四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学(文)试题(含答案)
展开遂宁市高2023届第二次诊断性考试
数学(文史类)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.某乡镇为推动乡村经济发展,优化产业结构,逐步打造高品质的农业生产,在某试验区种植了某农作物.为了解该品种农作物长势,在实验区随机选取了100株该农作物苗,经测量,其高度(单位:cm)均在区间内,按照,,,,分成5组,制成如图所示的频率分布直方图,记高度不低于16cm的为“优质苗”.则所选取的农作物样本苗中,“优质苗”株数为( )
A.20 B.40 C.60 D.88
4.已知,,则( )
A.3 B.2 C. D.
5.过直线l:上的点作圆C:的切线,则切线段长的最小值为( )
A. B. C. D.
6.数学与音乐有着紧密的关联,我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音,而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象,则该段乐音对应的函数解析式可以为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数,则( )
A.有2个极大值点 B.有1个极大值点和1个极小值点
C.有2个极小值点 D.有且仅有一个极值点
8.将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度,得到的图象对应的函数可以是( )
A. B. C. D.
9.已知四棱柱的底面是正方形,,,点在底面ABCD的射影为BC中点H,则点到平面ABCD的距离为( )
A. B. C. D.3
10.已知定点,直线l:与抛物线交于两点A,B,若,则( )
A.4 B.6 C.8 D.10
11.在中,,,D为BC的中点,将绕AD旋转至APD,使得,则三棱锥的外接球表面积为( )
A. B. C.5π D.8π
12.已知函数.若过点可以作曲线三条切线,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知双曲线C:,则C的离心率为______.
14.已知,,,则实数______.
15.中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,且,则面积的最大值为______.
16.《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理,其中有一些定理是关于鞋匠刀形的,即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形,其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示,三个半圆的圆心分别为O,,,半径分别为R,,(其中),在半圆O内随机取一点,此点取自图中鞋匠刀形(阴影部分)的概率为,则______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个
试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生依据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
某商店销售某种产品,为了解客户对该产品的评价,现随机调查了200名客户,其评价结果为“一般”或“良好”,并得到如下列联表:
| 一般 | 良好 | 合计 |
男 | 20 | 100 | 120 |
女 | 30 | 50 | 80 |
合计 | 50 | 150 | 200 |
(1)通过计算判断,有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系?
(2)利用样本数据,在评价结果为“良好”的客户中,按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从这6名客户中随机选择2名进行访谈,求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
其中,.
18.(12分)
已知数列是公差为2的等差数列,其前3项的和为12.是公比大于0的等比数列,,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若数列满足,求的前n项和.
19.(12分)
如图,在三棱锥中,H为的内心,直线AH与BC交于M,,.
(1)证明:平面平面ABC;
(2)若,,,求三棱锥的体积.
20.(12分)
已知椭圆E:经过,两点,M,N是椭圆E上异于T的两动点,且,直线AM,AN的斜率均存在,并分别记为,.
(1)求证:为常数;
(2)证明直线MN过定点.
21.(12分)
已知函数有两个极值点,.
(1)求a的取值范围;
(2)若时,不等式恒成立,求λ的最小值.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题
记分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B,求.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数.
(1)解不等式;
(2)令的最小值为T,正数x,y,z满足,
证明:.
文科数学参考解答及评分参考
一、选择题
1.答案:C
解析:由解得,所以,.
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,主要考查集合的交集运算等基础知识;考查运算求解能力,应用意识.
2.答案:A
解析:.
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,主要考查复数的乘法与除法运算等基础知识;考查运算求解能力.
3.答案:C
解析:该农作物苗高度在,的频率分别为0.4,0.2,则“优质苗”株数为(株).
命题意图:本小题以乡村振兴、农业生产为命题情境,以直方图为载体考查概率统计问题,考查概率统计思想和应用意识.
4.答案:B
解析:由有,因为,所以且,所以.
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,主要考查二倍角与同角三角函数关系等基础知识;考查运算求解能力,逻辑推理能力,应用意识.
5.答案:B
解析:圆心到直线l的距离,即l与C相离,
故切线段长的最小值为.
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,主要考查直线、圆的方程,直线与圆的关系,考查数形结合思想,数学运算核心素养.
6.答案:A
解析:由题可知,该乐音对应的函数为奇函数,A,B选项中的函数为奇函数,选项C中的函数为非奇非偶函数;D选项中的函数为偶函数,排除C,D.对于选项B,当时,,不符合题意,故选A.
命题意图:本小题以音乐与数学为应用型情境,以函数图象为载体,考查函数图象的应用,考查数形结合思想;考查直观想象素养.
7.答案:D
解析:由已知得,则时,,单调递减;时,,单调递增,所以,有唯一一个极值点,且为极小值点.
命题意图:本小题以整式型函数为知识探索情境,以四次型函数极值最值为载体,考查导数应用等知识,考查化归与转化、数形结合思想;考查抽象概括、推理论证能力;考查逻辑推理、直观想象素养.
8.答案:D
解析:,将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度,得到的图象对应的函数为.
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计综合性问题,考查两角和差的三角函数公式,三角函数图象的平移变换,诱导公式等基础知识;考查运算求解能力,化归与转换思想,数形结合思想.
9.答案:B
解析:由已知,面ABCD,,在中,.即点到平面ABCD的距离是.因为是柱体,故平面ABCD,所以点到平面ABCD的距离为.
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计综合性问题,以斜四棱柱为载体,考查线面位置关系、点到平面的距离,主要考查空间想象能力和数学运算、逻辑推理素养.
10.答案:C
解析:设,,由得.由得,此时,,从而.由得
,于是,
解得,.
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计综合性问题,主要考查直线与抛物线的关系,考查数形结合、化归与转化思想,考查逻辑推理、数学运算核心素养.
11.答案:C
解析:在中,,,D为BC的中点,故且,从而平面BDP,设三棱锥的外接球的球心为O,半径为R,O到平面BDP的距离为d,则,又因为,故的外接圆半径为,从而,故三棱锥的外接球的表面积为.
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计旋转图象的理解,三棱锥与球体的数量关系的转化,主要考查空间想象能力,作图能力和数学运算素养.
12.答案:A
解析:由题,设切点,则切线方程为,则,过点P可以作三条切线,则方程有三个不同实数根,令,则,可知时,,单调递减;时,,单调递增;时,,单调递减,则时,取得极小值;当时,取得极大值.又时,;又时,.则时,方程有三个不同实数根,此时过点P可作曲线三条切线.
命题意图:本小题是以切线问题设置的探索性问题情境,由一次函数与指数函数构成的新函数为载体,考查导数的几何意义;考查数形结合、化归与转化等数学思想;考查逻辑推理能力、运算求解能力以及创新能力;考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养.
二、填空题
13.答案:
解析:由双曲线方程知,,则,所以离心率.
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,主要考查双曲线的方程和离心率,考查数学运算能力.
14.答案:2
解析:由,,解得.
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,主要考查向量的减法与向量的模等基础知识;考查运算求解能力,方程思想.
15.答案:
解析:由已知,根据正弦定理得,即,所以,所以,由余弦定理,得,即,当且仅当时等号成立,所以.
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计综合性问题,主要考查正余弦定理,两个和差的三角函数,三角形面积公式,均值不等式求最值等基础知识;考查运算求解能力,化归与转化思想,应用意识.
16.答案:
解析:由题得即,所以或者(舍去).
命题意图:本小题是以鞋匠刀形设置的应用情境,以几何图形为载体,考查几何概型等基础知识,考查数形结合思想、统计与概率思想;考查运算求解能力和应用能力.
三、解答题
17.解析:(1)由题,
得,…………………………………4分
因此,有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系…………………………6分
(2)这6名客户中男性有4人,记为,,,,女性有2名,记为,.……………8分
从这6名客户中选取2名客户的所有基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,共15个………………………………………………………………………10分
其中,至少有一名女性客户的基本事件有9个………………………………………………11分
所以,抽取的2名客户中至少有1名女性客户的概率为,即.…………………………12分
命题意图:本小题考查统计案例、卡方分布、离散型随机变量分布列等基础知识;考查统计与概率思想;考查运算求解、数据处理以及应用意识.
18.解析:(1)由已知,所以,
所以数列的通项公式为.………………………………………………………2分
设等比数列的公比为q,由,
则,即,
解得,(舍去),
所以数列的通项公式为.………………………………………………………6分
(2)由(1)得.………………………………………8分
所以
.
所以.……………………………………………………12分
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计综合性问题,主要考查等差数列和等比数列的通项公式,裂项相消法求数列之和与等比数列求和等基础知识;考查运算求解能力,化归与转化思想,方程思想,推理论证能力,应用意识.
19.解析:(1)证明:设平面ABC于点N,
过N作于E,于F,连接PE,PF.
因为平面ABC,平面ABC,所以.
又因为,所以平面PNE,所以,同理.…………2分
在,中,,,
故,所以.
在,中,,,
故,所以.…………………………………………………………4分
即N到AB,AC的距离相等,同理N到BC,AC的距离相等,
故N为的内心,N与H重合.
所以平面ABC.
又因为平面APM,所以平面平面ABC.………………………………6分
(2)设的内切圆半径为r,则,故.
所以,.……………………………………8分
因为H为的内心,所以AH平分,
所以,,所以,
故的面积为.…………………………………………………10分
由于点P到平面ABC的距离为,
故三棱锥的体积为.…………………………………………12分
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计综合性问题,主要考查平面与平面垂直、三棱锥的体积等基础知识,考查空间想象能力,考查逻辑推理素养和数学运算核心素养.
20.解析:(1)椭圆经过点A,T,代入椭圆E的方程,得解得
所以椭圆E的方程为:.………………………………………………………2分
由知AM与AN关于直线AT:对称,
在AM上任取一点,
则关于直线对称的点为,……………………………………4分
从而,,
于是.………………………………………………………………………………5分
(2)设点,,AM:,
由得,所以,
从而.
同理,.
由(1)有,故,,……………………………………………7分
为方便,记,则……….9
MN:,
所以,
即……………………………………11分
由此可知,当k变化时,直线MN过定点.………………………………………12分
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计探索性问题,主要考查直线、椭圆的方程,直线与椭圆的关系等基础知识,考查数形结合、化归与转化思想,考查逻辑推理素养、数学运算核心素养.
21.解析:(1)由题得,
因为函数有两个极值点,
所以方程有两个不同实数根,即方程有两个不同实数根,………………2分
设,则,
知时,,则单调递增,时,,则单调递减,
所以,时,取得极大值,
又时,;时,,且时,,
所以,方程有两个不同实数根时,有.
即有两个极值点时,a的取值范围是.………………………………………5分
(2)由(1)可知,的两个极值点,是方程的两根,
且,,则有,,
两式相除,得,即有,
由得,…………………………………7分
所以,令,
令,则,
令,
则,………………………………9分
所以单调递减,又,
故时,,则单调递减,
则,故.
所以λ的最小值为.……………………………………………………………12分
命题意图:本小题是以初等函数设置探索性情境,考查函数极值、函数零点、不等式证明、导数的应用等基础知识;考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想;考查推理论证能力、运算求解能力和创新能力;考查逻辑推理、数学运算等数学素养.
选考题
22.解析:(1)将代入,得,
即曲线C的直角坐标方程为:.……………………………………………5分
(2)直线l的参数方程可改写为(t为参数),…………………………………6分
代入曲线C的方程,有,
整理得.………………………………………………………………7分
从而,,…………………………………………………………8分
所以.……………………………………………10分
命题意图:本小题设置课程学习情境,设计基础性问题,考查参数方程的标准化,极坐标方程化普通方程,双曲线的弦长计算,主要考查数学运算素养.
23.解析:(1)当时,,解得;
当时,,解得;
当时,,解得,
综上所述,原不等式的解集为.………………………………………5分
(2)由题,当且仅当
即时取“等号”,故的最小值,即.
证法1:
,
当且仅当,即,时取等号.
所以.………………………………………………………10分
证法2:
.
当且仅当,,取等号,
即,时取等号.
所以.………………………………………………………10分
命题意图:本小题主要考查含绝对值不等式的解法,考查不等式的证明方法等基础知识,考查分类与整合思想,考查运算求解、推理论证等数学能力.
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