2023大同一中校高一上学期1月期末数学试题含解析

2022-2023学年第一学期高一期末考试数学卷

一.    选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ）

A. y=x B. y=lnx C. y= D. y=

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出各个函数定义域和值域，比较后可得答案．

【详解】解：函数的定义域和值域均为，

函数的定义域为，值域为，不满足要求；

函数的定义域为，值域为，不满足要求；

函数的定义域为，值域为，不满足要求；

函数的定义域和值域均为，满足要求；

故选：．

【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合A，B，再根据交集定义即可求出.

【详解】因为，，

所以.
故选：C.

3. 已知，则的值是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意知，

，

由于，故，则原式.

故选B.

【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题.

4. 函数的零点所在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数解析式，结合在、的值域情况、单调性，结合零点存在性定理判断零点所在区间即可.

【详解】的定义域为且，

在上，恒成立，不存在零点，排除D；

在上，均递增，即在该区间上单调递增，

由解析式知：，，，

∴零点所在的区间是.

故选：B.

5. 已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据的单调性，以及定义域，结合一元二次不等式的求解，直接计算即可.

【详解】对，且定义域为，由复合函数单调性可知其在定义域单调递增，

故，等价于，

由，即，，解得；

由，即，解得；

故实数的取值范围为.

故选：C.

6. 已知，则“存在使得”是“”的（    ）．

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.

【详解】(1)当存在使得时，

若为偶数，则；

若为奇数，则；

(2)当时，或，，即或，

亦即存在使得．

所以，“存在使得”是“”的充要条件.

故选：C.

【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.

7. 已知，且，则的值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】应用诱导公式及同角三角函数的平方关系求，注意根据的范围判断符号.

【详解】由，而，

∴，

∴.

故选：C.

8. 若函数在上的最大值为，最小值为，则的值（    ）．

A 与有关，且与有关 B. 与有关，且与无关

C. 与无关，且与有关 D. 与无关，且与无关

【答案】B

【解析】

【分析】由题意结合同角三角函数的平方关系可得，利用换元法可得，利用二次函数的性质即可得解.

【详解】由题意，

因为，令，

则，

则、分别为在上的最大值与最小值，

由二次函数的性质可得最大值与最小值的差的值与有关，但与无关.

故选：B．

【点睛】本题考查了同角三角函数平方关系应用及三角函数最值相关问题的求解，考查了二次函数性质的应用，属于基础题.

二、多项选择题：共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．

9. 已知，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】因为，

所以，则，

因为，所以，，

所以，故A正确；

所以，

所以，故D正确；

联立，可得，，故B正确；

所以，故C错误.

故选：ABD.

10. 已知函数，下列说法中正确的是（    ）

A. 的定义域为 B. 为奇函数

C. 在定义域内为增函数 D. 若，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用换元法求得，即可判断A，再根据函数奇偶性的判定方法即可判断B，对C直接从解析式形式即可判断其单调性，对D根据单调性解不等式即可.

【详解】设，则，故，

所以，，故A错误，

，且定义域关于原点对称，所以为奇函数，故B正确，

，为增函数，且恒大于0，则为减函数，则为增函数，则为增函数，故C正确，

，根据为增函数，所以，解得，

故D正确.

故选：BCD.

11. 若，，，，则下列结论一定正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】由对数函数的单调性可得出，从而，则关系可判断；由，则关系可判断；取特殊数字可得的大小不定.

【详解】由，则，即，

，即，则，所以故选项A正确.

，所以,故选项C正确.

取 满足，，，此时，

取 满足，，，此时，

所以的大小不定.

故选：AC

12. 已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（    ）

A. 当，有1个零点 B. 当时，有3个零点

C. 当，有4个零点 D. 当时，有7个零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】令得，利用换元法将函数分解为和，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

【详解】令，得，设，则方程等价为，

函数，开口向上，过点，对称轴为

对于A，当时，作出函数的图象：

，此时方程有一个根，由可知，此时x只有一解，即函数有1个零点，故A正确；

对于B，当时，作出函数的图象：

，此时方程有一个根，由可知，此时x有3个解，即函数有3个零点，故B正确；

对于C，当时，图像如A，故只有1个零点，故C错误；

对于D，当时，作出函数的图象：

，此时方程有3个根，其中，，由可知，此时x有3个解，由，此时x有3个解，由，此时x有1个解，即函数有7个零点，故D正确；

故选：ABD．

【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．

三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．

13. ______．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】利用诱导公式进行求解.

【详解】

故答案为：

14. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】设，由复合函数的单调性可得，函数在区间上单调递增且函数值恒大于0，从而列出不等式组求解即可得答案.

【详解】解：设，则，

因为在上单调递增，

所以由复合函数的单调性可得，函数在区间上单调递增且函数值恒大于0，

所以，解得,

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

15. 已知关于方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】参变分离后画出函数图象，数形结合得到，进而求出的取值范围.

【详解】由题意得：，因为，所以，画出函数图象如下：要想保证有两个不同的实数解，则只需与函数图象有两个交点，显然，解得：

故答案为：

16. 给出下列命题：

①若角的终边过点（），则；

②若，是第一象限角，且，则；

③函数的图象关于点对称；

④函数在区间内是增函数；

⑤若函数是奇函数，那么的最小值为．

其中正确的命题的序号是_____．

【答案】③⑤

【解析】

【分析】根据象限角三角函数值的符号（或正弦函数的定义）判断①，根据正弦函数的定义举例判断②，根据正弦函数的对称性代入检验法判断③，把中正弦号后面的系数化为正，然后结合正弦函数的单调性判断④，利用正弦函数与余弦函数的关系与性质判断⑤．

【详解】①当时，是第三象限角，，①错；

②，，都是第一象限角，且，但，②错；

③，是图象的一个对称中心，③正确；

④，时，，因此在区间上是减函数，④错；

⑤函数是奇函数，则，，因此的最小值是，⑤正确．

故答案为：③⑤．

四、解答题：本题共4小题，36分.

17. 已知函数．

（1）化简；

（2）若，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意，利用诱导公式化简的解析式即可求解．

（2）由题意，可得，利用诱导公式及同角三角函数的基本关系即可求解．

【小问1详解】

解：.

【小问2详解】

解：，，即，，

故．

18. 已知函数，其中均为实数.

（1）若函数的图象经过点，，求函数的值域；

（2）如果函数的定义域和值域都是，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）由题意先求得、的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数的值域．

（2）根据函数的定义域和值域都是，求得、的值，可得的值．

【详解】解：（1）函数的图象经过点，

所以，解得，所以

因为，，即，所以

故的值域为

（2）利用指数函数的单调性建立关于的方程组求解.

当时，函数在上为增函数，

由题意得，解得，

当时，函数在上为减函数，

由题意得，解得，

综上：

【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，指数函数的单调性的应用，属于基础题．

19. 2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

若该变异毒株的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择.

（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个. （参考数据：）

【答案】（1）选择函数更合适，解析式为   

（2）11个单位

【解析】

【分析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据时的值估计即可；

（2）根据题意，进而结合对数运算求解即可.

【小问1详解】

若选，将，和，代入得

，解得

得

将代入，，不符合题意

若选，将，和，代入得

，解得

得

将代入得，符合题意

综上：所以选择函数更合适，解析式为

【小问2详解】

解：设至少需要个单位时间，

则，即

两边取对数：

因为，所以的最小值为11

至少经过11个单位时间不少于1亿个

20. 已知函数，记.

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（3）是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由.

【答案】（1）   

（2）奇函数，证明见解析   

（3）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据真数大于0，分别求f(x)和g(x)定义域，F(x)为这两个定义域的交集；

(2)根据函数奇偶性的定义，即可判断；

(3)先根据定义域和值域求出m，n，a的范围，再利用单调性将问题转化为方程有解问题.

【小问1详解】

由题意知

要使有意义，则有

，得

所以函数的定义域为：

【小问2详解】

由(1)知函数F(x)的定义域为：，关于原点对称，

函数为上的奇函数.

【小问3详解】

，

假设存在这样的实数，则由

可知

令，则在上递减，在上递减，

是方程，即有两个在上的实数解

问题转化为：关于的方程在上有两个不同的实数解

令，则有

，

解得，又，∴

故这样的实数不存在.