2021届辽宁省丹东市高三下学期总复习质量测试（一）（一模）数学试题 PDF版

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2021年丹东市高三总复习质量测试（一）
数学试题参考答案
一、选择题
1．B
2．A
3．B
4．D
5．A
6．C
7．C
8．A
二、选择题
9．ACD
10．BC
11．CD
12．ABD
三、填空题
13．3
14．3π
15．14
16．90º，10或
四、解答题
17．解：
方案一：选条件①．
设{an}的的公比为q，由题设可得1＋q＝－1，q＝－2．
因为(Sn－Sn＋1)－(Sn＋2－Sn)＝－2an＋1－an＋2＝0，所以Sn－Sn＋1＝Sn＋2－Sn．
于是Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
…………（10分）
方案二：选条件②．
设{an}的的公比为q，由题设可得q3＝－27，q＝－3．
因为(Sn－Sn＋1)－(Sn＋2－Sn)＝－2an＋1－an＋2＝an＋1≠0，所以Sn－Sn＋1≠Sn＋2－Sn．
于是Sn＋1，Sn，Sn＋2不能成等差数列．
…………（10分）
方案二：选条件③．
由题设可得a6＋a7＝0，设{an}的的公比为q，则q＝－1．
因为(Sn－Sn＋1)－(Sn＋2－Sn)＝－2an＋1－an＋2＝－an＋1≠0，
所以Sn－Sn＋1≠Sn＋2－Sn．
于是Sn＋1，Sn，Sn＋2不能成等差数列．
…………（10分）
18．解：
（1）由题设及正弦定理可得sinCcosA＋cosCsinA＋2sinBcosB＝0．
所以sin(A＋C)＋2sinBcosB＝0．
因为sin(A＋C)＝sinB≠0，所以cosB＝－．
因为0＜B＜π，于是B＝．
…………（4分）
（2）因为5a＝3c，可设a＝3t，c＝5t．
因为△ABC的周长为15，所以b＝15－8t．
因为cosB＝－，由余弦定理可得b2＝(a＋c)2－ac．
所以(15－8t)2＝(8t)2－15t2，解得t＝1，或t＝15．
舍去t＝15，取t＝1，得a＝3，c＝5．
因此△ABC的面积S＝acsinB＝．
…………（12分）
19．解法1：
（1）因为AD∥平面A1B1C1，平面ADC1与平面A1B1C1的交线为l，所以AD∥l．
因为l⊥平面BB1C1C，所以AD⊥平面BB1C1C．
…………（4分）
（2）可知AD⊥BC，因为AB＝AC，所以D为BC的中点．
因为AD⊂平面ABC，由（1）可知平面ABC⊥平面BB1C1C．
…………（6分）
C
D
A
B
A1
C1
B1
y
x
z
以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系D－xyz．
||＝1，因为∠B1BC＝60°，所以D(0，0，0)，C(1，0，0)，A(0，，0)，C1(2，0，)．
所以＝(2，－，)，＝(0，，0)，＝(1，－，0)．
设平面DAC1的法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则即取n1＝(，0，－2)．
设平面AC1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则即取n2＝(，1，－1)．
因为|cos＜n1，n2＞|＝＝．
因为二面角D－AC1－C为锐角，所以二面角D－AC1－C的余弦值为．
…………（12分）
解法2：
（1）同解法1．
（2）可知AD⊥BC，因为AB＝AC，所以D为BC的中点．
…………（6分）
C
D
A
B
A1
C1
B1
F
E
因为AD⊥平面BB1C1C，所以平面ADC1平面BB1C1C，交线为DC1．过C在平面BB1C1C内作CE⊥DC1，垂足为E，则CE⊥平面ADC1．
过E在平面ADC1内作EF⊥AC1，垂足为F，连结CF，则CF⊥AC1，所以∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角，F为AC1的中点．
设BC＝2，因为∠B1BC＝60°，在△DB1C1中，DC1＝．在△DCC1中，CE＝．
因为F为AC1的中点，所以CF＝．
在直角三角形CEF中，cos∠EFC＝，即二面角D－AC1－C的余弦值为．
…………（12分）
20．解：
（1）因为C的离心率为，所以＝，可得a＝2b．
A2 (a，0)，C的一条渐近线方程为x－2y＝0，由＝可得a＝2．
所以b＝1，于是C的方程为－y2＝1．
…………（6分）
（2）设P(x0，y0)，则－y02＝1．
设直线PA1，PA2斜率分别为k1，k2，因为A1(－2，0)，A2(2，0)，则
k1k2＝·＝＝＝．
直线PA1方程为y＝k1(x＋2)，直线PA2方程为y＝(x－2)，x＝1分别代入可得
M(1，3k1)，N(1，－)．
设T(t，0)，则经过三点M，N，Q圆的圆心D(，－)．
由|DQ|2＝|DM|2可得 ()2＋(－)2＝()2＋(－－)2，解得t＝．
于是经过三点M，N，Q的圆经过x轴上的定点T(，0)．
…………（12分）
21．解法1
（1）由题设P(2)表示3根光纤中至少2根能正常传输信号的概率，因此
P (2)＝p2(1－p)＋p3＝3p2－2p3．
…………（4分）
（2）当p＝时，
P(k)＝()i()2k-1-i＝()2k-1．
因为
＝＝·22k-1＝22k-2．
所以
P(k)＝()2k-122k-2＝．
…………（8分）
（3）2k－1根光纤中至少k根能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作，故
P(k)＝pi(1－p)2k-1-i．
新增的两根光纤都能正常工作、仅有一个能正常工作、都不能正常工作时，2k＋1根光纤组成的5G传输设备可以正常工作的概率分别设为P1，P2，P3，则
P1＝p2[pk-1(1－p)k＋P(k)]；
P2＝2p(1－p)P(k)；
P3＝(1－p)2[P(k)－pk(1－p)k-1]．
所以新增两根光纤这个5G传输设备正常工作的概率
P(k＋1)＝P1＋P2＋P3＝P(k)＋(2p－1)pk(1－p)k．
因此
P(k＋1)－P(k)＝(2p－1)pk(1－p)k．
由0＜p＜1，(2p－1)pk(1－p)k-1＞0，可得＜p＜1．
因此当p的取值范围为(，1)时，新增两根光纤可以提高5G传输设备正常工作的概率．
…………（12分）
解法2
（1）（2）同解法1．
（3）2k－1根光纤中至少k根能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作，故
P(k)＝pi(1－p)2k-1-i．
设2k－1根光纤中恰有k－1根能正常传输信号、恰有k根能正常传输信号、至少k＋1根能正常传输信号的概率分别为P1，P2，P3，则
P1＝pk-1(1－p)k＝pk (1－p)k-1，
P2＝pk(1－p)k-1，
P3＝P(k)－pk(1－p)k-1．
所以新增两根光纤这个5G传输设备正常工作的概率
P(k＋1)＝p2P1＋[1－(1－p)2]P2＋P3
＝(2p－1)pk(1－p)k-1＋P(k) ．
因此
P(k＋1)－P(k)＝(2p－1)pk(1－p)k．
由0＜p＜1，(2p－1)pk(1－p)k-1＞0，可得＜p＜1．
因此当p的取值范围为(，1)时，新增两根光纤可以提高5G传输设备正常工作的概率．
…………（12分）
22．解：
（1）f (x)定义域为R，f ′(x)＝(x＋1)(ex－2) ．
当x＜－1或x＞ln2时，f ′(x)＞0，当－1＜x＜ln2时，f ′(x)＜0，所以在(－∞，－1)单调递增，在(－1，ln2)单调递减，在(ln2，＋∞)单调递增．
…………（4分）
（2）因为f (x)＋f (－x)＝x(ex－e-x－2ax)是偶函数，所以f (x)＋f (－x)≥0等价于
当x≥0时，ex－e-x－2ax≥0．①
设g (x)＝ex－e-x－2ax，g ′(x)＝ex＋e-x－2a．
ex＋e-x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，于是g ′(x)≥2(1－a)．
若a≤1，g ′(x)≥0，在[0，＋∞)单调递增，g (x)≥g (0)＝0，①式成立．
…………（8分）
若a＞1，当x满足2＜ex＋e-x＜2a，即0＜x＜ln(a＋)时，g ′(x)＜0，g (x)单调递减，g (x)＜g (0)＝0，①式不成立．
综上，实数a的取值范围(－∞，1]．
…………（12分）
【或者】若a＞1，g ′′(x)＝ex－e-x≥0，g ′(x)在[0，＋∞)单调递增．
因为g ′(0)＝2(1－a)＜0，g ′(ln2a)＝＞0，所以存在x0∈(0，ln2a)，使得当x∈(0，x0)时， g ′(x)＜0，g (x)单调递减，g (x)＜g (0)＝0，①式不成立．
综上，实数a的取值范围(－∞，1]．
…………（12分）小题详解
1．解：
因为M∩N＝M，N∪P＝P，所以M⊆ N，N⊆ P，故M⊆ P，因此M∩P＝M，选B．
2．解：
因为z(1－2i)＝－3＋4i，所以|z||1－2i|＝|－3＋4i|，|z|＝，因此z·＝|z|2＝5，选A．
3．解：
f (2)＝2，f (－2)＝－2，f ′(x)＝3x2－3，由f (2)－f (－2)＝f ′(c)( 2＋2)可得f ′(c)＝1，即3c2－3＝1，c2＝±∈[－2，2]，f (x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2，选B．
4．解：
在空间，若“三条直线两两相交”，三条直线相可以交于同一个点，此时这三条直线可能不在同一平面内；若“这三条直线在同一平面内”，他们之间有可能存在相互平行的直线，此时三条直线未必两两相交．于是“三条直线两两相交”是“这三条直线在同一平面内”的既不充分也不必要条件，选D．
5．解：
因为|a＋b|＝＝，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝2，可得
cos＝＝，而0≤≤π，所以＝，选A．
6．解：
由题设可得0.1＝ma10，0.2＝ma20，可得a＝2，m＝0.05．
由0.5＝mat可得2＝10，t＝≈33，选C．
7．解：
设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则x12＋＝1， x22＋＝1，相减得·＝－2．
因为l的斜率为2，所以·＝2，于是OM的斜率为＝－1，选C．
8．解：
f (x)＝log2(＋1)定义域为{x|x＜－a－1或x＞－a}．因为f (x)是奇函数，所以
－a－1＝a，a＝－．
此时f (x)＝log2，因为f (－x)＝log2＝－f (x)，因此a值为－．
因为函数g(x)图象与函数f (x)图象关于直线y＝x对称，所以g (x)的值域为是f (x) 的定义域(－∞，－)∪(，＋∞)，选A．
9．解：
五年来农村贫困发生率下降了5.1个百分点，选项A正确．
2016~2017年间贫困人口数下降了1289万，贫困发生率下降1.4个百分点，2017~2018年间贫困人口数下降了1386万，贫困发生率也是下降1.4个百分点，因此2017~2018年间农村人口总数多于2016~2017年间农村人口总数，选项B错误．
五年来农村贫困人口数逐年减少，选项C正确．
五年来农村贫困人口减少超过九成人数为5024万，占2015年贫困人口数5575的90.12%，选项D正确．
综上，选ACD．
10．解：
当x＝1时，[－x]＝－1，－[x]－1＝－2，选项A错误．
若[x1]≤[x2] 不成立，则[x1]＞[x2]，所以[x1]－[x2]≥1，[x1]≥[x2]＋1
因为x1≥[x1]，[x2]＋1＞x2，因此x1≥x2，这与x1＜x2矛盾，所以选项B正确．
若0≤x＜0.5，则0.5＜x＋0.5＜1，[x＋0.5]＝0，而1＜2x＋1＜2，所以0＜2x＜1，
故[2x]＝0，从而[x＋0.5]＝[2x]．
若0.5≤x＜1，则1≤x＋0.5＜1.5，[x＋0.5]＝1，而2≤2x＋1＜3，所以1≤2x＜2，
故[2x]＝1，从而[x＋0.5]＝[2x]．
综上，若0≤x＜1，则[x＋0.5]＝[2x]，选项C正确．．
若x1＝0.5，x2＝1.5，则[x1＋x2]＝2，[x1]＋[x2]＝1，选项D错误．
综上，选BC．
11．解：
由题设ai-1＝(i－1)2＋1＝i2－2i＋2，选项A错误．
a10-3＝a10-1＋(3－1)×1＝85，选项B错误．
叠加可得第i行中间数为i2－i＋1，从而第8行中间数为57，选项C正确．
由(i－1)2＋1≤210≤i2，可得i＝15，a15-1＝197．
由210＝a15-1＋(j－1)×1得j＝14，所以i＋j＝29，选项D正确．
综上，选CD．
12．解：
因为f (x)是偶函数，当0≤x≤时，f (x)＝2sin(x－)，f (x＋π)＝f (x)，所以π为f (x)的一个周期，选项A正确．
当0≤x≤时，2sin(x－)∈[－1，]，选项B正确．
当0≤x≤时，sin(x－)单调递增，因为f (x)是偶函数，所以f (x)在(－，)上没有单调性，选项C错误．
当0≤x≤时，sin(x－)＝0，可得x＝，因此f (－)＝0，f ()＝f (－)＝0，
f (x)在[－π，π]上有四个零点，选项D正确．
综上，选ABD．
13．解：
因为sinθ＝－2cosθ，所以tan(θ－45º)＝＝＝3．
14．解：
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则πrl＝6π，2πr＝πl，得r＝，l＝2，所以h＝3，该圆锥的体积V＝πr2h＝3π．
15．解：
第一步，将4名学生分成两个组，有＋＝7种分法，第二步，将2组学生安排到2个社区，有＝2种安排方法，所以，不同的安排方法共有7×2＝14种．
16．解：
由题设知p＝4，F(2，0)，M是QF的中点．
因为|PF|＝|PQ|，所以PM是线段QF的中垂线，因此△PFN≌△PQN，∠PFN＝90º．
因为N(－2，3)，所以|QN|＝|NF|＝5．
设P(x0，y0)，则y0＝3±|QN|＝8或－2，x0＝＝8或，于是|PF|＝x0＋2＝10或．