四川省眉山市2023届高三第二次诊断性考试数学（理）试题(含答案)

眉山市高中2023届第二次诊断性考试

数学（理工类）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，则（    ）

A．  B．  C．  D．

2．设全集为，集合，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

3．某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（    ）

A．20  B．40  C．60  D．88

4．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（    ）

A．  B．

C．  D．

5．已知，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

6．一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为2，下底长为4，腰长为2的等腰梯形，则该四棱台的体积为（    ）

A．  B．  C．  D．

7．已知实数a，b满足，则下列各项中一定成立的是（    ）

A．  B．  C．  D．

8．已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则直线与平面ABCD所成角的正弦值为（    ）

A．  B．  C．  D．

9．已知函数．给出下列结论：①是的最小值；②函数在上单调递增；③将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①②  B．①③  C．②③  D．①②③

10．已知直线与抛物线交于点A，B，以线段AB为直径的圆经过定点，则（    ）

A．4  B．6  C．8 D．10

11．在菱形ABCD中，，，将绕对角线BD所在直线旋转至BPD，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A．  B．  C．  D．

12．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，，则实数______．

14．已知的展开式中含项的系数为，则______．

15．已知O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线从左往右顺次交于A，B两点．若，则双曲线C的离心率为______．

16．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，且，则周长的最大值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：

（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？

（2）该商店在春节期间开展促销活动，该产品共有如下两个销售方案．

方案一：按原价的8折销售；

方案二：顾客购买该产品时，可在一个装有4张“每满200元少80元”，6张“每满200元少40元”共10张优惠券的不透明箱子中，随机抽取1张，购买时按照所抽取的优惠券进行优惠．

已知该产品原价为260（元/件）．顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付的金额；你认为顾客甲选择哪种购买方案较为合理？

附表及公式：

其中，．

18．（12分）已知数列是公差为2的等差数列，，是公比大于0的等比数列，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若数列满足，求的前n项和．

19．（12分）如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，，，求二面角的余弦值．

20．（12分）已知椭圆经过，两点，M，N是椭圆E上异于T的两动点，且，若直线AM，AN的斜率均存在，并分别记为，．

（1）求证：为常数；

（2）求面积的最大值．

21．（12分）已知函数有两个极值点，．

（1）求a的取值范围；

（2）若，求的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B，求．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数．

（1）解不等式；

（2）令的最小值为T，正数x，y，z满足，证明：．

理科数学参考解答及评分参考

1．A 2．C 3．C 4．A 5．D 6．A 7．D 8．C 9．B 10．C 11．B 12．D

13．2  14．  15．  16．

17．解析：（1）由题，得，因此，有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关．

（2）顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，设可能支付的金额为X，X的值可能为180，220．

由题；，则（元），

顾客甲若采用方案二的方式购买一件产品，需支付金额的估计值为204元．

顾客甲若采用方案一的方式购买一件产品，需支付金额为（元）．

所以，该顾客采用方案二的方式购买较为合理．

18．解析：（1）由已知，所以，所以数列的通项公式为．

设等比数列的公比为q，由， 则，即，解得，（舍去），所以数列的通项公式为．

（2）由（1）得，所以①

②

①－②得，所以，即，所以．

19．解析：（1）证明：设平面ABC于点N，过N作于E，于F，连接PE，PF．因为平面ABC，平面ABC，所以．又因为，所以平面PNE，所以，同理．在，中，，，故，所以．在，中，，，故，所以．即N到AB，AC的距离相等，同理N到BC，AC的距离相等，故N为的内心，N与H重合．所以平面ABC．又因为平面APM，所以平面平面ABC．

（2）由于，故可以以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，．

设的内切圆半径为r，则，故．所以，，，故．所以，，设平面AHP的法向量，则令，故平面AHP的一个法向量为．同理，，设平面ACP的法向量，则令，故平面的一个法向量为．所以，故二面角的余弦值为．

20．解析：（1）椭圆经过点A，T，代入椭圆E的方程，得解得所以椭圆E的方程为：．由知AM与AN关于直线对称，在AM上任取一点，则关于直线对称的点为，从而，，于是．

（2）设点，，，由得，所以，同理．由（1）有，故．

为方便，记，并不妨设，则于是（其中），当且仅当，即时取等．所以，面积的最大值为．

21．解析：（1）由题得，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不同实数根，即方程有两个不同实数根，设，则，知，，则单调递增，时，，则单调递减，所以，时，取得极大值，又时，；时，，且时，，所以，方程有两个不同实数根时，有．即有两个极值点时，a的取值范围是．

（2）由（1）可知，的两个极值点，是方程的两根，且，，则有，，两式相除，得，则有．由得，所以，令，令，则需恒成立，，令，则，令，在上递增，可知，，则存在，使得，当时，，则即单调递减，当时，，即单调递增，又，，所以存在，使得，当时，，单调递减，时，，单调递增，又，所以时，，则，单调递减，时，，，单调递增，所以时，，的取值范围是．

22．解析：（1）将代入，得，即曲线C的直角坐标方程为：．

（2）直线l的参数方程可改写为（t为参数），代入曲线C的方程，有，整理得．从而，，所以．

23．解析：（1）当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得，综上所述，原不等式的解集为．

（2）由题，当且仅当即时取“等号”，故的最小值，即．

证法1：，当且仅当，即，时取等号．所以，．

证法2：．当且仅当，，取等号，即，时取等号．所以，．