1）由题意得，函数图象经过点，，

故可得：，

解得：，

故二次函数关系式为：．

（2）由（1）所求函数关系式可得点坐标为，点坐标为，，

又点，，

，，

，

满足，

是直角三角形．

（3）存在点的坐标，点的坐标为，或，．

设点坐标为，，则，，

①若，则，即，

解得：或（因为点在第二象限，故舍去）；

代入可得，即坐标为，；

②若，则，即，

解得：或（因为点在第二象限，故舍去）．

代入可得，即坐标为：，．

综上所述，满足条件的点有两个，即，、，．

6.解：（1）依题意，设抛物线的解析式为，将代入，

得：，解得，

所以抛物线的解析式：，即；

（2）与轴交于、两点，

、；

设直线的解析式为：，代入点的坐标后，得：

，解得，

直线；

抛物线的对称轴为：，则；

，，，

即：，

是直角三角形，且；

；

（3）由题意知：轴，则，若与相似，则有：

①，即轴；

将点纵坐标代入抛物线的解析式中，得：

，解得；

当时，；

当时，；

所以，、，．

②；

易知，直线，联立抛物线的解析式有：

，

，

解得、；

当时，；

当时，；

所以、．

综上，存在符合条件的点，且坐标为：，、，、、．

7.解：（1）令，则，

解得，

令，则，

点，，

，

，

，

点，

把点、、的坐标代入抛物线解析式得，，

解得，

该抛物线的解析式为，

，

顶点；

（2），，

，

，，

是等腰直角三角形，

，，

，，

，

①和是对应边时，，

，

即，

解得，

过点作轴于，

则，

，

点的坐标为，；

②和是对应边时，，

，

即，

解得，

过点作轴于，

则，

，

点的坐标为，

综上所述，点的坐标为，或时，以点、、为顶点的三角形与相似．

8.解：（1）把点，点代入二次函数得，

  解得

二次函数解析式为，

配方得，

点的坐标为；

（2）设直线解析式为，把点，代入得，

解得

直线的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点、点

把代入直线解析式解得，则点坐标为，点坐标为

，解得；

（3）连接，作轴并延长交于点，则点坐标为

，

，

把代入解得，则点坐标为，

，，

，

，

由此可知，若点在上，则，则点与点必为相似三角形对应点

①若有，则有

，，

，

，

，

若点在轴右侧，作轴，

，

把代入，解得，

；

同理可得，若点在轴左侧，则把代入，解得

；

②若有，则有

，

若点在轴右侧，把代入，解得；

若点在轴左侧，把代入，解得

；．

所有符合题意得点坐标有4个，分别为，，，．

9.解：（1），

点的坐标为、点两的坐标为，

直线经过点，

，

，

当时，，

则点的坐标为，

点在抛物线上，

，

解得，，

则抛物线的解析式为；

（2）如图1中，作轴于，设点坐标，

当时，，

，即，

，即，

解得或1（舍弃），

当时，，

，

，

，

，

解得或（舍弃），

则，

点坐标．

当时，，

，即，

，

，

，

解得或1（舍弃），

当时，，

，

，即，

，

解得或（不合题意舍弃），

则点坐标，

综上所述，符合条件的点的坐标和．

10.解：（1）依题意，将代入抛物线解析式得：

，解得．

（2）分两种情形讨论：

①当时，如解答图2所示．

则，

，．

由函数解析式可得：，，即，

，

，

作轴于点，则，

．

设，，又点在抛物线上，

，

，

，

，．

此时，，，

又，

，

，

，

．

②当时，如解答图3所示．

则，

．

，

，

，

，

设，

又点在抛物线上，

，

，

，

，

，，，，

又，

整理得：，显然不成立．

综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，．

11.解：（1）令，即，

解得：或，

是实数且，点位于点的左侧，

点的坐标为，

令，

解得：，

点的坐标为，

故答案为：，；

（2）存在，

假设存在这样的点，使得四边形的面积等于，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形．

设点的坐标为，连接．

则，

．

过作轴，轴，垂足分别为、，

．

四边形是矩形．

．

．

，，即．

由解得

由得，即，

解得符合题意．

的坐标为，；

（3）假设存在这样的点，使得，和中的任意两个三角形均相似．

，

，．

要使与相似，只能，即轴．

，

，

．

只能．此时，

由轴知轴．

．

要使与相似，只能或．

当时，．

．

由得：．

解得：．

，

．

点的坐标是．

当时，，

，即．

又，

．即．

解得：，此时符合题意，

点的坐标是．

综上可知，存在点或，使得，和中的任意两个三角形均相似．