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2023年江苏省常州市中考数学结课热身练习数学试卷
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这是一份2023年江苏省常州市中考数学结课热身练习数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省常州市中考数学结课热身练习数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）.
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．平行四边形 D．等腰三角形
2．下列各式中计算正确的是（ ）
A．x3+2x3＝3x6 B．m6÷m2＝m3 C．（2a）3＝6a3 D．x2•x4＝x6
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
4．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
5．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．100° C．130° D．150°
8．现有函数y＝如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，y＝n，那么实数a的取值范围是（ ）
A．﹣5≤a≤4 B．﹣1≤a≤4 C．﹣4≤a≤1 D．﹣4≤a≤5
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上）
9．因式分解：1﹣x2＝ ．
10．要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
11．已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝ 时，这个二次三项式的值等于﹣1．
12．比例尺1：300 0000的图上，图距为4cm的实际距离约为 米（科学记数法表示）．
13．用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
14．如图，E是平行四边形ABCD边BC的延长线上一点，BC＝2CE，则CF：DF＝ ．
15．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 ．
16．如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连接OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为 ．
17．某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．
回答下列问题：
（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 （填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
18．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应
19．（1）计算：（﹣2）﹣2+cos60°﹣（﹣2）0；
（2）解不等式组：．
20．解下列方程：
（1）；
（2）x2﹣4x+2＝0．
21．教育部颁发的《中小学教育惩戒规则（试行）》并从2021年3月1日起实行，某校随机抽取该校部分家长，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该规则态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了 名家长进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角是 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该学校共有2500名学生家长，请估计该学校家长表示“非常支持”的A类和表示“支持”的B人数共有多少名？
22．某校计划在下个月第三周的星期一至星期四开展社团活动．
（1）若甲同学随机选择其中的一天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为 ．
（2）若乙同学随机选择其中的两天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率．
23．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
（1）当m＝0时，请直接写出x的值；
（2）当y＝8时，求n的值．
24．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.986，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
25．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以BO为边，画出△OBC，使△OBC∽△ABO，C为格点；
（2）在图2中，以点O为位似中心．画出△ODE，使△ODE与△OAB位似，且位似比，点D、E为格点；
（3）在图3中，在OA边上找一个点F，且满足．
26．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．
（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；
（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；
（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
27．我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解．如图（甲），把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函数y＝x﹣2的图象与函数y＝1﹣x的图象的交点的横坐标，求得方程x﹣2＝1﹣x的解为x＝1.5．
（1）如图（乙），已画出了反比例函数在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x2﹣2x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）
（2）选择：三次方程x3﹣x2﹣2x+1＝0的根的正负情况是 ．
A，有两个负根，一个正根
B．有三个负根
C．有一个负根，两个正根
D．有三个正根
28．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连接CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项前的字母代号填在括号内）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．平行四边形 D．等腰三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．下列各式中计算正确的是（ ）
A．x3+2x3＝3x6 B．m6÷m2＝m3 C．（2a）3＝6a3 D．x2•x4＝x6
【分析】根据合并同类项法则可判断选项A，根据同底数幂的除法法则可判断选项B，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项C，根据同底数幂的乘法法则可判断选项D．
解：A．x3+2x3＝3x3，选项A不符合题意；
B．m6÷m2＝m4，选项B不符合题意；
C．（2a）3＝8a3，选项C不符合题意；
D．x2•x4＝x6，选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方和积的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴sinA＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“的”与“害”是相对面，
“了”与“厉”是相对面，
“我”与“国”是相对面．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
5．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
解：∵y＝﹣（x﹣1）2，
∴抛物线开口向下，顶点为（1，0），对称轴为直线x＝1，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式，掌握二次函数图象与系数的关系．
6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2＝108．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．100° C．130° D．150°
【分析】由于四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠BAD的度数，而∠BAD、∠BOD是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到∠BOD的度数．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
8．现有函数y＝如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，y＝n，那么实数a的取值范围是（ ）
A．﹣5≤a≤4 B．﹣1≤a≤4 C．﹣4≤a≤1 D．﹣4≤a≤5
【分析】观察图象即可求得a的取值范围．
解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴函数y＝x2﹣2x的最小值为﹣1，
把y＝﹣1代入y＝x+4得，﹣1＝x+4，解得x＝﹣5，
由图象可知，当﹣5≤a≤4时，对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，函数y＝n，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上）
9．因式分解：1﹣x2＝ （1﹣x）（1+x） ．
【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．
解：∵1﹣x2＝（1﹣x）（1+x），
故答案为：（1﹣x）（1+x）．
【点评】本题考查因式分解﹣运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．
10．要使二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6≥0，再解不等式即可．
解：由题意得：2x﹣6≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数为非负数．
11．已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝ ﹣1或﹣5 时，这个二次三项式的值等于﹣1．
【分析】∵当x＝﹣2时，代数式的值等于﹣4，把x＝﹣2代入代数式之后可得到关于m的方程，进而求出m的值．再令代数式的值等于﹣1，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程，就可以求出对应的x的值．
解：∵x＝﹣2时，x²﹣2mx+4＝﹣4，
∴（﹣2）²﹣2×m×（﹣2）+4＝﹣4，
解得：m＝﹣3，
∴二次三项式为x²+6x+4，
令二次三项式的值为﹣1得：x²+6x+4＝﹣1，
移项得：x²+6x+5＝0，
∴（x+1）（x+5）＝0，
∴x+1＝0或x+5＝0，
解得x＝﹣1或﹣5．
故答案为：﹣1或﹣5．
【点评】本题考查代数式的值，一元一次方程和一元二次方程，解题关键是能根据代数式的值求出对应参数值，并能准确解一元二次方程．
12．比例尺1：300 0000的图上，图距为4cm的实际距离约为 1.2×105 米（科学记数法表示）．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是整数数位减1．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
解：设实际距离约为x厘米，
∵比例尺为1：300 0000，
∴4：x＝1：3000000，
∴x＝12000000厘米＝120000米＝1.2×105米．
故答案为：1.2×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
13．用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 1 ．
【分析】设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr＝，然后解方程即可．
解：设圆锥底面的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得：r＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．如图，E是平行四边形ABCD边BC的延长线上一点，BC＝2CE，则CF：DF＝ 1：2 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，易证△CEF∽△DAF，由相似三角形的性质即可求解．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△CEF∽△DAF，
∴，
∵BC＝2CE，
∴AD＝2CE，即，
∴，即CF：DF＝1：2．
故答案为：1：2．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．
15．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 45° ．
【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．
解：如图，连接AC．
由题意，AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
16．如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连接OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为 2或2 ．
【分析】当∠AOC＝90°时，连接OB，根据切线的性质得到∠OBC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝＝2．②当△OAC是直角三角形时，连接OB，根据切线的性质得到∠CBO＝∠OAC＝90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵BC＝OA，
∴OB＝BC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∴∠ACO≤45°，
∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，
∴OC＝OB＝2，
∴AC＝＝＝2；
②当△OAC是直角三角形时，∠OAC＝90°，连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝∠OAC＝90°，
∵BC＝OA＝OB，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：2或2．
【点评】本题考查了切线的性质．勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
17．某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．
回答下列问题：
（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 是 （填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 2025 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
【分析】（1）10000人5人化验一次，可化验2000次，比一人一次的少很多次；
（2）根据题意可以知道有5人携带，最多次数的是这5人不在同一组，即第二轮有5组即25人要化验，即可求出结果．
解：（1）是，
10000÷5+25＝2025次＜10000次，明显减少；
（2）10000×0.05%＝5人，
故有5人是携带者，
第一轮：10000÷5＝2000次，
至多化验次数，故而这5个人都在不同组，
这样次数最多，
∴第二轮有5个组需要化验，
5×5＝25次，
2000+25＝2025次，
故至多需要2025次化验．
【点评】本题考查统计与概率和不等式的应用，解本题的关键弄懂题意．
18．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 84 ．
【分析】先分析出点P在BC和CA上运动时BP的大小变化，再结合函数图象得到相应线段长．
解：由图象分析可得：当点P在BC上运动时，BP不断增大，到达C点时，BP达到最大值，此时BP＝BC＝15；
当P在CA上运动时，BP先减小再增大，
在此过程中，BP⊥AC时，此位置记为P'，BP有最小值为BP'＝12，由勾股定理可得CP'＝9，
P点到达C点时，可得BA＝13，由勾股定理可得AP'＝5，
∴AC＝AP'+CP'＝5+9＝14，
∴＝84．
故答案为84．
【点评】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质，把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应
19．（1）计算：（﹣2）﹣2+cos60°﹣（﹣2）0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据实数的运算法则结合负整数指数幂、零指数幂、三角函数值计算可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
解：（1）原式＝+﹣1
＝+﹣1
＝﹣；
（2）解不等式2x﹣6＜3x，得：x＞﹣6，
解不等式，得：x≤13，
∴不等式组的解集为：﹣6＜x≤13．
【点评】本题主要考查实数的运算能力和解不等式组的基本技能，熟练掌握实数的运算法则和解不等式组的基本步骤是关键．
20．解下列方程：
（1）；
（2）x2﹣4x+2＝0．
【分析】（1）先两边都乘以x﹣2化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案；
（2）利用配方法求解即可．
解：（1）两边都乘以x﹣2，得：3x﹣5＝x﹣2+1，
解得x＝2，
经检验x＝2是原方程的增根，
所以原方程无解；
（2）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
∴x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．教育部颁发的《中小学教育惩戒规则（试行）》并从2021年3月1日起实行，某校随机抽取该校部分家长，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该规则态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了 60 名家长进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角是 18 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该学校共有2500名学生家长，请估计该学校家长表示“非常支持”的A类和表示“支持”的B人数共有多少名？
【分析】（1）从两个统计图可知，“C不关心”的频数为9人，占调查人数的15%，可求出调查人数，求出“D不支持”所占得百分比即可求出相应的圆心角的度数；
（2）求出“A非常支持”的人数，即可补全条形统计图；
（3）求出“A非常支持”“B支持”所占得百分比即可．
解：（1）9÷15%＝60（名），360°×＝18°，
故答案为：60，18；
（2）60﹣36﹣9﹣3＝12（名），补全条形统计图如图所示：
（3）2500×＝2000（名），
答：该学校家长表示“支持”的（A类，B类的和）人数大约有2000人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
22．某校计划在下个月第三周的星期一至星期四开展社团活动．
（1）若甲同学随机选择其中的一天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为 ．
（2）若乙同学随机选择其中的两天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表，共有12个等可能的结果，甲、乙两位同学选择的两天是连续两天的结果有6个，再由概率公式求解即可．
解：（1）若甲同学随机选择其中的一1天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为，
故答案为：．
（2）把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：A、B、C、D，
根据题意列表如下：
共有12个等可能的结果，乙同学随机选择其中的两天参加活动，其中一天是星期二的概率的结果有6个，
∴其中一天是星期二的概率为＝．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
（1）当m＝0时，请直接写出x的值；
（2）当y＝8时，求n的值．
【分析】（1）直接利用上方相邻两数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数，进而得出m与x的关系式；
（2）利用运算规律得出n的值．
解：（1）由题意可得：x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
则x＝0或x+2＝0，
解得x＝0或﹣2；
（2）由题意得：m＝x2+2x，n＝2x+3，
∵m+n＝8，
∴x2+2x+2x+3＝8，
整理得：x2+4x﹣5＝0，
∴（x+5）（x﹣1）＝0，
则x+5＝0或x﹣1＝0，
解得x＝﹣5或1，
∴n＝﹣7或5．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出m与x之间关系是解题关键．
24．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.986，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
【分析】利用锐角三角函数，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分别求出AE、BF的长．计算出EF．通过矩形CEFH得到CH的长．
解：在Rt△ACE中，
∵tan∠CAE＝，
∴AE＝＝≈≈21（cm）
在Rt△DBF中，
∵tan∠DBF＝，
∴BF＝＝≈＝40（cm）
∵EF＝EA+AB+BF≈21+90+40＝151（cm）
∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF
∴四边形CEFH是矩形，
∴CH＝EF＝151cm
答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．
【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．
25．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以BO为边，画出△OBC，使△OBC∽△ABO，C为格点；
（2）在图2中，以点O为位似中心．画出△ODE，使△ODE与△OAB位似，且位似比，点D、E为格点；
（3）在图3中，在OA边上找一个点F，且满足．
【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质画出△OBC，使△OBC∽△ABO；
（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出△ODE；
（3）取格点P，Q，连接PQ，交AO于点F，则点F即为所求作的点．
解：（1）如图所示，△OBC即为所求；
（2）解：如图所示，△ODE即为所求；
（3）解：如图所示，取格点P，Q，连接PQ，交AO于点F，则点F即为所求作的点．
∵△AQF∽△OPF，
∴．
【点评】本题主要考查了作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．
（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；
（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；
（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
【分析】（1）连接OA，OB，由切线的性质可求∠PAO＝∠PBO＝90°，由四边形内角和可求解；
（2）当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可证AP＝AC＝PB＝BC，可得四边形APBC是菱形；
（3）分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求，即可求解．
解：（1）如图1，连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，
∴∠APB+∠AOB＝180°，
∵∠APB＝80°，
∴∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝50°；
（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，
连接OA，OB，
由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，
∵∠APB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝60°＝∠APB，
∵点C运动到PC距离最大，
∴PC经过圆心，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，
又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC（SAS），
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，
∴∠APC＝∠ACP＝30°，
∴AP＝AC，
∴AP＝AC＝PB＝BC，
∴四边形APBC是菱形；
（3）∵⊙O的半径为r，
∴OA＝r，OP＝2r，
∴AP＝r，PD＝r，
∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，
∴的长度＝＝，
∴阴影部分的周长＝r+r+r＝（+1+）r．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
27．我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解．如图（甲），把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函数y＝x﹣2的图象与函数y＝1﹣x的图象的交点的横坐标，求得方程x﹣2＝1﹣x的解为x＝1.5．
（1）如图（乙），已画出了反比例函数在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x2﹣2x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）
（2）选择：三次方程x3﹣x2﹣2x+1＝0的根的正负情况是 C ．
A，有两个负根，一个正根
B．有三个负根
C．有一个负根，两个正根
D．有三个正根
【分析】（1）根据题意可知，方程2x2﹣2x﹣1＝0的解可看作是函数y＝与函数y＝2x﹣2的交点坐标，所以根据图象可得正数解约为1.4；
（2）方程x3﹣x2﹣2x+1＝0变形为x2﹣x﹣2＝﹣，在坐标系中画出函数y＝x2﹣x﹣2与函数y＝﹣的图象，根据图象的交点情况即可判断．
解：（1）∵x≠0，
∴将2x2﹣2x﹣1＝0两边同时除以x，
得2x﹣2﹣＝0，
即 ＝2x﹣2，
把2x2﹣2x﹣1＝0的正数解视为由函数y＝与函数y＝2x﹣2的图象在第一象限交点的横坐标．
如图：
∴正数解约为1.4；
（2）关于x的方程x3﹣x2﹣2x+1＝0变形为x2﹣x﹣2＝﹣，
在坐标系中画出函数y＝x2﹣x﹣2与函数y＝﹣的图象如图：
，
由图象可知，函数y＝x2﹣x﹣2与函数y＝﹣的交点在第三象限一个，第四象限两个，
∴关于x的方程x3﹣x2﹣2x+1＝0有两个正根，一个负根，
故选：C．
【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．
28．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连接CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a＝﹣，c＝0代入y＝ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；
②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，设P的坐标为（x，﹣x2+x），分两种情况讨论即可求得；
（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，最小值得＜﹣1，解不等式即可求得．
解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DBF＝∠BAO，
又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，
在△AOB和△BFD中，
，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，
∴D的坐标是（3，1），
根据题意，得a＝﹣，c＝0，且a×32+b×3+c＝1，
∴b＝，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；
②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，
∴C（，1），
∵C、D两点的纵坐标都为1，
∴CD∥x轴，
∴∠BCD＝∠ABO，
∴∠BAO与∠BCD互余，
要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，
设P的坐标为（x，﹣x2+x），
（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，
则tan∠POB＝tan∠BAO，即＝，
∴＝，解得x1＝0（舍去），x2＝，
∴﹣x2+x＝，
∴P点的坐标为（，）；
（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3
则tan∠POB＝tan∠BAO，即＝，
∴＝，解得x1＝0（舍去），x2＝，
∴﹣x2+x＝﹣，
∴P点的坐标为（，﹣）；
综上，在抛物线上是否存在点P（，）或（，﹣），使得∠POB与∠BCD互余．
（2）如图3，∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y＝ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，所以y＝ax2﹣4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y＝ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；
（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣；
②当抛物线y＝ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB＝∠BAO，
∴tan∠QOB＝tan∠BAO＝＝，此时直线OQ的斜率为﹣，则直线OQ的解析式为y＝﹣x，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1＝﹣x有两个不相等的实数根，所以△＝（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞，a＜（舍去），
综上所示，a的取值范围为a＜﹣或a＞．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，正切函数，最小值等，分类讨论的思想是本题的关键．
2023年江苏省常州市中考数学结课热身练习数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）.
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．平行四边形 D．等腰三角形
2．下列各式中计算正确的是（ ）
A．x3+2x3＝3x6 B．m6÷m2＝m3 C．（2a）3＝6a3 D．x2•x4＝x6
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
4．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
5．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．100° C．130° D．150°
8．现有函数y＝如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，y＝n，那么实数a的取值范围是（ ）
A．﹣5≤a≤4 B．﹣1≤a≤4 C．﹣4≤a≤1 D．﹣4≤a≤5
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上）
9．因式分解：1﹣x2＝ ．
10．要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
11．已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝ 时，这个二次三项式的值等于﹣1．
12．比例尺1：300 0000的图上，图距为4cm的实际距离约为 米（科学记数法表示）．
13．用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
14．如图，E是平行四边形ABCD边BC的延长线上一点，BC＝2CE，则CF：DF＝ ．
15．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 ．
16．如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连接OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为 ．
17．某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．
回答下列问题：
（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 （填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
18．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应
19．（1）计算：（﹣2）﹣2+cos60°﹣（﹣2）0；
（2）解不等式组：．
20．解下列方程：
（1）；
（2）x2﹣4x+2＝0．
21．教育部颁发的《中小学教育惩戒规则（试行）》并从2021年3月1日起实行，某校随机抽取该校部分家长，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该规则态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了 名家长进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角是 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该学校共有2500名学生家长，请估计该学校家长表示“非常支持”的A类和表示“支持”的B人数共有多少名？
22．某校计划在下个月第三周的星期一至星期四开展社团活动．
（1）若甲同学随机选择其中的一天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为 ．
（2）若乙同学随机选择其中的两天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率．
23．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
（1）当m＝0时，请直接写出x的值；
（2）当y＝8时，求n的值．
24．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.986，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
25．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以BO为边，画出△OBC，使△OBC∽△ABO，C为格点；
（2）在图2中，以点O为位似中心．画出△ODE，使△ODE与△OAB位似，且位似比，点D、E为格点；
（3）在图3中，在OA边上找一个点F，且满足．
26．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．
（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；
（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；
（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
27．我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解．如图（甲），把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函数y＝x﹣2的图象与函数y＝1﹣x的图象的交点的横坐标，求得方程x﹣2＝1﹣x的解为x＝1.5．
（1）如图（乙），已画出了反比例函数在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x2﹣2x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）
（2）选择：三次方程x3﹣x2﹣2x+1＝0的根的正负情况是 ．
A，有两个负根，一个正根
B．有三个负根
C．有一个负根，两个正根
D．有三个正根
28．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连接CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项前的字母代号填在括号内）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．平行四边形 D．等腰三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．下列各式中计算正确的是（ ）
A．x3+2x3＝3x6 B．m6÷m2＝m3 C．（2a）3＝6a3 D．x2•x4＝x6
【分析】根据合并同类项法则可判断选项A，根据同底数幂的除法法则可判断选项B，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项C，根据同底数幂的乘法法则可判断选项D．
解：A．x3+2x3＝3x3，选项A不符合题意；
B．m6÷m2＝m4，选项B不符合题意；
C．（2a）3＝8a3，选项C不符合题意；
D．x2•x4＝x6，选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方和积的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴sinA＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“的”与“害”是相对面，
“了”与“厉”是相对面，
“我”与“国”是相对面．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
5．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
解：∵y＝﹣（x﹣1）2，
∴抛物线开口向下，顶点为（1，0），对称轴为直线x＝1，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式，掌握二次函数图象与系数的关系．
6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2＝108．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．100° C．130° D．150°
【分析】由于四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠BAD的度数，而∠BAD、∠BOD是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到∠BOD的度数．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
8．现有函数y＝如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，y＝n，那么实数a的取值范围是（ ）
A．﹣5≤a≤4 B．﹣1≤a≤4 C．﹣4≤a≤1 D．﹣4≤a≤5
【分析】观察图象即可求得a的取值范围．
解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴函数y＝x2﹣2x的最小值为﹣1，
把y＝﹣1代入y＝x+4得，﹣1＝x+4，解得x＝﹣5，
由图象可知，当﹣5≤a≤4时，对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，函数y＝n，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上）
9．因式分解：1﹣x2＝ （1﹣x）（1+x） ．
【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．
解：∵1﹣x2＝（1﹣x）（1+x），
故答案为：（1﹣x）（1+x）．
【点评】本题考查因式分解﹣运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．
10．要使二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6≥0，再解不等式即可．
解：由题意得：2x﹣6≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数为非负数．
11．已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝ ﹣1或﹣5 时，这个二次三项式的值等于﹣1．
【分析】∵当x＝﹣2时，代数式的值等于﹣4，把x＝﹣2代入代数式之后可得到关于m的方程，进而求出m的值．再令代数式的值等于﹣1，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程，就可以求出对应的x的值．
解：∵x＝﹣2时，x²﹣2mx+4＝﹣4，
∴（﹣2）²﹣2×m×（﹣2）+4＝﹣4，
解得：m＝﹣3，
∴二次三项式为x²+6x+4，
令二次三项式的值为﹣1得：x²+6x+4＝﹣1，
移项得：x²+6x+5＝0，
∴（x+1）（x+5）＝0，
∴x+1＝0或x+5＝0，
解得x＝﹣1或﹣5．
故答案为：﹣1或﹣5．
【点评】本题考查代数式的值，一元一次方程和一元二次方程，解题关键是能根据代数式的值求出对应参数值，并能准确解一元二次方程．
12．比例尺1：300 0000的图上，图距为4cm的实际距离约为 1.2×105 米（科学记数法表示）．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是整数数位减1．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
解：设实际距离约为x厘米，
∵比例尺为1：300 0000，
∴4：x＝1：3000000，
∴x＝12000000厘米＝120000米＝1.2×105米．
故答案为：1.2×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
13．用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 1 ．
【分析】设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr＝，然后解方程即可．
解：设圆锥底面的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得：r＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．如图，E是平行四边形ABCD边BC的延长线上一点，BC＝2CE，则CF：DF＝ 1：2 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，易证△CEF∽△DAF，由相似三角形的性质即可求解．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△CEF∽△DAF，
∴，
∵BC＝2CE，
∴AD＝2CE，即，
∴，即CF：DF＝1：2．
故答案为：1：2．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．
15．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 45° ．
【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．
解：如图，连接AC．
由题意，AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
16．如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连接OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为 2或2 ．
【分析】当∠AOC＝90°时，连接OB，根据切线的性质得到∠OBC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝＝2．②当△OAC是直角三角形时，连接OB，根据切线的性质得到∠CBO＝∠OAC＝90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵BC＝OA，
∴OB＝BC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∴∠ACO≤45°，
∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，
∴OC＝OB＝2，
∴AC＝＝＝2；
②当△OAC是直角三角形时，∠OAC＝90°，连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝∠OAC＝90°，
∵BC＝OA＝OB，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：2或2．
【点评】本题考查了切线的性质．勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
17．某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．
回答下列问题：
（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 是 （填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 2025 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
【分析】（1）10000人5人化验一次，可化验2000次，比一人一次的少很多次；
（2）根据题意可以知道有5人携带，最多次数的是这5人不在同一组，即第二轮有5组即25人要化验，即可求出结果．
解：（1）是，
10000÷5+25＝2025次＜10000次，明显减少；
（2）10000×0.05%＝5人，
故有5人是携带者，
第一轮：10000÷5＝2000次，
至多化验次数，故而这5个人都在不同组，
这样次数最多，
∴第二轮有5个组需要化验，
5×5＝25次，
2000+25＝2025次，
故至多需要2025次化验．
【点评】本题考查统计与概率和不等式的应用，解本题的关键弄懂题意．
18．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 84 ．
【分析】先分析出点P在BC和CA上运动时BP的大小变化，再结合函数图象得到相应线段长．
解：由图象分析可得：当点P在BC上运动时，BP不断增大，到达C点时，BP达到最大值，此时BP＝BC＝15；
当P在CA上运动时，BP先减小再增大，
在此过程中，BP⊥AC时，此位置记为P'，BP有最小值为BP'＝12，由勾股定理可得CP'＝9，
P点到达C点时，可得BA＝13，由勾股定理可得AP'＝5，
∴AC＝AP'+CP'＝5+9＝14，
∴＝84．
故答案为84．
【点评】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质，把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应
19．（1）计算：（﹣2）﹣2+cos60°﹣（﹣2）0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据实数的运算法则结合负整数指数幂、零指数幂、三角函数值计算可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
解：（1）原式＝+﹣1
＝+﹣1
＝﹣；
（2）解不等式2x﹣6＜3x，得：x＞﹣6，
解不等式，得：x≤13，
∴不等式组的解集为：﹣6＜x≤13．
【点评】本题主要考查实数的运算能力和解不等式组的基本技能，熟练掌握实数的运算法则和解不等式组的基本步骤是关键．
20．解下列方程：
（1）；
（2）x2﹣4x+2＝0．
【分析】（1）先两边都乘以x﹣2化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案；
（2）利用配方法求解即可．
解：（1）两边都乘以x﹣2，得：3x﹣5＝x﹣2+1，
解得x＝2，
经检验x＝2是原方程的增根，
所以原方程无解；
（2）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
∴x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．教育部颁发的《中小学教育惩戒规则（试行）》并从2021年3月1日起实行，某校随机抽取该校部分家长，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该规则态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了 60 名家长进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角是 18 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该学校共有2500名学生家长，请估计该学校家长表示“非常支持”的A类和表示“支持”的B人数共有多少名？
【分析】（1）从两个统计图可知，“C不关心”的频数为9人，占调查人数的15%，可求出调查人数，求出“D不支持”所占得百分比即可求出相应的圆心角的度数；
（2）求出“A非常支持”的人数，即可补全条形统计图；
（3）求出“A非常支持”“B支持”所占得百分比即可．
解：（1）9÷15%＝60（名），360°×＝18°，
故答案为：60，18；
（2）60﹣36﹣9﹣3＝12（名），补全条形统计图如图所示：
（3）2500×＝2000（名），
答：该学校家长表示“支持”的（A类，B类的和）人数大约有2000人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
22．某校计划在下个月第三周的星期一至星期四开展社团活动．
（1）若甲同学随机选择其中的一天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为 ．
（2）若乙同学随机选择其中的两天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表，共有12个等可能的结果，甲、乙两位同学选择的两天是连续两天的结果有6个，再由概率公式求解即可．
解：（1）若甲同学随机选择其中的一1天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为，
故答案为：．
（2）把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：A、B、C、D，
根据题意列表如下：
共有12个等可能的结果，乙同学随机选择其中的两天参加活动，其中一天是星期二的概率的结果有6个，
∴其中一天是星期二的概率为＝．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
（1）当m＝0时，请直接写出x的值；
（2）当y＝8时，求n的值．
【分析】（1）直接利用上方相邻两数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数，进而得出m与x的关系式；
（2）利用运算规律得出n的值．
解：（1）由题意可得：x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
则x＝0或x+2＝0，
解得x＝0或﹣2；
（2）由题意得：m＝x2+2x，n＝2x+3，
∵m+n＝8，
∴x2+2x+2x+3＝8，
整理得：x2+4x﹣5＝0，
∴（x+5）（x﹣1）＝0，
则x+5＝0或x﹣1＝0，
解得x＝﹣5或1，
∴n＝﹣7或5．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出m与x之间关系是解题关键．
24．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.986，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
【分析】利用锐角三角函数，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分别求出AE、BF的长．计算出EF．通过矩形CEFH得到CH的长．
解：在Rt△ACE中，
∵tan∠CAE＝，
∴AE＝＝≈≈21（cm）
在Rt△DBF中，
∵tan∠DBF＝，
∴BF＝＝≈＝40（cm）
∵EF＝EA+AB+BF≈21+90+40＝151（cm）
∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF
∴四边形CEFH是矩形，
∴CH＝EF＝151cm
答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．
【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．
25．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以BO为边，画出△OBC，使△OBC∽△ABO，C为格点；
（2）在图2中，以点O为位似中心．画出△ODE，使△ODE与△OAB位似，且位似比，点D、E为格点；
（3）在图3中，在OA边上找一个点F，且满足．
【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质画出△OBC，使△OBC∽△ABO；
（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出△ODE；
（3）取格点P，Q，连接PQ，交AO于点F，则点F即为所求作的点．
解：（1）如图所示，△OBC即为所求；
（2）解：如图所示，△ODE即为所求；
（3）解：如图所示，取格点P，Q，连接PQ，交AO于点F，则点F即为所求作的点．
∵△AQF∽△OPF，
∴．
【点评】本题主要考查了作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．
（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；
（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；
（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
【分析】（1）连接OA，OB，由切线的性质可求∠PAO＝∠PBO＝90°，由四边形内角和可求解；
（2）当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可证AP＝AC＝PB＝BC，可得四边形APBC是菱形；
（3）分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求，即可求解．
解：（1）如图1，连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，
∴∠APB+∠AOB＝180°，
∵∠APB＝80°，
∴∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝50°；
（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，
连接OA，OB，
由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，
∵∠APB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝60°＝∠APB，
∵点C运动到PC距离最大，
∴PC经过圆心，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，
又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC（SAS），
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，
∴∠APC＝∠ACP＝30°，
∴AP＝AC，
∴AP＝AC＝PB＝BC，
∴四边形APBC是菱形；
（3）∵⊙O的半径为r，
∴OA＝r，OP＝2r，
∴AP＝r，PD＝r，
∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，
∴的长度＝＝，
∴阴影部分的周长＝r+r+r＝（+1+）r．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
27．我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解．如图（甲），把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函数y＝x﹣2的图象与函数y＝1﹣x的图象的交点的横坐标，求得方程x﹣2＝1﹣x的解为x＝1.5．
（1）如图（乙），已画出了反比例函数在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x2﹣2x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）
（2）选择：三次方程x3﹣x2﹣2x+1＝0的根的正负情况是 C ．
A，有两个负根，一个正根
B．有三个负根
C．有一个负根，两个正根
D．有三个正根
【分析】（1）根据题意可知，方程2x2﹣2x﹣1＝0的解可看作是函数y＝与函数y＝2x﹣2的交点坐标，所以根据图象可得正数解约为1.4；
（2）方程x3﹣x2﹣2x+1＝0变形为x2﹣x﹣2＝﹣，在坐标系中画出函数y＝x2﹣x﹣2与函数y＝﹣的图象，根据图象的交点情况即可判断．
解：（1）∵x≠0，
∴将2x2﹣2x﹣1＝0两边同时除以x，
得2x﹣2﹣＝0，
即 ＝2x﹣2，
把2x2﹣2x﹣1＝0的正数解视为由函数y＝与函数y＝2x﹣2的图象在第一象限交点的横坐标．
如图：
∴正数解约为1.4；
（2）关于x的方程x3﹣x2﹣2x+1＝0变形为x2﹣x﹣2＝﹣，
在坐标系中画出函数y＝x2﹣x﹣2与函数y＝﹣的图象如图：
，
由图象可知，函数y＝x2﹣x﹣2与函数y＝﹣的交点在第三象限一个，第四象限两个，
∴关于x的方程x3﹣x2﹣2x+1＝0有两个正根，一个负根，
故选：C．
【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．
28．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连接CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a＝﹣，c＝0代入y＝ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；
②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，设P的坐标为（x，﹣x2+x），分两种情况讨论即可求得；
（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，最小值得＜﹣1，解不等式即可求得．
解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DBF＝∠BAO，
又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，
在△AOB和△BFD中，
，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，
∴D的坐标是（3，1），
根据题意，得a＝﹣，c＝0，且a×32+b×3+c＝1，
∴b＝，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；
②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，
∴C（，1），
∵C、D两点的纵坐标都为1，
∴CD∥x轴，
∴∠BCD＝∠ABO，
∴∠BAO与∠BCD互余，
要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，
设P的坐标为（x，﹣x2+x），
（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，
则tan∠POB＝tan∠BAO，即＝，
∴＝，解得x1＝0（舍去），x2＝，
∴﹣x2+x＝，
∴P点的坐标为（，）；
（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3
则tan∠POB＝tan∠BAO，即＝，
∴＝，解得x1＝0（舍去），x2＝，
∴﹣x2+x＝﹣，
∴P点的坐标为（，﹣）；
综上，在抛物线上是否存在点P（，）或（，﹣），使得∠POB与∠BCD互余．
（2）如图3，∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y＝ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，所以y＝ax2﹣4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y＝ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；
（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣；
②当抛物线y＝ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB＝∠BAO，
∴tan∠QOB＝tan∠BAO＝＝，此时直线OQ的斜率为﹣，则直线OQ的解析式为y＝﹣x，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1＝﹣x有两个不相等的实数根，所以△＝（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞，a＜（舍去），
综上所示，a的取值范围为a＜﹣或a＞．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，正切函数，最小值等，分类讨论的思想是本题的关键．
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