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    四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学(文)试题(含答案)

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    这是一份四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学(文)试题(含答案),共16页。试卷主要包含了已知,,则,过直线l,已知函数,则,已知定点,直线l等内容,欢迎下载使用。

    遂宁市高2023届第二次诊断性考试

    学(文史类)

    注意事项:

    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。

    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

    1.已知集合,则   

    A B C D

    2   

    A B C D

    3.某乡镇为推动乡村经济发展,优化产业结构,逐步打造高品质的农业生产,在某试验区种植了某农作物.为了解该品种农作物长势,在实验区随机选取了100株该农作物苗,经测,其高度(单位:cm)均在区间内,按照分成5组,制成如图所示的频率分布直方图,记高度不低于16cm的为优质苗则所选取的农作物样本苗中,“优质苗”株数为   

    A20 B40 C60 D88

    4.已知,则   

    A3 B2 C D

    5.过直线l上的点作圆C的切线,则切线段长的最小值为   

    A B C D

    6.数学与音乐有着紧密的关联,我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音,而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象,则该段乐音对应的函数解析式可以为   

    A B

    C D

    7.已知函数,则   

    A.有2个极大值点  B.有1个极大值点和1个极小值点

    C.有2个极小值点  D.有且仅有一个极值点

    8.将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度,得到的图象对应的函数可以是   

    A B C D

    9.已知四棱柱的底面是正方形,,点在底面ABCD射影为BC中点H,则点到平面ABCD的距离为   

    A B C D3

    10.已知定点,直线l与抛物线交于两点AB,若   

    A4 B6 C8 D10

    11.在中,DBC的中点,将AD旋转至APD,使得,则三棱锥的外接球表面积为   

    A B C D

    12.已知函数.若过点可以作曲线三条切线,则m的取值范围是   

    A B C D

    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

    13.已知双曲线C,则C的离心率为______

    14.已知,则实数______

    15中,角ABC所对的边分别为abc.若,且,则面积的最大值为______

    16.《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理,其中有一些定理是关于鞋匠刀形的,即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形,其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示,三个半圆的圆心分别为O,半径分别为R(其中),在半圆O内随机取一点,此点取自图中鞋匠刀形(阴影部分)的概率为,则______

    三、解答题:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个

    试题考生都必须作答。第2223题为选考题,考生依据要求作答。

    (一)必考题:共60分。

    17.(12分)

    某商店销售某种产品,为了解客户对该产品的评价,现随机调查了200名客户,其评价结果为“一般”或“良好”,并得到如下列联表:

     

    一般

    良好

    合计

    20

    100

    120

    30

    50

    80

    合计

    50

    150

    200

    1)通过计算判断,有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系

    2)利用样本数据,在评价结果为良好的客户中,按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客.若从这6名客户中随机选择2名进行访谈,求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率

    附表及公式:

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    其中

    18.(12分)

    已知数列是公差为2的等差数列,其前3项的和为12是公比大于0的等比数列,

    1)求数列的通项公式;

    2)若数列满足,求的前n项和

    19.(12分)

    如图,在三棱锥中,H的内心,直线AHBC交于M

    1)证明:平面平面ABC

    2)若,求三棱锥的体积.

    20.(12分)

    已知椭圆E经过两点,MN是椭圆E上异于T的两动点,且,直线AMAN的斜率均存在,并分别记为

    1)求证:为常数;

    2)证明直线MN过定点.

    21.(12分)

    已知函数有两个极值点

    1)求a的取值范围;

    2)若时,不等式恒成立,求λ的最小值.

    (二)选考题:共10分。请考生在第2223题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题

    记分。

    22[选修4-4:坐标系与参数方程]10分)

    在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为

    1)求C的直角坐标方程;

    2)设直线l与曲线C交于AB,求

    23[选修4-5:不等式选讲]10分)

    设函数

    1)解不等式

    2)令的最小值为T,正数xyz满足

    证明:

     

    文科数学参考解答及评分参考

    一、选择题

    1.答案:C

    解析:由解得,所以

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,主要考查集合的交集运算等基础知识;考查运算求解能力,应用意识

    2.答案:A

    解析:

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,主要考查复数的乘法与除法运算等基础知识;考查运算求解能力

    3.答案:C

    解析:该农作物苗高度在的频率分别为0.40.2,则优质苗株数为(株).

    命题意图:本小题以乡村振兴、农业生产为命题情境,以直方图为载体考查概率统计问题,考查概率统计思想和应用意识

    4.答案:B

    解析:由,因为,所以,所以

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,主要考查二倍角与同角三角函数关系等基础知识;考查运算求解能力,逻辑推理能力,应用意识

    5.答案:B

    解析:圆心到直线l的距离,即lC相离,

    故切线段长的最小值为

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,主要考查直线、圆的方程,直线与圆的关系,考查数形结合思想,数学运算核心素养

    6.答案:A

    解析:由题可知,该乐音对应的函数为奇函数,AB选项中的函数为奇函数,选项C中的函数为非奇非偶函数;D选项中的函数为偶函数,排除CD.对于选项B,当时,不符合题意,故选A

    命题意图:本小题以音乐与数学为应用型情境,以函数图象为载体,考查函数图象的应用,考查数形结合思想;考查直观想象素养

    7.答案:D

    解析:由已知得,则时,单调递时,单调递增,所以,有唯一一个极值点,且为极小值点.

    命题意图:本小题以整式型函数为知识探索情境,以四次型函数极值最值为载体,考查导数应用等知识,考查化归与转化、数形结合思想;考查抽象概括、推理论证能力;考查逻辑推理、直观想象素养

    8.答案:D

    解析:,将函数的图象上的所有点向右平移单位长度,得到的图象对应的函数为

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计综合性问题,考查两角和差的三角函数公式,三角函数图象的平移变换,诱导公式等基础知识;考查运算求解能力,化归与转换思想,数形结合思想

    9.答案:B

    解析:由已知,ABCD,在中,.即点到平面ABCD的距离是.因为是柱体,故平面ABCD,所以点到平面ABCD的距离为

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计综合性问题,以斜四棱柱为载体,考查线面位置关系、点到平面的距离,主要考查空间想象能力和数学运算、逻辑推理素养

    10.答案:C

    解析:设,由.由,此时,从而.由

    ,于是

    解得

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计综合性问题,主要考查直线与抛物线的关系,考查数形结合、化归与转化思想,考查逻辑推理、数学运算核心素养

    11.答案:C

    解析:在中,DBC的中点,故,从而平面BDP,设三棱锥的外接球的球心为O,半径为RO到平面BDP的距离d,则,又因为,故的外接圆半径为,从而,故三棱锥的外接球的表面积为

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计旋转图象的理解,三棱锥与球体的数量关系的转化,主要考查空间想象能力,作图能力和数学运算素养

    12.答案:A

    解析:由题,设切点,则切线方程为,则,过点P可以作三条切线,则方程有三个不同实数根,,则,可知时,单调递时,单调递增;时,单调递减,则取得极小值;当时,取得极大值.又时,;又时,.则时,方程有三个不同实数根,此时过点P可作曲线三条切线.

    命题意图:本小题是以切线问题设置的探索性问题情境,由一次函数与指数函数构成的新函数为载体,考查导数的几何意义;考查数形结合、化归与转化等数学思想;考查逻辑推理能力、运算求解能力以及创新能力;考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养

    二、填空题

    13.答案:

    解析:由双曲线方程知,则所以离心率

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,主要考查双曲线的方程和离心率,考查数学运算能力

    14.答案:2

    解析:由,解得

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,主要考查向量的减法与向量的模等基础知识;考查运算求解能力,方程思想

    15.答案:

    解析:由已知,根据正弦定理得,即,所以,所以,由余弦定理,得,即,当且仅当时等号成立,所以

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计综合性问题,主要考查正余弦定理,两个和差的三角函数,三角形面积公式,均值不等式求最值等基础知识;考查运算求解能力,化归与转化思想,应用意识

    16.答案:

    解析:由题得,所以或者(舍去).

    命题意图:本小题是以鞋匠刀形设置的应用情境,以几何图形为载体,考查几何概型等基础知识,考查数形结合思想、统计与概率思想;考查运算求解能力和应用能力

    三、解答题

    17.解析:(1)由题,

    …………………………………4

    因此,有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系…………………………6

    2)这6名客户中男性有4人,记为,女性有2名,记为……………8

    从这6名客户中选取2名客户的所有基本事件有:,共15………………………………………………………………………10

    其中,至少有一名女性客户的基本事件有9………………………………………………11

    所以,抽取的2名客户中至少有1名女性客户的概率为,即…………………………12

    命题意图:本小题考查统计案例、卡方分布、离散型随机变量分布列等基础知识;考查统计与概率思想;考查运算求解、数据处理以及应用意识

    18.解析:(1)由已知,所以

    所以数列的通项公式为………………………………………………………2

    设等比数列的公比为q,由

    ,即

    解得(舍去),

    所以数列的通项公式为………………………………………………………6

    2)由(1)得………………………………………8

    所以

    所以……………………………………………………12

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计综合性问题,主要考查等差数列和等比数列的通项公式,裂项相消法求数列之和与等比数列求和等基础知识;考查运算求解能力,化归与转化思想,方程思想,推理论证能力,应用意识

    19.解析:(1)证明:设平面ABC于点N

    NEF,连接PEPF

    因为平面ABC平面ABC,所以

    又因为,所以平面PNE,所以,同理…………2

    中,

    ,所以

    中,

    ,所以…………………………………………………………4

    NABAC的距离相等,同理NBCAC的距离相等,

    N的内心,NH重合.

    所以平面ABC

    又因为平面APM,所以平面平面ABC………………………………6

    2)设的内切圆半径为r,则,故

    所以……………………………………8

    因为H的内心,所以AH平分

    所以,所以

    的面积为…………………………………………………10

    由于点P到平面ABC的距离为

    故三棱锥的体积为…………………………………………12

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计综合性问题,主要考查平面与平面垂直、三棱锥的体积等基础知识,考查空间想象能力,考查逻辑推理素养和数学运算核心素养

    20.解析:(1)椭圆经过点AT,代入椭圆E的方程,得解得

    所以椭圆E的方程为:………………………………………………………2

    AMAN关于直线AT对称,

    AM上任取一点

    关于直线对称的点为……………………………………4

    从而

    于是………………………………………………………………………………5

    2)设点AM

    ,所以

    从而

    同理

    1)有,故……………………………………………7

    为方便,记,则………9

    MN

    所以

    ……………………………………11

    由此可知,当k变化时,直线MN过定点………………………………………12

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计探索性问题,主要考查直线、椭圆的方程,直线与椭圆的关系等基础知识,考查数形结合、化归与转化思想,考查逻辑推理素养、数学运算核心素养

    21.解析:(1)由题

    因为函数有两个极值点,

    所以方程有两个不同实数根,即方程有两个不同实数根,………………2

    ,则

    时,,则单调递增,时,,则单调递减,

    所以时,取得极大值

    时,时,,且时,

    所以,方程有两个不同实数根时,有

    有两个极值点时,a的取值范围是………………………………………5

    2)由(1)可知,的两个极值点是方程的两根,

    则有

    两式相除,得,即有

    …………………………………7

    所以,令

    ………………………………9

    所以单调递减,又

    时,,则单调递减,

    ,故

    所以λ的最小值为……………………………………………………………12

    命题意图:本小题是以初等函数设置探索性情境,考查函数极值、函数零点、不等式证明、导数的应用等基础知识;考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想;考查推理论证能力、运算求解能力和创新能力;考查逻辑推理、数学运算等数学素养

    选考题

    22.解析:(1)将代入,得

    即曲线C的直角坐标方程为:……………………………………………5

    2)直线l的参数方程可改写为t为参数),…………………………………6

    代入曲线C的方程,有

    整理得………………………………………………………………7

    从而…………………………………………………………8

    所以……………………………………………10

    命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,考查参数方程的标准化,极坐标方程化普通方程,双曲线的弦长计算,主要考查数学运算素养

    23.解析:(1)当时,,解得

    时,,解得

    时,,解得

    综上所述,原不等式的解集为………………………………………5

    2)由题,当且仅当

    时取等号,故的最小值,即

    证法1

    当且仅当,即时取等号.

    所以………………………………………………………10

    证法2

    当且仅当取等号,

    时取等号.

    所以………………………………………………………10

    命题意图:本小题主要考查含绝对值不等式的解法,考查不等式的证明方法等基础知识,考查分类与整合思想,考查运算求解、推理论证等数学能力


     

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