人教版初中数学总复习优化设计第16课时直角三角形习题含答案

第16课时　直角三角形

知能优化训练

一、中考回顾

1. (2020广西贺州中考)如图,将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C'B'拼在一起,其中点A'与点B重合,点C'在边AB上,连接B'C,若∠ABC=∠A'B'C'=30°,AC=A'C'=2,则B'C的长为              (　　)

A.2 B.4 C.2 D.4

答案:A

2.(2020湖南长沙中考)如图,一块直角三角板的60°的顶点A与直角顶点C分别在平行线FD,GH上,斜边AB平分∠CAD,交直线GH于点E,则∠ECB的大小为(　　)

A.60° B.45° C.30° D.25°

答案:C

3.(2020广西南宁中考)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图①,②(图②为图①的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(注:尺、寸是我国古代计量单位,1米=3尺,1尺=10寸),则AB的长是(　　)

图①

图②

A.50.5寸 B.52寸 

C.101寸 D.104寸

答案:C

4. (2021四川成都中考)如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为　　　　　. 

答案:100

二、模拟预测

1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.已知BC=8,AC=6,则线段CD的长为(　　)

A.10 B.5 C D

答案:C

2.已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC折叠,如图,使点A与点B重合,折痕为DE,则的值是(　　)

A B C D

答案:C

3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,连接DC并延长到点E,使CE=CD,过点B作BF∥DE,与AE的延长线交于点F.若AB=12,则BF的长为(　　)

A.7 B.8 C.10 D.16

答案:D

4.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角板的最大边的长为　　　　　 cm. 

答案:6

5. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为　　　　　. 

答案:24

6.如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,点D是AC的中点,直角∠EDF的两边分别交AB,BC于点E,F,给出以下结论:①AE=BF;②S四边形BEDF=S△ABC;③△DEF是等腰直角三角形;④当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时(点E不与点A,B重合),∠BFE=∠CDF,上述结论始终成立的有　　　个. 

答案:4

7.在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.

(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;

(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E,此时请你通过观察、测量DE,DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;

(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)

解:(1)BF=CG;

证明如下:在△ABF和△ACG中,

∵∠F=∠G=90°,∠FAB=∠GAC,AB=AC,

∴△ABF≌△ACG(AAS).∴BF=CG.

(2)DE+DF=CG;

证明如下:过点D作DH⊥CG于点H(如图).

∵DE⊥BA于点E,∠G=90°,DH⊥CG,∴四边形EDHG为矩形.∴DE=HG,DH∥BG.∴∠GBC=∠HDC.

∵AB=AC,∴∠FCD=∠GBC=∠HDC.

又∠F=∠DHC=90°,CD=DC,

∴△FDC≌△HCD(AAS).

∴DF=CH.

∴CG=GH+CH=DE+DF,即DE+DF=CG.

(3)仍然成立.