2022-2023学年浙江省温州市鹿城区白鹿外国语学校八年级（下）第一次质检数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省温州市鹿城区白鹿外国语学校八年级（下）第一次质检数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若是一元二次方程的一个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列二次根式，化简后能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  用配方法解方程，下列配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园如图，作为劳动教育系列课程的实验基地之一为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为设小道的宽为，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知关于的方程是常数，则下列说法中正确的是(    )

A. 方程一定有两个不相等的实数根 B. 方程一定有两个实数根
C. 当取某些值时，方程没有实数根 D. 方程一定有实数根

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若，则______．

12.  一元二次方程的根是______．

13.  已知，则        ．

14.  已知方程的两根为，则        ．

15.  对于任意两个不相等的数，，定义一种新运算“”如下：，如：，那么______．

三、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算
；
．

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
已知，，求：
和的值；
求的值．

19.  本小题分
已知关于的方程．
求证：无论取何值，这个方程总有实数根；
若等腰的一腰长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．

20.  本小题分
某种商品的标价为元件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为元件，并且两次降价的百分率相同．
求该种商品每次降价的百分率；
若该种商品进价为元件，若以元件售出，平均每天能售出件，另外每天需支付其他各种费用元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售出件，如果每天盈利元，每件应降价多少元？

21.  本小题分
如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．
用含的式子表示：        ，        ，        ，        ，        ；
当的面积为时，求运动时间；
四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．

22.  本小题分
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设其中、、、均为整数，则有，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：        ，        ；
若，且、、均为正整数，求的值；
化简下列格式：


．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，是整数，不是二次根式，故此选项不合题意；
B.，根据一定大于，则一定是二次根式，故此选项符合题意；
C.无意义，故此选项不合题意；
D.，的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用二次根式的定义，根号下部分一定大于等于零，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的特点是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，是一元一次方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B.，含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C.即，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
D. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义即可求解，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意，得
且，
解得，
函数自变量的取值范围是．
故选：．
根据二次根式和分式有意义的条件解答．
本题考查函数自变量的取值范围，涉及二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握相关知识是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意．
故选：．
根据二次根式的四则运算法则，逐项判断即可求解．
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
解得：，
故选：．
根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，不符合题意；
B、与不能合并，不符合题意；
C、与不能合并，不符合题意；
D、与能合并，符合题意．
故选：．
根据同类二次根式的定义解答即可．
本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：原方程移项，
得，
等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方，
，
；
故选：．
配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．
本题考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由数轴可知：，
，
原式


，
故选A．
根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是由数轴得出，本题属于基础题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：小道的宽为米，
种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：．
故选：．
由小道的宽为米，可得出种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形，再根据种植面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：化简方程，得，
当时方程为一元一次方程，只有一个实数根，
当时，
，
方程一定有实数根．
故选：．
当时方程为一元一次方程，只有一个实数根，当时利用判定方程根的情况即可．
本题主要考查了一元二次方程．解题的关键是二次项的系数及如何确定方程有无实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：，都有意义，
，，
，
，
．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的值是解题关键．
 

12.【答案】或 

【解析】解：，
或，
或，
故答案为：或
根据因式分解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：有意义，
，即，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件得到，则，由此求出，据此即可得到答案．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确得到是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系代入即可求解．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键在两根积与两根和公式的熟练程度．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．
本题主要考查的是算术平方根的性质，根据定义运算列出算式是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式


；

原式

． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案；
直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
或，
，． 

【解析】利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 

18.【答案】解：，，
，
；

，，




． 

【解析】根据二次根式的加法法则即可求出，根据二根式的乘法法则即可求出；
先根据完全平方公式变成，再代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

19.【答案】证明：，
无论取何值，这个方程总有实数根；
解：将代入原方程，得：，
解得：，
原方程为，
解得：，．
、、能组成三角形，
该三角形的周长为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：无论取何值，这个方程总有实数根；
将代入原方程可求出值，代入值解方程即可求出、的长度，再根据三角形的三边关系及三角形的周长公式即可求出的周长．
本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；代入求出值．
 

20.【答案】解：设该种商品每次降价的百分率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：该种商品每次降价的百分率为；
设每件商品应降价元，根据题意，得：
，
解方程得，，
在降价幅度不超过元的情况下，
不合题意舍去．
答：每件商品应降价元． 

【解析】设该种商品每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
关系式为：每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量每天盈利，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
 

21.【答案】         

【解析】解：从点开始沿边向点以的速度移动，
，
，
，
动点从点开始沿边向点以的速度移动，
，
，

，
故答案为：，，，，；
由得，，
，，
当的面积为时，运动时间为或．
由得，，
，舍，
，
四边形的面积不能等于．
根据路程速度时间，可得、、的长，从而得出的面积，根据，可得答案；
由得，，解一元二次方程即可；
由得，，解一元二次方程即可，注意本题的取值范围．
本题主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：设其中、、、均为整数，
则有，；
故答案为：，；
，
，
、、均为正整数，
，或，，
当，时，；
当，时，；
即的值为或；


；



；
设，
则




，
．
利用完全平方公式展开可得到用、表示出、；
利用中结论得到，利用、、均为正整数得到，或，，然后利用计算对应的值；
设，两边平方得到，然后利用中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到的值．
本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．