2022-2023学年广东省河源市紫金县琴江中学九年级（下）开学数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年广东省河源市紫金县琴江中学九年级（下）开学数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．“学习强国”APP是一款提供优质学习资源的客户端应用，下面是此APP内“我的栏目下的4个子频道的图标，其中的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x+3）2﹣2D．y＝（x+3）2+2
3．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣5＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣2x＝0D．x2﹣2x＝﹣5
4．如图，图（1）是一枚古代钱币，图（2）是类似图（1）的几何图形，将图（2）中的图形沿一条对称轴折叠得到图（3），关于图（3）描述正确的是（ ）
A．只是轴对称图形
B．只是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
5．关于x的方程px2+p＝（p，q为常数，且pq≠0）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．一个实数根B．两个实数根C．三个实数根D．无实数根
6．从图形运动的角度研究抛物线，有利于我们认识新的抛物线的特征．如果将抛物线y＝x2+2绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列说法正确的是（ ）
A．它们的开口方向相同B．它们的对称轴相同
C．它们的变化情况相同D．它们的顶点坐标相同
7．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方结果正确的是（ ）
A．（x+1）2＝1B．（x﹣1）2＝1C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
8．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（ ）
A．4B．C．D．
9．如图，在⊙O中将弧AB沿弦AB翻折经过圆心O交弦BE于点F，BF＝2EF，AB＝2，则BE长为（ ）
A．4B．3C．3D．6
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．一个不透明盒子里装有4个除颜色外无其他任何差别的球，从盒子中随机摸出一个球，若P（摸出红球）＝，则盒子里有 个红球．
12．如果一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，那么x1+x2＝ ．
13．若二次函数y＝ax2+bx﹣1经过（﹣1，0），则2023+2a﹣2b的值为 ．
14．某桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度OD是4时，这时水面宽度AB为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为 ．
16．从2个女生1个男生中随机抽取两名，则抽到两个女生的概率为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（﹣1，2）、（1，1）．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为﹣2．在抛物线移动过程中，a﹣b+c的最小值是 ．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．小明有3支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为白色、黑色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用．试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．
19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．求二次函数的解析式．
20．已知方程＝1的解是a，求关于y的方程y2+ay＝0的解．
21．如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．
22．如图所示，在⊙O中，＝，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2＝AB•AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B＝60°，求图中阴影部分面积．
23．如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE＝，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
24．如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE．
（1）图中哪一个点是旋转中心？
（2）按什么方向旋转了多少度？
（3）如果CF＝3cm．求EF的长．∃
25．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O切BC于点D，交AC于点E，且AD＝BD．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如图2，连接OC，求cs∠ACO的值．
参考答案
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．“学习强国”APP是一款提供优质学习资源的客户端应用，下面是此APP内“我的栏目下的4个子频道的图标，其中的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可．
解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x+3）2﹣2D．y＝（x+3）2+2
【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
解：y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y＝（x+3）2﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣5＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣2x＝0D．x2﹣2x＝﹣5
【分析】把各方程整理成一般形式，用根的判别式判断即可．
解：方程x2﹣2x﹣5＝0的Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，该方程有两个不相等的实数根；
方程x2﹣2x+1＝0的Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，该方程有两个相等实数根；
方程x2﹣2x＝0的Δ＝（﹣2）2＝4＞0，该方程有两个不相等的实数根；
方程x2﹣2x＝﹣5可变形为x2﹣2x+5＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×5＝﹣16＜0，该方程没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式．根的判别式Δ＝b2﹣4ac．
4．如图，图（1）是一枚古代钱币，图（2）是类似图（1）的几何图形，将图（2）中的图形沿一条对称轴折叠得到图（3），关于图（3）描述正确的是（ ）
A．只是轴对称图形
B．只是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答即可．
解：图（3）
是轴对称图形，A正确；
不是中心对称图形，B、C、D错误，
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．关于x的方程px2+p＝（p，q为常数，且pq≠0）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．一个实数根B．两个实数根C．三个实数根D．无实数根
【分析】画出函数y＝px2+p和函数y＝（p，q为常数，且pq≠0）的图象，根据函数图象即可得到结论．
解：关于x的方程px2+p＝（p，q为常数，且pq≠0）的根的情况，就是函数y＝px2+p和函数y＝（p，q为常数，且pq≠0）的图象的交点的情况，
∵函数y＝px2+p的对称轴为y轴，函数y＝（p，q为常数，且pq≠0）的图象在一、三象限或二、四象限，
∴函数y＝px2+p和函数y＝（p，q为常数，且pq≠0）的图象的只有一个交点，
∴关于x的方程px2+p＝（p，q为常数，且pq≠0）有一个实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，二次函数的图象，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．
6．从图形运动的角度研究抛物线，有利于我们认识新的抛物线的特征．如果将抛物线y＝x2+2绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列说法正确的是（ ）
A．它们的开口方向相同B．它们的对称轴相同
C．它们的变化情况相同D．它们的顶点坐标相同
【分析】将抛物线y＝x2+2绕着原点旋转180°，则新抛物线与原抛物线关于原点对称．
解：A、它们的开口方向相反，不符合题意；
B、它们的对称轴相同，符合题意；
C、它们的开口方向相反，顶点坐标关于原点对称，即题目的变化情况不相同，不符合题意；
D、它们的顶点坐标关于原点对称，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，抛物线绕着原点旋转180°后，新抛物线与原抛物线关于原点对称．
7．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方结果正确的是（ ）
A．（x+1）2＝1B．（x﹣1）2＝1C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤得到（x﹣1）2＝2，从而可对各选项进行判断．
解：x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
8．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（ ）
A．4B．C．D．
【分析】先计算出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理即可求出圆锥的高．
解：正六边形的每一个内角为：180°﹣（360°÷6）＝120°，
设该圆锥的底面半径为r，
则2πr＝120°×π×6÷180°，
∴r＝2．
∴圆锥的高为：＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查正多边形与圆、圆的相关计算以及勾股定理，解题关键是熟练掌握圆锥侧面与圆锥底面圆的关系．
9．如图，在⊙O中将弧AB沿弦AB翻折经过圆心O交弦BE于点F，BF＝2EF，AB＝2，则BE长为（ ）
A．4B．3C．3D．6
【分析】如图，连接AE，AF，OA，OB，过点O作OT⊥AB交⊙O于T，连接AT．证明△AEF是等边三角形，设EF＝2a，BF＝4a，再利用勾股定理构建方程求解即可．
解：如图，连接AE，AF，OA，OB，过点O作OT⊥AB交⊙O于T，连接AT．
由翻折的性质可知，AB垂直平分线段OT，
∴AO＝AT，
∵OA＝OT，
∴△AOT是等边三角形，
∴∠AOT＝60°，
∵OT⊥AB，
∴＝，
∴∠AOT＝∠BOT＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠E＝∠AOB＝60°，
∵∠ABF＝∠ABE，
∴＝，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
∵BF＝2EF，
∴可以假设EF＝2a，BF＝4a，则EH＝FH＝a，AH＝a，BH＝5a，
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，
∴（2）2＝（a）2+（5a）2，
∴a＝1，
∴BE＝6a＝6，
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①由抛物线开口方向得到a＞0，对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与y轴负半轴相交，得到c＜0，可得出abc＞0，选项①错误；
②把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；
③由x＝1时对应的函数值y＜0，可得出a+b+c＜0，得到a+c＜﹣b，x＝﹣1时，y＞0，可得出a﹣b+c＞0，得到|a+c|＜|b|
，即可得到（a+c）2﹣b2＜0，选项③正确；
④由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最小值，可得结论，即可得到④正确．
解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∵，∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；
③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，
当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，
∴|a+c|＜|b|
∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
即a+b≤m（am+b），所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．一个不透明盒子里装有4个除颜色外无其他任何差别的球，从盒子中随机摸出一个球，若P（摸出红球）＝，则盒子里有 1 个红球．
【分析】设黄球有x个，利用黄球的概率为，再根据概率公式列方程计算即可得解．
解：设黄球有x个，
∵从盒子中随机摸出一个球，P（摸出红球）＝，
∴＝，
解得：x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．如果一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，那么x1+x2＝ 2 ．
【分析】根据根与系数的关系直接求得．
解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
13．若二次函数y＝ax2+bx﹣1经过（﹣1，0），则2023+2a﹣2b的值为 2025 ．
【分析】把（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣1，即可得出代数式a﹣b的值，，代入2023+2a﹣2b＝2023+2（a﹣b）即可得到结论．
解：把（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣1，得a﹣b﹣1＝0，
即a﹣b＝1，
则2023+2a﹣2b＝2023+2（a﹣b）＝2023+2×1＝2025，
故答案为：2025．
【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
14．某桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度OD是4时，这时水面宽度AB为 20 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和题意，将y＝﹣5代入函数解析式，求出相应的x的值，从而可以得到AB的长．
解：当y＝﹣4时，
﹣4＝﹣x2，
解得，x1＝﹣10，x2＝10，
∴当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为：10﹣（﹣10）＝20（米），
故答案为：20．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为 6 ．
【分析】连接BB′，如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝6，再根据旋转的性质得到CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，则可判断△CAA′为等边三角形，所以∠ACA′＝60°，然后判断△CBB′为等边三角形，从而得到BB′的长．
解：连接BB′，如图，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，
∴BC＝AC＝6，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，
∵CA＝CA′，∠A＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴BB′＝CB＝6，
即点B'与点B之间的距离为6．
故答案为6．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
16．从2个女生1个男生中随机抽取两名，则抽到两个女生的概率为 ．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出抽到两个女生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：根据题意画图如下：
一共有6种等可能的结果，其中到两个女生的有2种结果，
则抽到两个女生的概率为＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（﹣1，2）、（1，1）．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为﹣2．在抛物线移动过程中，a﹣b+c的最小值是 ﹣7 ．
【分析】x＝﹣1时，y1＝a﹣b+c，当顶点在点B时，y1最小，此时点C（﹣2，0），即可求解．
解：点C横坐标最小时，顶点在A点，
则函数的表达式为：y＝a（x+1）2+2，
此时点C（﹣2，0），
则函数的表达式为：y＝a（x+1）2+2，
将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣2，
当顶点在B处时，a﹣b+c值最小
则抛物线的表达式为：y＝﹣2（x﹣1）2+1，
当x＝﹣1时，y1＝a﹣b+c＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题关键在于确定a﹣b+c的最小值时，抛物线所在的位置，进而求解．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．小明有3支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为白色、黑色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用．试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．
【分析】先画出树状图展示所有可能的6种结果，找出取出红色水笔和白色橡皮占1种，然后根据概率的概念求解即可．
解：画树状图：
共有6种等可能的结果，其中取出红色水笔和白色橡皮占1种，
∴出红色水笔和白色橡皮配套的概率＝．
【点评】本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的结果数m，则这件事的发生的概率P＝．
19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．求二次函数的解析式．
【分析】根据题意知，将A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入二次函数的解析式，利用待定系数法法求该二次函数的解析式即可．
解：根据题意，得
，
解得，；
∴该二次函数的解析式为：
y＝x2﹣2x﹣3．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．解题时，借用了二次函数图象上点的坐标特征：经过图象上的点一定在函数图象上，且图象上的每一个点均满足该函数的解析式．
20．已知方程＝1的解是a，求关于y的方程y2+ay＝0的解．
【分析】先解分式方程确定a的值为2，再把a＝2代y2+ay＝0的得y2+2y＝0，然后利用因式分解法解此方程．
解：把方程＝1两边乘以x﹣1，得x﹣1＝1，
解得x＝2，经检验x＝2是原方程的解，
∴a＝2
把a＝2代y2+ay＝0的得y2+2y＝0，
y（y+2）＝0，
∴y1＝0，y2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了分式方程的解．
21．如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和平行线的判定定理即可得到结论．
解：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴∠A＝∠B，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
22．如图所示，在⊙O中，＝，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2＝AB•AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B＝60°，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）由＝，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例可得证；
（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA＝OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cs60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠ACD＝∠ABC，又∠BAC＝∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴＝，即AC2＝AB•AF；
（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
如图所示：
∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，
又∵OA＝OC，∴∠AOE＝∠COE＝×120°＝60°，
在Rt△AOE中，OA＝2cm，
∴OE＝OAcs60°＝1cm，
∴AE＝＝cm，
∴AC＝2AE＝2cm，
则S阴影＝S扇形OAC﹣S△AOC＝﹣×2×1＝（﹣）cm2．
【点评】此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
23．如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE＝，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．
（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA＝90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE＝∠BAE，由此证得∠CBA＝∠CBE+∠ABE＝∠BAE+∠ABE＝90°，此题得证．
（3）△ABE中，∠AEB＝90°，tan∠BAE＝，即AE＝3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．
（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．
【解答】（1）解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）．
将E（0，3）代入上式，解得：a＝﹣1．
∴y＝﹣x2+2x+3．
则点B（1，4）．
（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．
在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，
∴∠1＝∠2＝45°，AE＝＝3．
在Rt△EMB中，EM＝OM﹣OE＝1＝BM，
∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE＝＝．
∴∠BEA＝180°﹣∠1﹣∠MEB＝90°．
∴AB是△ABE外接圆的直径．
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝＝tan∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3＝90°，∴∠CBE+∠3＝90°．
∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圆的切线．
（3）解：Rt△ABE中，∠AEB＝90°，tan∠BAE＝，sin∠BAE＝，cs∠BAE＝；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；
①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；
由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD＝1、OE＝3，即tan∠DEO＝＝tan∠BAE，即∠DEO＝∠BAE
满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．
②DE为短直角边时，P2在x轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2＝∠AEB＝90°，sin∠DP2E＝sin∠BAE＝；
而DE＝＝，则DP2＝DE÷sin∠DP2E＝÷＝10，OP2＝DP2﹣OD＝9
即：P2（9，0）；
③DE为长直角边时，点P3在y轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3＝∠AEB＝90°，cs∠DEP3＝cs∠BAE＝；
则EP3＝DE÷cs∠DEP3＝÷＝，OP3＝EP3﹣OE＝；
综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．
（4）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b．
将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得．
∴y＝﹣2x+6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝，∴F（，3）．
情况一：如图2，当0＜t＜时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．
则ON＝AG＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHG∽△FHM，得，即．
解得HK＝2t．
∴S阴＝S△MNG﹣S△SNA﹣S△HAG＝×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t＝﹣t2+3t．
当t＝时，S＝××＝，
情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．
由△IQA∽△IPF，得．即，
解得IQ＝2（3﹣t）．
∵AQ＝VQ＝3﹣t，
∴S阴＝IV•AQ＝（3﹣t）2＝t2﹣3t+．
综上所述：s＝．
【点评】该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．
24．如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE．
（1）图中哪一个点是旋转中心？
（2）按什么方向旋转了多少度？
（3）如果CF＝3cm．求EF的长．∃
【分析】（1）（2）根据旋转的定义求解；
（3）根据旋转的性质得CE＝CF，∠ECF＝90°，则可判断△CEF为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
解：（1）△BCE绕点C逆时针旋转得到△BCE，
所以旋转中心为点C；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∴△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△BCE；
（3）∵△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△BCE，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴EF＝CF＝3cm．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．旋转有三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度．也考查了等腰直角三角形的性质．
25．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O切BC于点D，交AC于点E，且AD＝BD．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如图2，连接OC，求cs∠ACO的值．
【分析】（1）连接OD、OE，如图1，根据切线性质得OD⊥BC，则OD∥AC，所以∠2＝∠3，加上∠1＝∠3，则∠1＝∠2，再利用AD＝BD得到∠1＝∠B，所以∠1＝∠2＝∠B，然后根据三角形内角和可计算出∠1＝∠2＝∠B＝30°，于是可判断△OAE为等边三角形，得到AE＝OE，再判断四边形AEDO为平行四边形，从而得到DE∥AB；
（2）作OH⊥AE于H，如图2，则AH＝HE，设⊙O的半径为r，在Rt△AOH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH＝AH＝r，易得四边形ODCH为矩形，则CH＝OD＝r，再利用勾股定理计算出OC＝r，然后根据余弦的定义求解．
【解答】（1）证明：连接OD、OE，如图1，
∵BC为切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠2＝∠3，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∵AD＝BD，
∴∠1＝∠B，
∴∠1＝∠2＝∠B，
∵∠1+∠2+∠B＝90°，
∴∠1＝∠2＝∠B＝30°，
∴△OAE为等边三角形，
∴AE＝OE，
∴AE＝OD，
∵AE∥OD，
∴四边形AEDO为平行四边形，
∴DE∥AB；
（2）解：作OH⊥AE于H，如图2，则AH＝HE，
设⊙O的半径为r，
在Rt△AOH中，∵∠OAH＝60°，
∴AH＝OA＝r，OH＝AH＝r，
易得四边形ODCH为矩形，
∴CH＝OD＝r，
在Rt△OCH中，OC＝＝＝r，
∴cs∠HCO＝＝＝，
即cs∠ACO＝，
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的性质和三角函数的定义．