2023安徽省皖北县中联盟高一下学期3月联考数学试题含解析

2022～2023学年度第二学期高一年级3月联考

数学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章（35％），必修第二册第六章（65％）．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列说法中不正确的是（    ）

A. 零向量与任一向量平行 B. 方向相反的两个非零向量不一定共线

C. 单位向量是模为1的向量 D. 方向相反的两个非零向量必不相等

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量定义、共线向量、相等向量的定义求解.

【详解】根据规定：零向量与任一向量平行，A正确；

方向相反的两个非零向量一定共线，B错误；

单位向量是模为1的向量，C正确；

根据相等向量的定义：长度相等方向相同的两个向量称为相等向量，

所以方向相反的两个非零向量必不相等，D正确；

故选:B.

2. 下列函数中值域为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的性质逐项进行分析验证即可求解.

【详解】对于A，函数，值域为，故选项A正确；

对于B，函数，值域为，故选项B错误；

对于C，函数，值域为，故选项C错误；

对于D，函数，值域为，故选项D错误，

故选：A.

3. 的值所在的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数性质即可得解.

【详解】，

因为，所以，所以，

所以的值所在的范围是.

故选：A.

4. 在中，D为的中点，E为边上的点，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算结合图形即可得解.

【详解】由E为边上的点，且，

得.

故选：C

5. 将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】先根据周期变换和平移变换的原则得出函数的解析式，再将代入即可.

【详解】将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得，

再向右平移个单位长度，得，

即，

所以.

故选：B.

6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（    ）

A. 4 B. 6 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可.

【详解】因为，由正弦定理可得，

则，

，，，

，为内角，

，则，，,

故选：D

7. 已知函数，若函数的图象关于y轴对称，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角恒等变换公式以及正弦函数的性质即可求解.

【详解】

所以，

所以图象关于y轴对称，

则有即，

所以，

所以当时，最小等于，

故选:B.

8. 已知，是单位向量，且，的夹角为，若，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将两边平方，则可转化为关于的二次不等式恒成立问题，再利用根的判别式即可得解.

【详解】，即，

即，即对任意的恒成立，

则，解得，

又因为，所以.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将已知平方，转化为关于的二次不等式恒成立问题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是（    ）

A. 若，则与不是共线向量 B.

C. 若，且，则 D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据数量积的运算律即可判断B；举反例即可判断C；根据数量积的定义即可判断D.

【详解】对于A，当时，，但是共线向量，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，若，且，则，

不妨取，此时，故C错误；

对于D，表示的是与共线的向量，表示的是与共线的向量，

而向量的方向不确定，所以无法确定与是否相等，故D错误.

故选：ACD.

10. 已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则 B. 存在，使得

C.  D. 当时，在上的投影向量的坐标为

【答案】CD

【解析】

【分析】根据平面向量共线的坐标公式即可判断A；根据平面线路垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标计算即可判断C；根据投影向量的计算公式即可判断D.

【详解】对于A，若，则，解得，故A错误；

对于B，若，则，

即，方程无解，

所以不存在，使得，故B错误；

对于C，，所以，故C正确；

对于D，当时，，，

则在上的投影向量的坐标为，故D正确.

故选：CD.

11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（    ）

A. 若，则为锐角三角形

B. 若为锐角三角形，则

C. 若，则为等腰三角形

D. 若，则是等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】利用余弦定理即可判断A；根据为锐角三角形，可得，且，再结合正弦函数的单调性及诱导公式即可判断B；根据，可得或，即可判断C；利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简即可判断D.

【详解】对于A，若，则，则B为锐角，

不能判定为锐角三角形，故A错误；

对于B，若为锐角三角形，则，且，

所以，故B正确；

对于C，因为，

所以或，即或，

所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；

对于D，因为，所以，

即，所以，

因为，所以，所以，

所以是等腰三角形，故D正确.

故选：AC.

12. 已知函数，若，则（    ）

A.  B.

C.  D. 在上无最值

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据可得从而可得，进而可求解.

【详解】对A，，

因为，所以，

所以，则，

所以，A正确；

对B，由可得，

所以的最小正周期为，

又因为，

所以，B正确；

对C，且，所以，C正确；

对D，若，由可得，

则在上既有最大值又有最小值，D错误，

故选:ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若函数的最小正周期为，则__________．

【答案】1

【解析】

【分析】利用二倍角的余弦公式和周期公式求解.

【详解】因为，

因为最小正周期为，所以解得，

故答案为:1.

14. 已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则y的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】由与的夹角为锐角，可得，且与不同向，先由，再排除时的值，即可得解.

【详解】由题意可得，

因为与的夹角为锐角，

所以且与不同向，

由，即，解得，

当时，则，解得，

综上y的取值范围为.

故答案为：.

15. 一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则__________．

【答案】##

【解析】

【分析】在中，利用正弦定理求出，在中，先利用余弦定理求出，再利用余弦定理即可得解.

【详解】如图，在中，，

则，

因为，所以，

在中，，

则，所以，

则.

故答案为：.

16. 函数的一个单调减区间为__________．（答案不唯一）

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正切两角差公式、正切型函数的和符合函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为，

要使函数有意义，

则有，所以，

解得：，

所以函数的定义域为，

，

令，则，

因为函数定义域为，

由复合函数的单调性可知：函数的一个单调减区间为
故函数的一个单调减区间为.

故答案为：（答案不唯一）.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 求的值．

【答案】3

【解析】

【分析】利用两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式化简求值.

【详解】因为

，

所以.

18. 已知，，且．

（1）求与的夹角；

（2）若，求实数k的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将两边平方，结合数量积的运算律即可得解；

（2）根据，可得，再结合数量积的运算律即可得解.

【小问1详解】

由，得，

即，

由，可得，

所以，

又，所以，

即与的夹角为；

【小问2详解】

因为，

所以，即，

即，解得.

19. 如图，在平面四边形中，若，，，，．

（1）求B；

（2）求证：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）在中，利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式即可得解；

（2）在中，先利用正弦定理求出，再在和中，利用余弦定理证明，即可得证.

【小问1详解】

在中，因为，

所以，

即，

所以，

又，所以，

因为，所以；

【小问2详解】

在中，，

则，

所以，

则，

在中，，，，

则，

因为且，

所以.

20. 已知点G在内部，且．

（1）求证：G为的重心；

（2）过G作直线与，两条边分别交于点M，N，设，，，求的最小值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别取的中点，连接，证明三点共线，可得为边上的中线，同理可证得是边上的中线，是边上的中线，即可得证.

（2）根据已知得出，结合，，根据M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，可得的关系，再结合基本不等式即可得解.

【小问1详解】

分别取的中点，连接，

因为，所以，即，

所以，

又点为两向量的公共端点，所以三点共线，

所以为边上的中线，

同理可得是边上的中线，是边上的中线，

又交于点，

所以G为的重心；

【小问2详解】

点G为的重心，，

，

，

与共线，存在实数，使得，

则，

根据向量相等的定义可得，消去可得，

两边同除，整理得，

所以，

当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.

21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）若，D为边的中点，，求a；

（2）若，求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）在和中，利用余弦定理结合，可得关系式，在中，利用余弦定理可得的关系式，即可得解；

（2）根据，，结合正弦定理化角为边，即可求得角，再利用余弦定理即可基本不等式即可得解.

【小问1详解】

在中，，

在中，，

因为，所以，

即，化简得，

在中，由，得，

所以，解得或（舍去），

所以，所以；

【小问2详解】

因为，，

所以，所以，

又，所以，

则，

所以，当且仅当时，取等号，

所以，

即面积的最大值．

22. 已知函数．

（1）求函数的解析式；

（2）若关于x的方程在内有两个不相等的实数根，求证：．

【答案】（1）   

（2）证明过程见详解

【解析】

【分析】（1）令，利用二倍角的余弦公式将函数式化简，然后换元即可求解；

（2）结合（1）结论和题意可得且，，利用两角和与差的余弦公式，以及余弦函数的单调性即可证明.

【小问1详解】

令，

因为，

则，

所以函数的解析式为.

【小问2详解】

结合(1)可知：则，由题意可知：方程在内有两个不相等的实数根，所以，

则，即，

因为，且，所以，

则

，

因为，所以，则且，

所以，

因为，所以，则，

则，所以

则，故，所以.