人教版初中数学总复习优化设计第12课时二次函数习题含答案

第12课时　二次函数

知能优化训练

一、中考回顾

1.(2021浙江中考)关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是 (　　)

A.有最大值4 

B.有最小值4

C.有最大值6 

D.有最小值6

答案:D

2.(2021天津中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)经过点(-1,-1),(0,1),当x=-2时,与其对应的函数值y>1.有下列结论:

①abc>0;

②关于x的方程ax2+bx+c-3=0有两个不等的实数根;

③a+b+c>7.

其中,正确结论的个数是(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.3

答案:D

3.(2021四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点,则k=　　　　　. 

答案:1

4.(2021安徽中考)设抛物线y=x2+(a+1)x+a,其中a为实数.

(1)若抛物线经过点(-1,m),则m=　　　　　; 

(2)将抛物线y=x2+(a+1)x+a向上平移2个单位长度,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是　　　　　. 

答案:(1)0　(2)2

5.(2021江苏连云港中考)某快餐店销售A,B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是　　　　　元. 

答案:1 264

6.(2020天津中考)已知点A(1,0)是抛物线y=ax2+bx+m(a,b,m为常数,a≠0,m<0)与x轴的一个交点.

(1)当a=1,m=-3时,求该抛物线的顶点坐标;

(2)若抛物线与x轴的另一个交点为M(m,0),与y轴的交点为C,过点C作直线l平行于x轴,E是直线l上的动点,F是y轴上的动点,EF=2

①当点E落在抛物线上(不与点C重合),且AE=EF时,求点F的坐标;

②取EF的中点N,当m为何值时,MN的最小值是?

解:(1)当a=1,m=-3时,抛物线的解析式为y=x2+bx-3.

∵抛物线经过点A(1,0),∴0=1+b-3,解得b=2.

∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.

∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,

∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4).

(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0),m<0,∴0=a+b+m,0=am2+bm+m,即am+b+1=0.

∴a=1,b=-m-1.

∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m,根据题意,得点C(0,m),点E(m+1,m).

过点A作AH⊥l于点H.

由点A(1,0),得点H(1,m).

在Rt△EAH中,EH=1-(m+1)=-m,HA=0-m=-m,

∴AE==-m.

∵AE=EF=2,∴-m=2,解得m=-2.此时,点E(-1,-2),点C(0,-2),有EC=1.

∵点F在y轴上,∴在Rt△EFC中,CF=

∴点F的坐标为(0,-2-)或(0,-2+).

②由N是EF的中点,得CN=EF=

根据题意,点N在以点C为圆心、为半径的圆上.

由点M(m,0),点C(0,m),得MO=-m,CO=-m.

∴在Rt△MCO中,MC==-m .

当MC,即m≤-1时,满足条件的点N落在线段MC上,MN的最小值为MC-NC=-m-,解得m=-;当MC<,即-1<m<0时,满足条件的点N落在线段CM的延长线上,MN的最小值为NC-MC=-(-m)=,解得m=-

∴当m的值为-或-时,MN的最小值是

二、模拟预测

1.已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(　　)

A.k<3 

B.k<3,且k≠0

C.k≤3 

D.k≤3,且k≠0

答案:D

2.函数y=与y=-kx2-k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　)

答案:D

3.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A,点B(-1,0),则

①二次函数的最大值为a+b+c;

②a-b+c<0;

③b2-4ac<0;

④当y>0时,-1<x<3.

其中正确的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

4.小明在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:

根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y=　　　　　. 

答案:-4

5.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为　　　　　. 

答案:k=0或k=-1

6.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后图象的解析式为　　　　　　　　　. 

答案:y=-x2-2x

7.如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.

(1)如图②,已知抛物线L3:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;

(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;

(3)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由.

解:(1)∵抛物线L3:y=2x2-8x+4,

∴y=2(x-2)2-4.

∴顶点为(2,-4),对称轴为x=2,

设x=0,则y=4,

∴C(0,4).

∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).

(2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,-4),∴L4的解析式为y=-2(x-4)2+4.

∴L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4.

(3)a1=-a2,理由如下:

由题意可得,

由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0,

∴a1=-a2.