初中数学人教版八年级下册18.2.2 菱形课时练习

18.2.2　菱形

知能演练提升

一、能力提升

1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠DAC=30°,BD=8,则下列结论:①∠DAB=60°;②∠ADB=60°;③OD=4;④AD=8;⑤OC=4,其中正确的有(　　)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

2.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为(　　)

A.1 B.2 C. D.

3.如图,两条笔直的公路l1,l2相交于点O,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D,已知AB=BC=CD=DA=5 km,村庄C到公路l1的距离为4 km,则村庄C到公路l2的距离是(　　)

A.3 km B.4 km C.5 km D.6 km

4.如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E,F分别是边CD,BC的中点,连接EF并延长与AB的延长线相交于点G,则EG=              (　　)

A.13 B.10 C.12 D.5

5.如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD　　　　　菱形.(填“是”或“不是”) 

★6.如图,点E,F,G,H分别是任意四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边至少满足　　　　　条件时,四边形EFGH是菱形. 

7.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是边AD,AB的中点.

(1)求证:△ABE≌△ADF;

(2)若BE=,∠C=60°,求菱形ABCD的面积.

8.如图,四边形ABCD为矩形,G是对角线BD的中点,连接GC并延长至点F,使CF=GC,以DC,CF为邻边作菱形DCFE,连接CE.

(1)判断四边形CEDG的形状,并证明你的结论.

(2)连接DF,若CD=1,求DF的长.

9.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.

(1)求证:△ADE≌△CBF.

(2)连接AF,CE.当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是什么特殊四边形?请说明理由.

二、创新应用

★10.两块完全相同的三角板Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A'B'C')按如图①所示的方式放置在同一平面上(∠C=∠C'=90°,∠ABC=∠A'B'C'=60°),斜边重合.若三角板Ⅱ不动,三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动,图②是滑动过程中的一个位置.

(1)在图②中,连接BC',B'C,求证:△A'BC'≌△AB'C.

(2)当三角板Ⅰ滑动到什么位置(点B'落在AB边的什么位置)时,四边形BCB'C'是菱形?说明理由.

知能演练·提升

一、能力提升

1.D

2.D　题图中的六个小直角三角形都全等,

∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=30°.

设EB=x,则EC=AE=3-x,

∴3-x=2x,x=1.

∴BC=.

3.B　由AB=BC=CD=DA知四边形ABCD是菱形,连接AC,则AC平分∠DAB.

根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得,村庄C到l1的距离与到l2的距离相等,等于4 km.

4.B　连接BD,交AC于点O,如图.

∵菱形ABCD,点E,F分别是边CD,BC的中点,

∴AB∥CD,EF∥BD.

∵AC,BD是菱形的对角线,AC=24,

∴AC⊥BD,AO=CO=12,OB=OD.

又AB∥CD,EF∥BD,

∴DE∥BG,BD∥EG,

∴四边形BDEG是平行四边形,

∴BD=EG.

在△COD中,∵OC⊥OD,CD=13,CO=12,

∴OB=OD==5,

∴BD=2OD=10,

∴EG=BD=10.

5.是　如图,

∵AB∥CD,AD∥BC,

∴四边形ABCD是平行四边形.

过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥DC于点F,

∴AE=AF,∴S▱ABCD=BC·AE=DC·AF,

∴BC=DC,∴▱ABCD是菱形.

6.AB=CD　需添加条件AB=CD.

∵E,F分别是AD,DB的中点,

∴EF∥AB,EF=AB.

∵H,G分别是AC,BC的中点,

∴HG∥AB,HG=AB.

∴EF∥HG,EF=HG.

∴四边形EFGH是平行四边形.

∵E,H分别是AD,AC中点,∴EH=CD.

∵AB=CD,∴EF=EH.

∴四边形EFGH是菱形.

7.(1)证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,

∵点E,F分别是边AD,AB的中点,∴AF=AE.

在△ABE和△ADF中,

∴△ABE≌△ADF(SAS).

(2)解 连接BD,如图.

∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD,∠A=∠C=60°,∴△ABD是等边三角形.

∵点E是边AD的中点,

∴BE⊥AD.

在Rt△AEB中,设AB=x,则AE2+BE2=AB2,

即+()2=x2,得x=2,

即AD=AB=2,

∴菱形ABCD的面积=AD·BE=2×=2.

8.解 (1)四边形CEDG是菱形,理由如下:

∵四边形ABCD为矩形,G是对角线BD的中点,

∴GC=GD.

∵CF=GC,∴GC=GD=CF.

∵四边形DCFE是菱形,

∴CF=DE,DE∥GC,∴DE=GC,

∴四边形CEDG是平行四边形.

∵GD=GC,∴四边形CEDG是菱形.

(2)∵四边形DCFE是菱形,

∴∠CDF=∠CDE,∴DC=CF=1.

∵GD=GC=CF,∴GD=GC=CD=1,

即△GCD为等边三角形.∴∠GDC=∠GCD=60°.

∴∠DCF=120°.∴∠CDF=30°.∴∠GDF=90°.

在Rt△GDF中,DF=.

9.(1)证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=CB,AD∥BC,

∴∠ADB=∠CBD,∴∠ADE=∠CBF.

在△ADE和△CBF中,

∴△ADE≌△CBF(SAS).

(2)解 当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是菱形.

理由:∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC,OB=OD,AD∥BC,

∴∠ADB=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,

∴AB=AD.

∴平行四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,

∴AC⊥EF,∵DE=BF,∴OE=OF.

又OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形,

∴四边形AFCE是菱形.

二、创新应用

10.(1)证明 ∵A'B=A'B'-BB',AB'=AB-BB',A'B'=AB,∴A'B=AB'.

按题意,在△A'BC'和△AB'C中,

∴△A'BC'≌△AB'C(SAS).

(2)解 当B'落在AB的中点时,四边形BCB'C'是菱形.

∵∠ABC=∠A'B'C',

∴BC∥B'C'.

∵BC=B'C',

∴四边形BCB'C'是平行四边形.

∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴BC=AB.

∴当B'在AB的中点时,CB'=AB=BC.

∴这时四边形BCB'C'是菱形.